Logaritmo natural

Logaritmo a la base de la constante matemática e

"Base e" vuelve a dirigir aquí. Para el sistema de numeración que utiliza "e" como base, consulte Representación no entera § Base e .

Gráfico de la función logaritmo natural. La función crece lentamente hasta el infinito positivo a medida que aumenta x , y va lentamente hasta el infinito negativo cuando x se acerca a 0 ("lentamente" en comparación con cualquier ley de potencia de x ); el eje y es una asíntota .

Parte de una serie de artículos sobre la
constante matemática e
Propiedades
Logaritmo natural Funcion exponencial
Aplicaciones
interés compuesto Identidad de Euler Fórmula de Euler vidas medias crecimiento y decadencia exponencial
Definiendo e
prueba de que e es irracional representaciones de e Teorema de Lindemann-Weierstrass
Personas
John Napier Leonhard Euler
Temas relacionados
Conjetura de Schanuel
v t mi

El logaritmo natural de un número es su logaritmo a la base de la constante matemática e , donde e es un número irracional y trascendental aproximadamente igual a2.718 281 828 459 . El logaritmo natural de x generalmente se escribe como ln x , log _e x , o algunas veces, si la base e está implícita, simplemente log x . ^{[1] [2] [3]} A veces se agregan paréntesis para mayor claridad, dando ln ( x ) , log _e ( x ) o log ( x ) . Esto se hace particularmente cuando el argumento del logaritmo no es un símbolo único, para evitar ambigüedades.

El logaritmo natural de x es la potencia a la que e debería elevarse para igualar x . Por ejemplo, ln 7.5 es 2.0149 ... , porque e ^{2.0149 ...} = 7.5 . El logaritmo natural de e mismo, ln e , es 1 , porque e ¹ = e , mientras que el logaritmo natural de 1 es 0 , ya que e ⁰ = 1 .

El logaritmo natural se puede definir para cualquier número real positivo a como el área bajo la curva y = 1 / x de 1 a a ^[4] (siendo el área negativa cuando 0 < a <1 ). La simplicidad de esta definición, que se corresponde con muchas otras fórmulas que involucran el logaritmo natural, conduce al término "natural". La definición del logaritmo natural se puede ampliar para dar valores de logaritmo para números negativos y para todos los números complejos distintos de cero , aunque esto conduce a una función de varios valores : consulte Logaritmo complejo para obtener más información.

La función de logaritmo natural, si se considera como una función de valor real de una variable real, es la función inversa de la función exponencial , lo que conduce a las identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{if }}x>0,\\\ln e^{x}&=x.\end{aligned}}}$

Como todos los logaritmos, el logaritmo natural mapea la multiplicación de números positivos en suma:

${\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}$^[5]

Los logaritmos se pueden definir para cualquier base positiva que no sea 1, no solo e . Sin embargo, los logaritmos en otras bases difieren solo por un multiplicador constante del logaritmo natural, y pueden definirse en términos de este último. Por ejemplo, el logaritmo en base 2 (también llamado logaritmo binario ) es igual al logaritmo natural dividido por ln 2 , el logaritmo natural de 2 .

Los logaritmos son útiles para resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente de alguna otra cantidad. Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para resolver la vida media , la constante de desintegración o el tiempo desconocido en problemas de desintegración exponencial . Son importantes en muchas ramas de las matemáticas y disciplinas científicas, y se utilizan en finanzas para resolver problemas de interés compuesto .

Historia

Artículo principal: Historia de los logaritmos

El concepto de logaritmo natural fue elaborado por Gregoire de Saint-Vincent y Alphonse Antonio de Sarasa antes de 1649. ^[6] Su trabajo implicó la cuadratura de la hipérbola con la ecuación xy = 1 , mediante la determinación del área de sectores hiperbólicos . Su solución generó la función de "logaritmo hiperbólico" requerida , que tenía las propiedades ahora asociadas con el logaritmo natural.

Una mención temprana del logaritmo natural fue por Nicholas Mercator en su obra Logarithmotechnia , publicado en 1668, ^[7] aunque el profesor de matemáticas John Speidell ya había compilado una tabla de lo que en realidad eran los logaritmos naturales de manera efectiva en 1619. ^[8] Se ha Se ha dicho que los logaritmos de Speidell estaban en la base e , pero esto no es del todo cierto debido a complicaciones con los valores expresados ​​como números enteros. ^{[8] : 152}

Convenciones de notación

Las notaciones ln x y log _e x se refieren de manera inequívoca al logaritmo natural de x , y log x sin una base explícita también puede referirse al logaritmo natural. ^[1] Este uso es común en matemáticas, junto con algunos contextos científicos, así como en muchos lenguajes de programación . ^{[nb 1]} En algunos otros contextos, como la química , sin embargo, log x puede usarse para denotar el logaritmo común (base 10) . También puede referirse al logaritmo binario (base 2) en el contexto de la informática., particularmente en el contexto de la complejidad del tiempo .

