problema de n -body

En física , el problema de los n cuerpos es el problema de predecir los movimientos individuales de un grupo de objetos celestes que interactúan gravitacionalmente entre sí . ^{[1] La} resolución de este problema ha sido motivada por el deseo de comprender los movimientos del Sol , la Luna , los planetas y las estrellas visibles . En el siglo XX, comprender la dinámica de los sistemas estelares de cúmulos globulares se convirtió en un importante problema de n cuerpos. ^[2] El problema de los n cuerpos en la relatividad general es considerablemente más difícil de resolver.

El problema físico clásico puede enunciarse informalmente como sigue:

Dadas las propiedades orbitales casi estables (posición instantánea, velocidad y tiempo) ^[3] de un grupo de cuerpos celestes, prediga sus fuerzas interactivas; y, en consecuencia, predecir sus verdaderos movimientos orbitales para todos los tiempos futuros. ^[4]

El problema de los dos cuerpos se ha resuelto por completo y se analiza a continuación, así como el famoso problema restringido de los tres cuerpos . ^[5]

Historia

Conociendo tres posiciones orbitales de la órbita de un planeta - posiciones obtenidas por Sir Isaac Newton del astrónomo John Flamsteed ^[6] - Newton pudo producir una ecuación mediante geometría analítica sencilla, para predecir el movimiento de un planeta; es decir, para dar sus propiedades orbitales: posición, diámetro orbital, período y velocidad orbital. ^[7] Habiéndolo hecho, él y otros pronto descubrieron en el transcurso de unos años, que esas ecuaciones de movimiento no predecían algunas órbitas correctamente o incluso muy bien. ^[8] Newton se dio cuenta de que esto se debía a que las fuerzas interactivas gravitacionales entre todos los planetas estaban afectando todas sus órbitas.

El descubrimiento anterior va directo al meollo del asunto en cuanto a cuál es exactamente el problema de los n cuerpos físicamente: como Newton se dio cuenta, no es suficiente especificar la posición y la velocidad iniciales, o tres posiciones orbitales, para determinar la posición de un planeta. órbita verdadera: las fuerzas interactivas gravitacionales también deben conocerse . Así surgió la conciencia y el surgimiento del "problema" de los n cuerpos a principios del siglo XVII. Estas fuerzas de atracción gravitacionales se ajustan a las leyes del movimiento de Newton y a su ley de gravitación universal , pero las múltiples interacciones ( n- cuerpos) históricamente han hecho que cualquier solución exacta sea intratable. Irónicamente, esta conformidad llevó a un enfoque equivocado.

Después de la época de Newton, el problema de los n cuerpos históricamente no se planteó correctamente porque no incluía una referencia a esas fuerzas interactivas gravitacionales . Newton no lo dice directamente, pero implica en sus Principia que el problema de los n cuerpos no tiene solución debido a esas fuerzas interactivas gravitacionales. ^[9] Newton dijo ^[10] en sus Principia, párrafo 21:

Y de ahí que la fuerza de atracción se encuentre en ambos cuerpos. El Sol atrae a Júpiter y a los demás planetas, Júpiter atrae a sus satélites y, de manera similar, los satélites actúan entre sí. Y aunque las acciones de cada uno de un par de planetas sobre el otro pueden distinguirse entre sí y pueden considerarse como dos acciones por las cuales cada uno atrae al otro, en la medida en que están entre el mismo, dos cuerpos, no son dos sino una simple operación entre dos terminales. Se pueden atraer dos cuerpos entre sí mediante la contracción de una cuerda entre ellos. La causa de la acción es doble, a saber, la disposición de cada uno de los dos cuerpos; la acción es igualmente doble, en la medida en que se realiza sobre dos cuerpos; pero en la medida en que está entre dos cuerpos es único y uno ...

Newton concluyó a través de su tercera ley del movimiento que "según esta ley, todos los cuerpos deben atraerse entre sí". Esta última afirmación, que implica la existencia de fuerzas interactivas gravitacionales, es clave.

Como se muestra a continuación, el problema también se ajusta al primer y segundo Principios no newtonianos de Jean Le Rond D'Alembert y al algoritmo del problema de n cuerpos no lineales , el último permite una solución de forma cerrada para calcular esas fuerzas interactivas.

El problema de encontrar la solución general del problema de los n cuerpos se consideró muy importante y desafiante. De hecho, a finales del siglo XIX, el rey Oscar II de Suecia , asesorado por Gösta Mittag-Leffler , estableció un premio para cualquiera que pudiera encontrar la solución al problema. El anuncio fue bastante específico:

Dado un sistema de puntos de masa arbitrariamente muchos que atraen a cada uno de acuerdo con la ley de Newton, bajo el supuesto de que nunca chocan dos puntos, intente encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que sea una función conocida del tiempo. y para todos cuyos valores la serie converge uniformemente .

En caso de que el problema no pudiera resolverse, cualquier otra contribución importante a la mecánica clásica se consideraría digna de un premio. El premio fue otorgado a Poincaré , aunque no resolvió el problema original. (La primera versión de su contribución incluso contenía un grave error ^[11] ). La versión finalmente impresa contenía muchas ideas importantes que llevaron al desarrollo de la teoría del caos . Karl Fritiof Sundman resolvió finalmente el problema, como se dijo originalmente, para n = 3 .

