Tupla

Lista de elementos ordenados finitos

Este artículo trata sobre el concepto matemático. Para el término musical, vea Tuplet .

"Octuple" vuelve a dirigir aquí. Para el tipo de bote de remos, consulte Scull Octuple .

"Duodecuple" vuelve a dirigir aquí. Para conocer el término en música, consulte Técnica de doce tonos .

En matemáticas , una tupla es una lista (secuencia) ordenada finita de elementos . Una n- tupla es una secuencia (o lista ordenada) de n elementos, donde n es un número entero no negativo . Solo hay una tupla 0, denominada tupla vacía . Una n- tupla se define inductivamente mediante la construcción de un par ordenado .

Los matemáticos suelen escribir tuplas enumerando los elementos entre paréntesis " () " y separados por comas; por ejemplo, (2, 7, 4, 1, 7) denota una tupla de 5. A veces se utilizan otros símbolos para rodear los elementos, como corchetes "[]" o corchetes angulares "⟨⟩". Las llaves "{}" se utilizan para especificar matrices en algunos lenguajes de programación, pero no en expresiones matemáticas, ya que son la notación estándar para conjuntos . El término tupla puede aparecer a menudo cuando se habla de otros objetos matemáticos, como los vectores .

En informática , las tuplas se presentan de muchas formas. La mayoría de los lenguajes de programación funcional tipificados implementan tuplas directamente como tipos de productos , ^[1] estrechamente asociados con tipos de datos algebraicos , coincidencia de patrones y asignación de desestructuración . ^[2] Muchos lenguajes de programación ofrecen una alternativa a las tuplas, conocidas como tipos de registro , que presentan elementos desordenados a los que se accede por etiqueta. ^[3] Algunos lenguajes de programación combinan tipos de productos de tuplas ordenadas y tipos de registros desordenados en una sola construcción, como en las estructuras C y los registros Haskell. Bases de datos relacionalespueden identificar formalmente sus filas (registros) como tuplas .

Las tuplas también ocurren en el álgebra relacional ; al programar la web semántica con Resource Description Framework (RDF); en lingüística ; ^[4] y en filosofía . ^[5]

Etimología

El término se originó como una abstracción de la secuencia: simple, pareja / doble, triple, cuádruple, quíntuple, séxtuple, séptuple, octuple, ..., n -tuple, ..., donde los prefijos se toman de los nombres latinos de los numerales. La tupla 0 única se denomina tupla nula o tupla vacía. Una tupla de 1 se llama simple (o singleton), una tupla de 2 se llama par o par ordenado, y una tupla de 3 se llama triple (o triplete). El número n puede ser cualquier número entero no negativo . Por ejemplo, un número complejo se puede representar como una tupla de 2 reales, un cuaternión se puede representar como una tupla de 4, un octonión se puede representar como una tupla de 8 y una sedenión se puede representar como una tupla de 16.

Aunque estos usan tratar -uple como sufijo, el sufijo original era -ple como en "triple" (triple) o "decuple" (diez-veces). Esto se origina en el latín medieval plus (que significa "más") relacionado con el griego ‑πλοῦς, que reemplazó al clásico y antiguo -plex (que significa "doblado"), como en "dúplex". ^{[6] [a]}

Nombres para tuplas de longitudes específicas

Más información: prefijo numérico

Longitud de la tupla, ${\displaystyle n}$	Nombre	Nombres alternativos
0	tupla vacía	tupla nula / secuencia vacía / unidad
1	monuple	single / singleton / mónada
2	Pareja	doble / par ordenado / dos-ple / twin / dual / duad / dyad / twosome
3	triple	agudo / triplete / tríada / triple ordenado / trío
4	cuadruplicar	cuádruple / tétrada / cuarteto / cuatrillizo
5	quintuplicar	pentuple / quint / pentad
6	séxtuplo	hextuple / hexad
7	séptuplo	heptuple / heptada
8	óctuple	octa / octeto / octad / octuplet
9	nonuple	nonad / ennead
10	décuplo	decad / decade (anticuado)
11	indeciso	endecuple / endecad
12	duodecuple	docena / duodecad
13	tredecuple	docena del panadero
14	quattuordecuple
15	quindecuple
dieciséis	sexdecuple
17	septendecuple
18	octodecuple
19	novemdecuple
20	vigintuple
21	unvigintuple
22	duovigintuple
23	trevigintuple
24	quattuorvigintuple
25	quinvigintuple
26	sexvigintuple
27	septenvigintuple
28	octovigintuple
29	novemvigintuple
30	trigintuple
31	untrigintuple
40	cuadragintuple
41	uncuadragintuple
50	quinquagintuple
60	sexagintuple
70	septuagintuple
80	octogintuple
90	no gentil
100	céntuplo
1.000	miluplo	mil años