Definiciones

ln a como el área de la región sombreada debajo de la curva f ( x ) = 1 / x de 1 a a . Si a es menor que 1 , el área se considera negativa.

El área debajo de la hipérbola satisface la regla del logaritmo. Aquí A ( s , t ) denota el área bajo la hipérbola entre s y t .

El logaritmo natural se puede definir de varias formas equivalentes. El logaritmo natural de un número real positivo a puede definirse como el área debajo de la gráfica de la hipérbola con la ecuación y = 1 / x entre x = 1 y x = a . Esta es la integral ^[4]

${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Si a es menor que 1 , esta área se considera negativa.

Esta función es un logaritmo porque satisface la propiedad multiplicativa fundamental de un logaritmo: ^[5]

${\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}$

Esto se puede demostrar dividiendo la integral que define ln ab en dos partes, y luego haciendo la sustitución de variable x = at (entonces dx = a dt ) en la segunda parte, como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$

En términos elementales, esto es simplemente una escala de 1 / a en la dirección horizontal y de a en la dirección vertical. Área no cambia en virtud de esta transformación, pero la región entre una y AB se reconfigura. Como la función a / ( ax ) es igual a la función 1 / x , el área resultante es precisamente ln b .

El número e puede definirse entonces como el único número real a tal que ln a = 1 . Alternativamente, si la función exponencial , denotada e ^x o exp x , se ha definido primero, digamos usando una serie infinita , entonces el logaritmo natural puede definirse como su función inversa . En otras palabras, ln es esa función tal que ln (exp x ) = x. Dado que el rango de la función exponencial son todos números reales positivos, y dado que la función exponencial es estrictamente creciente, esto está bien definido para todo x positivo  .

Propiedades

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

Prueba

El enunciado es verdadero para , y ahora lo mostramos para todos , lo que completa la demostración mediante el teorema fundamental del cálculo . Por lo tanto, queremos mostrar que${\displaystyle x=0}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{1+x^{\alpha }}}\leq \alpha ={\frac {d}{dx}}(\alpha x)}$ (Tenga en cuenta que aún no hemos probado que esta afirmación sea verdadera). Si esto es cierto, multiplicando la afirmación del medio por la cantidad positiva y restando obtendríamos${\displaystyle (1+x^{\alpha })/\alpha }$${\displaystyle x^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha -1}\leq x^{\alpha }+1}$ ${\displaystyle x^{\alpha -1}(1-x)\leq 1}$ Esta afirmación es trivialmente cierta porque el lado izquierdo es negativo o cero. Porque sigue siendo cierto ya que ambos factores de la izquierda son menores que 1 (recuérdelo ). Por lo tanto, esta última afirmación es verdadera y al repetir nuestros pasos en orden inverso, encontramos eso para todos . Esto completa la prueba.${\displaystyle x\geq 1}$${\displaystyle 0\leq x<1}$${\displaystyle \alpha \geq 1}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)}$${\displaystyle x}$ Una prueba alternativa es observar eso bajo las condiciones dadas. Esto puede demostrarse, por ejemplo, mediante las desigualdades normativas. Tomando logaritmos y usando completa la demostración.${\displaystyle (1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }}$${\displaystyle \ln(1+x)\leq x}$

Derivado

La derivada del logaritmo natural como función de valor real en reales positivos viene dada por ^[4]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$

Cómo establecer esta derivada del logaritmo natural depende de cómo se defina de primera mano. Si el logaritmo natural se define como la integral

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$

entonces la derivada se sigue inmediatamente de la primera parte del teorema fundamental del cálculo .

Por otro lado, si el logaritmo natural se define como el inverso de la función exponencial (natural), entonces la derivada (para x > 0) se puede encontrar usando las propiedades del logaritmo y una definición de la función exponencial. A partir de la definición del número, la función exponencial se puede definir como , donde La derivada se puede encontrar a partir de los primeros principios.${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}}$${\displaystyle u=hx,h=u/x.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right)\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$

Además, tenemos:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$

entonces, a diferencia de su función inversa , una constante en la función no altera el diferencial.${\displaystyle e^{ax}}$

Serie

Los polinomios de Taylor para ln (1 +  x ) solo proporcionan aproximaciones precisas en el rango −1 <  x  ≤ 1. Más allá de x  > 1, los polinomios de Taylor de mayor grado son aproximaciones cada vez peores .