Formulación general

El problema de n cuerpos considera n masas puntuales m _i , i = 1, 2,…, n en un sistema de referencia inercial en un espacio tridimensional ℝ ³ moviéndose bajo la influencia de la atracción gravitacional mutua. Cada masa m _i tiene un vector de posición q _i . La segunda ley de Newton dice que la masa multiplicada por la aceleración m _i d ² q _yo/dt ²es igual a la suma de las fuerzas sobre la masa. La ley de la gravedad de Newton dice que la fuerza gravitacional que se siente sobre la masa m _i por una sola masa m _j viene dada por ^[12]

$${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$$

donde G es la constante gravitacional y || q _j - q _i || es la magnitud de la distancia entre q _i y q _j ( métrica inducida por la norma l 2 ).

La suma de todas las masas produce las ecuaciones de movimiento de n cuerpos :

$${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$$

donde U es la energía potencial propia

$${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$$

Definiendo el impulso como p _i = m _id q _yo/dt, Las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el problema de n cuerpos se convierten en ^[13]

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$$

donde la función hamiltoniana es

$${\displaystyle H=T+U}$$

y T es la energía cinética

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$$

Las ecuaciones de Hamilton muestran que el problema de n cuerpos es un sistema de 6 n ecuaciones diferenciales de primer orden , con 6 n condiciones iniciales como 3 n coordenadas de posición inicial y 3 n valores de momento inicial.

Las simetrías en el problema de n cuerpos producen integrales globales de movimiento que simplifican el problema. ^[14] La simetría traslacional del problema da como resultado el centro de masa

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$$

moviéndose con velocidad constante, de modo que C = L ₀ t + C ₀ , donde L ₀ es la velocidad lineal y C ₀ es la posición inicial. Las constantes de movimiento L ₀ y C ₀ representan seis integrales del movimiento. La simetría rotacional da como resultado que el momento angular total sea ​​constante

$${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$$

donde × es el producto cruzado . Los tres componentes del momento angular total A producen tres constantes más del movimiento. La última constante general del movimiento se da por la conservación de la energía H . Por tanto, todo problema de n cuerpos tiene diez integrales de movimiento.

Como T y U son funciones homogéneas de grado 2 y −1, respectivamente, las ecuaciones de movimiento tienen una invariancia de escala : si q _i ( t ) es una solución, entonces también lo es λ ^−2/3 q _i ( λt ) para cualquier λ > 0 . ^[15]

El momento de inercia de un sistema de n cuerpos está dado por

$${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$$

y el virial viene dado por Q = 1/2dI/dt. Entonces, la fórmula de Lagrange-Jacobi establece que ^[16]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$$

Para sistemas en equilibrio dinámico , el promedio de tiempo a largo plazo de ⟨ d ² yo/dt ²⟩ Es cero. Entonces, en promedio, la energía cinética total es la mitad de la energía potencial total, ⟨ T ⟩ = 1/2⟨ U ⟩ , que es un ejemplo del virial teorema para los sistemas gravitacionales. ^[17] Si M es la masa total y R un tamaño característico del sistema (por ejemplo, el radio que contiene la mitad de la masa del sistema), entonces el tiempo crítico para que un sistema se establezca en un equilibrio dinámico es ^[18]

$${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.}$$

Casos especiales

Problema de dos cuerpos

Cualquier discusión sobre las fuerzas interactivas planetarias siempre ha comenzado históricamente con el problema de los dos cuerpos . El propósito de esta sección es relacionar la complejidad real en el cálculo de cualquier fuerza planetaria. Tenga en cuenta también en esta Sección, varios temas, como la gravedad , el baricentro , las leyes de Kepler , etc .; y en la siguiente sección también ( problema de tres cuerpos ) se discuten en otras páginas de Wikipedia. Sin embargo, aquí se discuten estos temas desde la perspectiva del problema de los n cuerpos.

El problema de los dos cuerpos ( n = 2 ) fue resuelto por completo por Johann Bernoulli (1667-1748) mediante la teoría clásica (y no por Newton) asumiendo que el punto-masa principal era fijo ; esto se describe aquí. ^[19] Considere entonces el movimiento de dos cuerpos, digamos el Sol y la Tierra, con el Sol fijo , entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$$

La ecuación que describe el movimiento de la masa m _{2 en} relación con la masa m ₁ se obtiene fácilmente a partir de las diferencias entre estas dos ecuaciones y, después de cancelar los términos comunes, se obtiene:

$${\displaystyle \mathbf {a} +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$$

Dónde

• r = r ₂ - r ₁ es la posición vectorial de m ₂ relativa am ₁ ;
• α es la aceleración eulerianad ² r/dt ²;
• η = G ( m ₁ + m ₂ ) .

La ecuación α + η/r ³r = 0 es la ecuación diferencial fundamental para el problema de dos cuerpos que Bernoulli resolvió en 1734. Observe que para este enfoque primero deben determinarse las fuerzas y luego resolverse la ecuación de movimiento. Esta ecuación diferencial tiene soluciones elípticas, parabólicas o hiperbólicas. ^{[20] [21] [22]}

Es incorrecto pensar en m ₁ (el Sol) como fijo en el espacio cuando se aplica la ley de Newton de la gravitación universal, y hacerlo conduce a resultados erróneos. El punto fijo para dos cuerpos aislados que interactúan gravitacionalmente es su baricentro mutuo , y este problema de dos cuerpos se puede resolver exactamente, como usar las coordenadas de Jacobi relativas al baricentro.