Tenga en cuenta que para , el nombre de la tupla en la tabla anterior también puede funcionar como un verbo que significa "multiplicar [el objeto directo] por "; por ejemplo, "quintuplicar" significa "multiplicar por 5". Si , entonces el verbo asociado es "doblar". También hay un verbo "sesquiple", que significa "multiplicar por 3/2". En teoría, "monuple" también podría usarse de esta manera.${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

Propiedades

La regla general para la identidad de dos n- tuplas es

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ si y solo si .${\displaystyle a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}}$

Por tanto, una tupla tiene propiedades que la distinguen de un conjunto :

1. Una tupla puede contener varias instancias del mismo elemento, por lo que
   tupla ; pero listo .${\displaystyle (1,2,2,3)\neq (1,2,3)}$${\displaystyle \{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}}$
2. Los elementos de tupla están ordenados: tupla , pero establecidos .${\displaystyle (1,2,3)\neq (3,2,1)}$${\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}}$
3. Una tupla tiene un número finito de elementos, mientras que un conjunto o un conjunto múltiple pueden tener un número infinito de elementos.

Definiciones

Existen varias definiciones de tuplas que les otorgan las propiedades descritas en la sección anterior.

Tuplas como funciones

La -tupla puede identificarse como la función vacía . Para la -tupla se puede identificar con la función ( sobreyectiva )${\displaystyle 0}$${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

${\displaystyle F~:~\left\{1,\ldots ,n\right\}~\to ~\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}$

con dominio

${\displaystyle \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}=\left\{i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n\right\}}$

y con codominio

${\displaystyle \operatorname {codomain} F=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\},}$

que se define en por${\displaystyle i\in \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}}$

${\displaystyle F(i):=a_{i}.}$

Es decir, es la función definida por${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}1\;&\mapsto &&\;a_{1}\\\;&\;\;\vdots &&\;\\n\;&\mapsto &&\;a_{n}\\\end{alignedat}}}$

en cuyo caso la igualdad

${\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(F(1),F(2),\dots ,F(n)\right)}$

necesariamente se sostiene.

Tuplas como conjuntos de pares ordenados

Las funciones se identifican comúnmente con sus gráficos , que es un cierto conjunto de pares ordenados. De hecho, muchos autores utilizan gráficos como definición de una función. Usando esta definición de "función", la función anterior se puede definir como:${\displaystyle F}$

${\displaystyle F~:=~\left\{\left(1,a_{1}\right),\ldots ,\left(n,a_{n}\right)\right\}.}$

Tuplas como pares ordenados anidados

Otra forma de modelar tuplas en la teoría de conjuntos es como pares ordenados anidados . Este enfoque asume que la noción de par ordenado ya se ha definido.

1. La tupla 0 (es decir, la tupla vacía) está representada por el conjunto vacío .${\displaystyle \emptyset }$
2. Una n- tupla, con n > 0 , se puede definir como un par ordenado de su primera entrada y una ( n - 1) -tupla (que contiene las entradas restantes cuando n > 1) :

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))}$

Esta definición se puede aplicar de forma recursiva a la ( n - 1) -tupla:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))}$

Así, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}$

Una variante de esta definición comienza a "despegar" elementos del otro extremo:

1. La tupla 0 es el conjunto vacío .${\displaystyle \emptyset }$
2. Para n > 0 :

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})}$

Esta definición se puede aplicar de forma recursiva:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})}$

Así, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}$

Tuplas como conjuntos anidados

Usando la representación de Kuratowski para un par ordenado , la segunda definición anterior se puede reformular en términos de teoría de conjuntos pura :

1. La tupla 0 (es decir, la tupla vacía) está representada por el conjunto vacío ;${\displaystyle \emptyset }$
2. Sea una n- tupla y sea . A continuación, . (La flecha derecha , podría leerse como "junto a").${\displaystyle x}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)}$${\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}}$${\displaystyle \rightarrow }$

En esta formulación:

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}$

n -tuplas de m -conjuntos

En matemáticas discretas , especialmente combinatoria y teoría de probabilidad finita , n -tuplas surgen en el contexto de varios problemas de conteo y se tratan de manera más informal como listas ordenadas de longitud n . ^{[7] Las} n- tuplas cuyas entradas provienen de un conjunto de m elementos también se denominan arreglos con repetición , permutaciones de un conjunto múltiple y, en alguna literatura no inglesa, variaciones con repetición . El número de n tuplas de un m -set es m ⁿ . Esto se sigue de la combinatoriaregla de producto . ^[8] Si S es un conjunto finito de cardinalidad m , este número es la cardinalidad del n -fold poder cartesiano S × S × × ⋯ S . Las tuplas son elementos de este conjunto de productos.