El Dr. Clarence Cleminshaw calculó la posición aproximada del baricentro del Sistema Solar, un resultado logrado principalmente al combinar solo las masas de Júpiter y el Sol. Science Program declaró en referencia a su trabajo:

El Sol contiene el 98 por ciento de la masa del sistema solar, y los planetas superiores más allá de Marte representan la mayor parte del resto. En promedio, el centro de masa del sistema Sol-Júpiter, cuando se consideran los dos objetos más masivos por sí solos, se encuentra a 462,000 millas del centro del Sol, ¡o unas 30,000 millas por encima de la superficie solar! Sin embargo, otros planetas grandes también influyen en el centro de masa del sistema solar. En 1951, por ejemplo, el centro de masa de los sistemas no estaba lejos del centro del Sol porque Júpiter estaba en el lado opuesto de Saturno, Urano y Neptuno. A fines de la década de 1950, cuando los cuatro planetas estaban en el mismo lado del Sol, el centro de masa del sistema estaba a más de 330,000 millas de la superficie solar, calculó el Dr. CH Cleminshaw del Observatorio Griffith en Los Ángeles. ^[23]

Movimiento real versus movimiento aparente de Kepler

El Sol se tambalea mientras gira alrededor del centro galáctico, arrastrando al Sistema Solar y a la Tierra con él. Lo que hizo el matemático Kepler para llegar a sus tres famosas ecuaciones fue ajustar la curva a los movimientos aparentes de los planetas utilizando los datos de Tycho Brahe , y no ajustar la curva a sus verdaderos movimientos circulares alrededor del Sol (ver Figura). Tanto Robert Hooke como Newton sabían muy bien que la Ley de Gravitación Universal de Newton no se aplicaba a las fuerzas asociadas con las órbitas elípticas. ^[10] De hecho, la Ley Universal de Newton no tiene en cuenta la órbita de Mercurio, el comportamiento gravitacional del cinturón de asteroides o los anillos de Saturno . ^[24] Newton declaró (en la sección 11 de los Principia ) que la razón principal, sin embargo, para no predecir las fuerzas para las órbitas elípticas era que su modelo matemático era para un cuerpo confinado a una situación que apenas existía en el mundo real. es decir, los movimientos de los cuerpos atraídos hacia un centro inmóvil. Algunos libros de texto de física y astronomía actuales no enfatizan el significado negativo de la suposición de Newton y terminan enseñando que su modelo matemático es, de hecho, una realidad. Debe entenderse que la solución clásica del problema de dos cuerpos anterior es una idealización matemática. Véase también la primera ley del movimiento planetario de Kepler .

Problema de tres cuerpos

Esta sección relata una solución de problema de n cuerpos históricamente importante después de que se hicieron suposiciones simplificadoras.

En el pasado, no se sabía mucho sobre el problema de los n cuerpos para n ≥ 3 . ^[25] El caso n = 3 ha sido el más estudiado. Muchos de los intentos anteriores de comprender el problema de los tres cuerpos fueron cuantitativos, con el objetivo de encontrar soluciones explícitas para situaciones especiales.

• En 1687, Isaac Newton publicó en los Principia los primeros pasos en el estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuas, pero sus esfuerzos dieron como resultado descripciones verbales y bosquejos geométricos; ver especialmente el Libro 1, Proposición 66 y sus corolarios (Newton, 1687 y 1999 (transl.), ver también Tisserand, 1894).
• En 1767, Euler encontró movimientos colineales , en los que tres cuerpos de cualquier masa se mueven proporcionalmente a lo largo de una línea recta fija. El problema de los tres cuerpos de Euler es el caso especial en el que dos de los cuerpos están fijos en el espacio (esto no debe confundirse con el problema circular restringido de tres cuerpos , en el que los dos cuerpos masivos describen una órbita circular y solo están fijos en un marco de referencia sinódico).
• En 1772, Lagrange descubrió dos clases de solución periódica, cada una para tres cuerpos de cualquier masa. En una clase, los cuerpos yacen en línea recta giratoria. En la otra clase, los cuerpos se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero giratorio. En cualquier caso, las trayectorias de los cuerpos serán secciones cónicas. Esas soluciones llevaron al estudio de configuraciones centrales , para las cuales q̈ = kq para alguna constante k > 0 .
• Charles-Eugène Delaunay realizó un importante estudio del sistema Tierra-Luna-Sol , que publicó dos volúmenes sobre el tema, cada uno de 900 páginas de extensión, en 1860 y 1867. Entre muchos otros logros, el trabajo ya apunta al caos , y demuestra claramente el problema de los llamados " pequeños denominadores " en la teoría de la perturbación .
• En 1917, Forest Ray Moulton publicó su ahora clásico, Una introducción a la mecánica celeste (ver referencias) con su trama de la solución restringida del problema de tres cuerpos (ver figura a continuación). ^{[26] Al} margen, consulte el libro de Meirovitch, páginas 413–414, para conocer su solución restringida del problema de tres cuerpos. ^[27]

Movimiento de tres partículas bajo gravedad, demostrando un comportamiento caótico.

La solución de Moulton puede ser más fácil de visualizar (y definitivamente más fácil de resolver) si se considera que el cuerpo más masivo (como el Sol ) está estacionario en el espacio y que el cuerpo menos masivo (como Júpiter ) orbita a su alrededor, con el puntos de equilibrio (puntos lagrangianos ) que mantienen el espacio de 60 ° por delante y por detrás del cuerpo menos masivo casi en su órbita (aunque en realidad ninguno de los cuerpos es verdaderamente estacionario, ya que ambos orbitan el centro de masa de todo el sistema— sobre el baricentro). Para una proporción de masa suficientemente pequeña de los primarios, estos puntos de equilibrio triangulares son estables, de modo que las partículas (casi) sin masa orbitarán alrededor de estos puntos mientras orbitan alrededor del primario más grande (Sol). Los cinco puntos de equilibrio del problema circular se conocen como puntos lagrangianos. Vea la figura siguiente:

Problema restringido de tres cuerpos

En la figura anterior del modelo matemático de problemas restringidos de tres cuerpos (después de Moulton), los puntos lagrangianos L ₄ y L ₅ son donde residían los planetoides troyanos (ver punto Lagrangiano ); m ₁ es el Sol y m ₂ es Júpiter. L ₂ es un punto dentro del cinturón de asteroides. Debe realizarse para este modelo, todo este diagrama Sol-Júpiter está girando alrededor de su baricentro. La solución restringida del problema de tres cuerpos predijo los planetoides troyanos antes de que fueran vistos por primera vez. Los círculos h y los bucles cerrados hacen eco de los flujos electromagnéticos emitidos por el Sol y Júpiter. Se conjetura, contrariamente a la conjetura de Richard H. Batin (ver Referencias), los dos h ₁ son sumideros de gravedad, en y donde las fuerzas gravitacionales son cero, y la razón por la que los planetoides troyanos están atrapados allí. Se desconoce la cantidad total de masa de los planetoides.

El problema restringido de los tres cuerpos que supone la masa de uno de los cuerpos es insignificante. ^{[ cita requerida ]} Para una discusión del caso donde el cuerpo insignificante es un satélite del cuerpo de menor masa, vea Esfera de Hill ; para sistemas binarios, consulte el lóbulo de Roche . Las soluciones específicas al problema de los tres cuerpos dan como resultado un movimiento caótico sin signos obvios de una trayectoria repetitiva. ^{[ cita requerida ]}

El problema restringido (tanto circular como elíptico) fue trabajado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, sobre todo por Poincaré a finales del siglo XIX. El trabajo de Poincaré sobre el problema restringido de los tres cuerpos fue la base de la teoría determinista del caos . ^{[ cita requerida ]} En el problema restringido, existen cinco puntos de equilibrio . Tres son colineales con las masas (en el marco giratorio) y son inestables. Los dos restantes están ubicados en el tercer vértice de ambos triángulos equiláteros de los cuales los dos cuerpos son el primer y segundo vértices.

Problema de los cuatro cuerpos

Inspirado por el problema circular restringido de los tres cuerpos, el problema de los cuatro cuerpos se puede simplificar enormemente si se considera que un cuerpo más pequeño tiene una masa pequeña en comparación con los otros tres cuerpos masivos, que a su vez se aproximan para describir órbitas circulares. Esto se conoce como el problema bicircular restringido de cuatro cuerpos (también conocido como modelo bicircular) y se remonta a 1960 en un informe de la NASA escrito por Su-Shu Huang. ^[28] Esta formulación ha sido muy relevante en la astrodinámica , principalmente para modelar las trayectorias de las naves espaciales en el sistema Tierra-Luna con la adición de la atracción gravitacional del Sol. La formulación anterior del problema bicircular restringido de cuatro cuerpos puede ser problemática al modelar otros sistemas que no sean Tierra-Luna-Sol, por lo que la formulación fue generalizada por Negri y Prado ^[29] para ampliar el rango de aplicación y mejorar la precisión sin pérdidas. de sencillez.

Problema planetario

El problema planetario es el problema de los n cuerpos en el caso de que una de las masas sea mucho más grande que todas las demás. Un ejemplo prototípico de un problema planetario es el sistema Sol - Júpiter - Saturno , donde la masa del Sol es aproximadamente 100 veces mayor que la masa de Júpiter o Saturno. ^[15] Una solución aproximada al problema es descomponerlo en n - 1 pares de problemas de Kepler estrella-planeta , tratando las interacciones entre los planetas como perturbaciones. La aproximación perturbativa funciona bien siempre que no haya resonancias orbitales en el sistema, es decir, ninguna de las proporciones de frecuencias de Kepler no perturbadas es un número racional. Las resonancias aparecen como pequeños denominadores en la expansión.