Teoría de tipos

Artículo principal: Tipo de producto

En la teoría de tipos , comúnmente utilizada en lenguajes de programación , una tupla tiene un tipo de producto ; esto fija no solo la longitud, sino también los tipos subyacentes de cada componente. Formalmente:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ldots \times {\mathsf {T}}_{n}}$

y las proyecciones son constructores de términos:

${\displaystyle \pi _{1}(x):{\mathsf {T}}_{1},~\pi _{2}(x):{\mathsf {T}}_{2},~\ldots ,~\pi _{n}(x):{\mathsf {T}}_{n}}$

La tupla con elementos etiquetados utilizada en el modelo relacional tiene un tipo de registro . Ambos tipos se pueden definir como extensiones simples del cálculo lambda simplemente tipado . ^[9]

La noción de tupla en la teoría de tipos y la de la teoría de conjuntos se relacionan de la siguiente manera: si consideramos el modelo natural de una teoría de tipos y usamos los corchetes de Scott para indicar la interpretación semántica, entonces el modelo consta de algunos conjuntos ( nota: el uso de cursiva aquí que distingue conjuntos de tipos) de modo que:${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}$

${\displaystyle [\![{\mathsf {T}}_{1}]\!]=S_{1},~[\![{\mathsf {T}}_{2}]\!]=S_{2},~\ldots ,~[\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]=S_{n}}$

y la interpretación de los términos básicos es:

${\displaystyle [\![x_{1}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{1}]\!],~[\![x_{2}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{2}]\!],~\ldots ,~[\![x_{n}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]}$.

La n- tupla de la teoría de tipos tiene la interpretación natural como una n -tupla de la teoría de conjuntos: ^[10]

${\displaystyle [\![(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})]\!]=(\,[\![x_{1}]\!],[\![x_{2}]\!],\ldots ,[\![x_{n}]\!]\,)}$

El tipo de unidad tiene como interpretación semántica la tupla 0.

Ver también

• Arity
• Objeto exponencial
• Lenguaje formal
• OLAP: Expresiones multidimensionales
• Prime k -tupla
• Relación (matemáticas)
• Secuencia
• Tuplespace

Notas

1. Compare la etimología de ploidía , del griego para -fold.

Referencias

1. "Tipo de datos algebraicos - HaskellWiki" . wiki.haskell.org .
2. "Cesión de desestructuración" . Documentos web de MDN .
3. "¿JavaScript garantiza el orden de propiedad del objeto?" . Desbordamiento de pila .
4. "N-tupla". N ‐ tuple - Referencia de Oxford . oxfordreference.com . Prensa de la Universidad de Oxford. Enero de 2007. ISBN 9780199202720. Consultado el 1 de mayo de 2015 .
5. Blackburn, Simon (1994). "n-tupla ordenada". El Diccionario de Filosofía de Oxford . Guía de referencia rápida de Oxford (3 ed.). Oxford: Oxford University Press (publicado en 2016). pag. 342. ISBN 9780198735304. Consultado el 30 de junio de 2017 . n-tupla ordenada [:] Una generalización de la noción de un par [...] ordenado a secuencias de n objetos.
6. OED , sv "triple", "cuádruple", "quintuple", "decuple"
7. D'Angelo y West 2000 , p. 9
8. D'Angelo y West 2000 , p. 101
9. Pierce, Benjamin (2002). Tipos y lenguajes de programación . Prensa del MIT. pp.  126 -132. ISBN 0-262-16209-1.
10. Steve Awodey, De conjuntos a tipos, a categorías, a conjuntos , 2009, preimpresión

Fuentes

• D'Angelo, John P .; West, Douglas B. (2000), Pensamiento matemático / Resolución de problemas y pruebas (2a ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
• Keith Devlin , La alegría de los sets . Springer Verlag, 2.a ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4 , págs. 7-8 
• Abraham Adolf Fraenkel , Yehoshua Bar-Hillel , Azriel Lévy , Fundamentos de la teoría de conjuntos escolares , Elsevier Studies in Logic Vol. 67, 2da edición, revisada, 1973, ISBN 0-7204-2270-1 , p. 33 
• Gaisi Takeuti , WM Zaring, Introducción a la teoría de conjuntos axiomáticos , Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7 , p. 14 
• George J. Tourlakis, Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volumen 2: Teoría de conjuntos , Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6 , págs. 182-193 

enlaces externos

• La definición del diccionario de tupla en Wikcionario