La existencia de resonancias y denominadores pequeños llevó a la importante cuestión de la estabilidad en el problema planetario: ¿los planetas, en órbitas casi circulares alrededor de una estrella, permanecen en órbitas estables o limitadas a lo largo del tiempo? ^{[15] [30]} En 1963, Vladimir Arnold demostró utilizando la teoría KAM una especie de estabilidad del problema planetario: existe un conjunto de medidas positivas de órbitas cuasiperiódicas en el caso del problema planetario restringido al plano. ^[30] En la teoría KAM, las órbitas planetarias caóticas estarían limitadas por toros KAM cuasiperiódicos. El resultado de Arnold fue ampliado a un teorema más general por Féjoz y Herman en 2004. ^[31]

Configuraciones centrales

Una configuración central q ₁ (0), ..., q _N (0) es una configuración inicial de tal manera que si las partículas fueron puestos en libertad con velocidad cero, todos ellos se colapso hacia el centro de masa C . ^[30] Este movimiento se llama homotético . Las configuraciones centrales también pueden dar lugar a movimientos homogéneos en los que todas las masas se mueven a lo largo de trayectorias keplerianas (elípticas, circulares, parabólicas o hiperbólicas), teniendo todas las trayectorias la misma excentricidad e . Para trayectorias elípticas, e = 1 corresponde al movimiento homotético y e = 0 da un movimiento de equilibrio relativo en el que la configuración sigue siendo una isometría de la configuración inicial, como si la configuración fuera un cuerpo rígido. ^{[32] Las} configuraciones centrales han jugado un papel importante en la comprensión de la topología de variedades invariantes creadas al fijar las primeras integrales de un sistema.

coreografía de n -body

Las soluciones en las que todas las masas se mueven en la misma curva sin colisiones se denominan coreografías. ^[33] Lagrange descubrió una coreografía para n = 3 en 1772 en la que tres cuerpos están situados en los vértices de un triángulo equilátero en el marco giratorio. Una coreografía en ocho para n = 3 fue encontrada numéricamente por C. Moore en 1993 ^[34] y generalizada y probada por A. Chenciner y R. Montgomery en 2000. ^[35] Desde entonces, se han encontrado muchas otras coreografías para n ≥ 3 .

Enfoques analíticos

Para cada solución del problema, no solo la aplicación de una isometría o un cambio de tiempo, sino también una inversión del tiempo (a diferencia del caso de la fricción) también proporciona una solución. ^{[ cita requerida ]}

En la literatura física sobre el problema de n cuerpos ( n ≥ 3 ), a veces se hace referencia a la imposibilidad de resolver el problema de n cuerpos (mediante el empleo del enfoque anterior). ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, se debe tener cuidado al discutir la 'imposibilidad' de una solución, ya que esto se refiere solo al método de las primeras integrales (compare los teoremas de Abel y Galois sobre la imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas de grado cinco o superior mediante fórmulas que solo involucran raíces).

Solución Power Series

Una forma de resolver el problema clásico de n cuerpos es "el problema de n cuerpos de la serie de Taylor ".

Comenzamos por definir el sistema de ecuaciones diferenciales : ^{[ cita requerida ]}

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$$

Como x _i ( t ₀ ) yd x _yo ( t ₀ )/dt se dan como condiciones iniciales, cada d ² x _yo ( t )/dt ²es conocida. Diferenciandod ² x _yo ( t )/dt ² resultados en d ³ x _yo ( t )/dt ³que en t ₀ que también se conoce, y la serie de Taylor se construye iterativamente. ^{[ aclaración necesaria ]}

Una solución global generalizada de Sundman

Con el fin de generalizar el resultado de Sundman para el caso n > 3 (o n = 3 y c = 0 ^{[ aclaración necesaria ]} ) uno tiene que enfrentarse a dos obstáculos:

1. Como ha demostrado Siegel, las colisiones que involucran a más de dos cuerpos no se pueden regularizar analíticamente, por lo que la regularización de Sundman no se puede generalizar. ^{[ cita requerida ]}
2. La estructura de las singularidades es más complicada en este caso: pueden ocurrir otros tipos de singularidades (ver más abajo ).

Por último, el resultado de Sundman fue generalizado al caso de n > 3 cuerpos por Qiudong Wang en la década de 1990. ^[36] Dado que la estructura de las singularidades es más complicada, Wang tuvo que omitir por completo las cuestiones de las singularidades. El punto central de su enfoque es transformar, de manera apropiada, las ecuaciones a un nuevo sistema, de manera que el intervalo de existencia para las soluciones de este nuevo sistema sea [0, ∞) .

Singularidades del problema de los n cuerpos

Puede haber dos tipos de singularidades del problema de n cuerpos:

• colisiones de dos o más cuerpos, pero para las cuales q ( t ) (las posiciones de los cuerpos) permanece finito. (En este sentido matemático, una "colisión" significa que dos cuerpos en forma de puntos tienen posiciones idénticas en el espacio).
• singularidades en las que no se produce una colisión, pero q ( t ) no permanece finito. En este escenario, los cuerpos divergen hasta el infinito en un tiempo finito, mientras que al mismo tiempo tienden a la separación cero (se produce una colisión imaginaria "en el infinito").

Estos últimos se denominan conjetura de Painlevé (singularidades sin colisiones). Su existencia ha sido conjeturada para n > 3 por Painlevé (ver conjetura de Painlevé ). Xia ^[37] ha construido ejemplos de este comportamiento para n = 5 y Gerver ha elaborado un modelo heurístico para n = 4 . ^[38] Donald G. Saari ha demostrado que para 4 cuerpos o menos, el conjunto de datos iniciales que dan lugar a singularidades tiene medida cero. ^[39]

Simulación

Si bien existen soluciones analíticas disponibles para el problema clásico de dos cuerpos (es decir, no relativista) y para configuraciones seleccionadas con n > 2 , en general los problemas de n cuerpos deben resolverse o simularse utilizando métodos numéricos. ^[18]

Pocos cuerpos

Para una pequeña cantidad de cuerpos, un problema de n cuerpos se puede resolver usando métodos directos , también llamados métodos de partículas a partículas . Estos métodos integran numéricamente las ecuaciones diferenciales de movimiento. La integración numérica para este problema puede ser un desafío por varias razones. Primero, el potencial gravitacional es singular; va al infinito cuando la distancia entre dos partículas llega a cero. El potencial gravitacional se puede suavizar para eliminar la singularidad en distancias pequeñas: ^[18]

$${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}}$$

En segundo lugar, en general para n > 2 , el problema de los n cuerpos es caótico , ^{[40] lo} que significa que incluso los pequeños errores de integración pueden crecer exponencialmente con el tiempo. En tercer lugar, una simulación puede realizarse en grandes períodos de tiempo del modelo (por ejemplo, millones de años) y los errores numéricos se acumulan a medida que aumenta el tiempo de integración.

Hay una serie de técnicas para reducir los errores en la integración numérica. ^[18] Los sistemas de coordenadas locales se utilizan para tratar escalas muy diferentes en algunos problemas, por ejemplo, un sistema de coordenadas Tierra-Luna en el contexto de una simulación del sistema solar. Los métodos de variación y la teoría de perturbaciones pueden producir trayectorias analíticas aproximadas sobre las cuales la integración numérica puede ser una corrección. El uso de un integrador simpléctico asegura que la simulación obedece a las ecuaciones de Hamilton con un alto grado de precisión y, en particular, que se conserva la energía.

Muchos cuerpos

Los métodos directos que utilizan la integración numérica requieren del orden de 1/2n ² cálculos para evaluar la energía potencial sobre todos los pares de partículas y, por tanto, tener una complejidad temporal de O ( n ² ) . Para simulaciones con muchas partículas, elfactor O ( n ² ) hace que los cálculos a gran escala consuman mucho tiempo. ^[18]

Se han desarrollado varios métodos aproximados que reducen la complejidad del tiempo en relación con los métodos directos: ^[18]

• Los métodos de código de árbol , como la simulación de Barnes-Hut , son métodos sin colisiones que se utilizan cuando los encuentros cercanos entre pares no son importantes y las contribuciones de partículas distantes no necesitan calcularse con gran precisión. El potencial de un grupo distante de partículas se calcula utilizando una expansión multipolar del potencial. Esta aproximación permite una reducción de la complejidad a O ( n log n ) .
• Los métodos rápidos multipolares aprovechan el hecho de que las fuerzas de expansión multipolar de partículas distantes son similares para partículas cercanas entre sí. Se afirma que esta aproximación adicional reduce la complejidad a O ( n ) . ^[18]
• Los métodos de malla de partículas dividen el espacio de simulación en una cuadrícula tridimensional en la que se interpola la densidad de masa de las partículas. Luego, calcular el potencial se convierte en una cuestión de resolver una ecuación de Poisson en la cuadrícula, que se puede calcular en tiempo O ( n log n ) utilizandotécnicas de transformada rápida de Fourier . El uso detécnicas de refinamiento de malla adaptativa o de redes múltiples puede reducir aún más la complejidad de los métodos.
• Los métodos P 3 M y PM-tree son métodos híbridos que utilizan la aproximación de malla de partículas para partículas distantes, pero utilizan métodos más precisos para partículas cercanas (dentro de unos pocos intervalos de cuadrícula). P ³ M significa partícula-partícula, partícula-malla y utiliza métodos directos con potenciales suavizados a corta distancia. En cambio, los métodos de árbol de PM utilizan códigos de árbol a corta distancia. Al igual que con los métodos de malla de partículas, las mallas adaptativas pueden aumentar la eficiencia computacional.
• Los métodos de campo medio aproximan el sistema de partículas con una ecuación de Boltzmann dependiente del tiempo querepresenta la densidad de masa que está acoplada a una ecuación de Poisson autoconsistente que representa el potencial. Es un tipo deaproximación hidrodinámica de partículas suavizadas adecuado para grandes sistemas.

Fuerte gravitación

En sistemas astrofísicos con campos gravitacionales intensos, como los que se encuentran cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro , las simulaciones de n cuerpos deben tener en cuenta la relatividad general ; tales simulaciones son el dominio de la relatividad numérica . Simular numéricamente las ecuaciones de campo de Einstein es extremadamente desafiante ^[18] y , si es posible, se utiliza un formalismo post-Newtoniano (PPN) parametrizado , como las ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann . El problema de los dos cuerpos en la relatividad general se puede resolver analíticamente solo para el problema de Kepler, en el que se supone que una masa es mucho más grande que la otra. ^[41]

Otros problemas de n- cuerpos

La mayor parte del trabajo realizado sobre el problema de los n cuerpos se ha centrado en el problema gravitacional. Pero existen otros sistemas para los que las matemáticas de n cuerpos y las técnicas de simulación han resultado útiles.

En problemas electrostáticos a gran escala , como la simulación de proteínas y ensamblajes celulares en biología estructural , el potencial de Coulomb tiene la misma forma que el potencial gravitacional, excepto que las cargas pueden ser positivas o negativas, lo que genera fuerzas repulsivas y atractivas. ^[42] Los solucionadores rápidos de Coulomb son la contraparte electrostática de los simuladores de métodos rápidos multipolares. Estos se utilizan a menudo con condiciones de contorno periódicas en la región simulada y las técnicas de suma de Ewald se utilizan para acelerar los cálculos. ^[43]

En estadística y aprendizaje automático , algunos modelos tienen funciones de pérdida de una forma similar a la del potencial gravitacional: una suma de funciones del kernel sobre todos los pares de objetos, donde la función del kernel depende de la distancia entre los objetos en el espacio de parámetros. ^{[44] Los} problemas de ejemplo que encajan en esta forma incluyen todos los vecinos más cercanos en el aprendizaje múltiple , la estimación de la densidad del kernel y las máquinas del kernel . Se han desarrollado optimizaciones alternativas para reducir la complejidad del tiempo O ( n ² ) a O ( n ) , como los algoritmos de árbol dual , que también tienen aplicabilidad al problema gravitacional de n cuerpos.

Ver también

• Mecánica celeste
• Problema gravitacional de dos cuerpos
• Jacobi integral
• Teoría lunar
• Unidades naturales
• Modelo numérico del sistema solar
• Estabilidad del sistema solar
• Sistemas de pocos cuerpos

Notas

1. Leimanis y Minorsky: Nuestro interés está con Leimanis, quien primero discute algo de historia sobre elproblema delos n cuerpos, especialmente el enfoque de 20 años de variables complejas de 1868-1888 de Kovalevskaya, el fracaso; Sección 1: "La dinámica de los cuerpos rígidos y balística exterior matemática" (Capítulo 1, "El movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo (ecuaciones de Euler y Poisson)"; Capítulo 2, "Balística exterior matemática"), buen precursor alproblema delos n cuerpos; Sección 2: "Mecánica celeste" (Capítulo 1, "La uniformización del problema de tres cuerpos (problema restringido de tres cuerpos)"; Capítulo 2, "Captura en el problema de tres cuerpos"; Capítulo 3, " N -cuerpo generalizado Problema").
2. Véanse las referencias citadas para Heggie y Hut.
3. Las cargas cuasi-estables se refieren a las cargas inerciales instantáneas generadas por las velocidades angulares instantáneas y las aceleraciones, así como las aceleraciones de traslación (9 variables). Es como si se tomara una fotografía, que también registra la posición instantánea y las propiedades del movimiento. Por el contrario, unacondición de estado estable se refiere a que el estado de un sistema es invariante en el tiempo; de lo contrario, las primeras derivadas y todas las derivadas superiores son cero.
4. RM Rosenberg plantea elproblema de n cuerpos de manera similar (ver Referencias): "Cada partícula en un sistema de un número finito de partículas está sujeta a una atracción gravitacional newtoniana de todas las demás partículas, y a ninguna otra fuerza. Si el estado inicial del sistema, ¿cómo se moverán las partículas? " Rosenberg no se dio cuenta, como todos los demás, de que es necesario determinar primero las fuerzasantes de poder determinar los movimientos.
5. Se sabe que una solución clásica general en términos de primeras integrales es imposible. Una solución teórica exacta para n arbitrariopuede aproximarse a través de series de Taylor , pero en la práctica tal serie infinita debe truncarse, dando en el mejor de los casos sólo una solución aproximada; y un enfoque ahora obsoleto. Además, elproblema delos n cuerpos puede resolverse mediante la integración numérica , pero estas también son soluciones aproximadas; y nuevamente obsoleto. Consulte el libro Gravitational n -Body Simulations de Sverre J. Aarseth que seenumeran en las Referencias.
6. Clark, David H .; Clark, Stephen PH (2001). Los descubrimientos científicos suprimidos de Stephen Gray y John Flamsteed, la tiranía de Newton . WH Freeman y Co.. Una popularización de los acontecimientos históricos y las disputas entre esas partes, pero lo que es más importante, sobre los resultados que produjeron.
7. Ver Brewster, David (1905). "Descubrimiento de la gravitación, 1666 dC". En Johnson, Rossiter (ed.). Los grandes acontecimientos de historiadores famosos . XII . Los Antiguos Alumnos Nacionales. págs. 51–65.
8. Rudolf Kurth tiene una extensa discusión en su libro (ver Referencias) sobre perturbaciones planetarias. Un aparte: estas perturbaciones planetarias matemáticamente indefinidas (bamboleos) todavía existen indefinidas incluso hoy en día y las órbitas planetarias deben actualizarse constantemente, generalmente anualmente. Véase Astronomical Ephemeris y American Ephemeris and Nautical Almanac, preparados conjuntamente por las Oficinas de Almanaque Náutico del Reino Unido y los Estados Unidos de América.
9. Ver Principia , Libro Tres, Sistema del Mundo , "Escolio general", página 372, último párrafo. Newton era muy consciente de que su modelo matemático no reflejaba la realidad física. Esta edición a la que se hace referencia es de los Grandes Libros del Mundo Occidental , Volumen 34, que fue traducido por Andrew Motte y revisado por Florian Cajori . ^{[ se necesita cita completa ]} Este mismo párrafo está en la página 1160 de Stephen Hawkins , On the Shoulders of Giants , edición de 2002; ^{[ se necesita cita completa ]} es una copia de la adición de 1848 de Daniel Adee. Cohen también ha traducido nuevas ediciones: Introducción a los Principia de Newton , 1970; y Principia de Isaac Newton, con Variant Readings , 1972. Cajori también escribió History of Science , que está en línea. ^{[ se necesita cita completa ]}
10. Ver. I. Artículo de Bernard Cohen en Scientific American .
11. Para obtener detalles sobre el grave error en la primera presentación de Poincaré, consulte el artículo de Diacu.
12. Meyer 2009, págs. 27-28
13. Meyer 2009, p. 28
14. Meyer 2009, págs. 28-29
15. Chenciner 2007
16. Meyer 2009, p. 34
17. "Notas de la conferencia AST1100: 5 El teorema del virial" (PDF) . Universidad de oslo . Consultado el 25 de marzo de 2014 .
18. Trenti 2008
19. Véase Bate, Mueller y White, Capítulo 1: "Mecánica orbital de dos cuerpos", págs. 1-49. Estos autores eran del Departamento de Astronáutica e Informática de la Academia de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Su libro de texto no está lleno de matemáticas avanzadas.
20. Para el enfoque clásico, si el centro de masa común(es decir, el baricentro) de los dos cuerpos se considera en reposo , entonces cada cuerpo viaja a lo largo de una sección cónica que tiene un foco en el baricentro del sistema. En el caso de una hipérbola, tiene la rama al lado de ese foco. Las dos cónicas estarán en el mismo plano. El tipo de cónica ( círculo , elipse , parábola o hipérbola ) se determina encontrando la suma de la energía cinética combinada de dos cuerpos y la energía potencial cuando los cuerpos están muy separados. (Esta energía potencial es siempre un valor negativo; aquí no se cuenta la energía de rotación de los cuerpos alrededor de sus ejes)
    • Si la suma de las energías es negativa, ambas trazan elipses.
    • Si la suma de ambas energías es cero, ambas trazan parábolas. Como la distancia entre los cuerpos tiende a infinito, su velocidad relativa tiende a cero.
    • Si la suma de ambas energías es positiva, ambas trazan hipérbolas. Como la distancia entre los cuerpos tiende a infinito, su velocidad relativa tiende a algún número positivo.
21. Para este enfoque, consulte Mecánica física de Lindsay, Capítulo 3: "Movimiento curvilíneo en un plano", y específicamente los párrafos 3 a 9, "Movimiento planetario"; págs. 83–96. La presentación de Lindsay explica en gran medida estos últimos comentarios para el problema fijo de dos cuerpos ; es decir, cuando se supone que el Sol está fijo.
22. Nota: El hecho de que una órbita parabólica tenga energía cero surge del supuesto de que la energía potencial gravitacional llega a cero cuando los cuerpos se alejan infinitamente. Se podría asignar cualquier valor a la energía potencial en el estado de separación infinita. Se supone que ese estado tiene energía potencial cero por convención .
23. La Naturaleza del Universo del Programa de Cienciasafirma que Clarence Cleminshaw (1902-1985) se desempeñó como subdirector del Observatorio Griffith desde 1938 hasta 1958 y como director desde 1958 hasta 1969. Algunas publicaciones de Cleminshaw:
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    • Cleminshaw, CH: "La próxima conjunción de Júpiter y Saturno", 7 1960, Saturno, Júpiter, observar, conjunción. ^{[ se necesita cita completa ]}
    • Cleminshaw, CH: "La escala del sistema solar", 7 1959, Sistema solar, escala, Júpiter, sol, tamaño, luz. ^{[ se necesita cita completa ]}
24. Brush, Stephen G., ed. (1983). Maxwell sobre los anillos de Saturno . MIT Press.
25. Véanse los comentarios históricos de Leimanis y Minorsky.
26. Ver Problema restringido de tres cuerpos de Moultonpara su solución analítica y gráfica.
27. Ver el libro de Meirovitch: Capítulos 11: "Problemas en la mecánica celeste"; 12; "Problema en la dinámica de las naves espaciales"; y Apéndice A: "Dyadics".
28. Huang, Su-Shu. "Problema de cuatro cuerpos muy restringido" . NASA TND-501 .
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30. Chierchia 2010
31. Féjoz 2004
32. Ver Chierchia 2010 para animaciones que ilustran movimientos homogéneos.
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Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Problema de tres cuerpos en Scholarpedia
• Información más detallada sobre el problema de los tres cuerpos
• Movimientos keplerianos regulares en sistemas clásicos de muchos cuerpos
• Applet que demuestra el caos en un problema restringido de tres cuerpos
• Applets que muestran muchos movimientos diferentes de tres cuerpos
• Sobre la integración de las ecuaciones de n cuerpos
• Applet de Java que simula el Sistema Solar
• Applet de Java que simula una solución estable al problema de equi-masa de 3 cuerpos
• Un applet de Java para simular el movimiento 3D de un conjunto de partículas bajo interacción gravitacional.
• Simulación Javascript de nuestro Sistema Solar
• Los puntos de Lagrange : con enlaces a los artículos originales de Euler y Lagrange, y a las traducciones, con discusión.
• [1]
• Programa paralelo de simulación de GPU N-body con recorrido rápido del árbol de partículas sin apilamiento

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