Si entonces ^[9]${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$

Esta es la serie de Taylor para ln  x alrededor de 1. Un cambio de variables produce la serie de Mercator :

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$

válido para | x | ≤ 1 y x  ≠ −1.

Leonhard Euler , ^[10] sin tener en cuenta , aplicó sin embargo esta serie ax  = −1, para mostrar que la serie armónica es igual al logaritmo (natural) de 1 / (1 - 1), es decir, el logaritmo del infinito. Hoy en día, de manera más formal, se puede demostrar que la serie armónica truncada en N está cerca del logaritmo de N , cuando N es grande, con la diferencia convergiendo a la constante de Euler-Mascheroni .${\displaystyle x\neq -1}$

A la derecha hay una imagen de ln (1 +  x ) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de 0. Estas aproximaciones convergen a la función solo en la región −1 <  x  ≤ 1; fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado evolucionan a peores aproximaciones para la función.

Un caso especial útil para enteros positivos n , tomando , es:${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$

Si entonces${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$

Ahora, tomando como números enteros positivos n , obtenemos:${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$

Si entonces${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$

${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$

Desde

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$

llegamos a

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$

Usando la sustitución nuevamente para enteros positivos n , obtenemos: ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$

Esta es, con mucho, la convergencia más rápida de las series descritas aquí.

El logaritmo natural en la integración

El logaritmo natural permite la integración simple de funciones de la forma g ( x ) = f  '( x ) / f ( x ): una antiderivada de g ( x ) está dada por ln (| f ( x ) |). Este es el caso debido a la regla de la cadena y al siguiente hecho:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}}.}$

En otras palabras,

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$

y

${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$

Aquí hay un ejemplo en el caso de g ( x ) = tan ( x ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\[6pt]&\int \tan x\,dx=\int {\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx.\end{aligned}}}$

Dejando f ( x ) = cos ( x ):

${\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C}$

${\displaystyle \int \tan x\,dx=\ln \left|\sec x\right|+C}$

donde C es una constante de integración arbitraria .

El logaritmo natural se puede integrar mediante la integración por partes :

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$

Dejar:

${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$

${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$

luego:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$

Valor numérico

Para ln ( x ) donde x  > 1, cuanto más cerca esté el valor de x a 1, más rápida será la tasa de convergencia. Las identidades asociadas con el logaritmo se pueden aprovechar para aprovechar esto:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$

Estas técnicas se utilizaron antes que las calculadoras, haciendo referencia a tablas numéricas y realizando manipulaciones como las anteriores.

Logaritmo natural de 10

El logaritmo natural de 10, que tiene la expansión decimal 2.30258509 ..., ^[11] juega un papel, por ejemplo, en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en notación científica , como una mantisa multiplicada por una potencia de 10:

${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$

Esto significa que se pueden calcular eficazmente los logaritmos de números con una magnitud muy grande o muy pequeña utilizando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango [1, 10) .

Alta precisión

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, el método de la serie de Taylor no es eficiente ya que la convergencia es lenta. Especialmente si x está cerca de 1, una buena alternativa es usar el método de Halley o el método de Newton para invertir la función exponencial, porque la serie de la función exponencial converge más rápidamente. Para encontrar el valor de y para dar exp ( y ) - x = 0 usando el método de Halley, o de manera equivalente para dar exp ( y / 2) - x exp (- y / 2) = 0 usando el método de Newton, la iteración se simplifica a

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$

que tiene convergencia cúbica a ln ( x ) .

Otra alternativa para el cálculo de una precisión extremadamente alta es la fórmula ^{[12] [13]}

${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$

donde M denota la media aritmético-geométrica de 1 y 4 / s , y

${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$

con m elegido de modo que se logre p bits de precisión. (Para la mayoría de los propósitos, el valor de 8 para m es suficiente). De hecho, si se usa este método, la inversión de Newton del logaritmo natural puede usarse a la inversa para calcular la función exponencial de manera eficiente. (Las constantes ln 2 y π pueden calcularse previamente con la precisión deseada utilizando cualquiera de las varias series conocidas que convergen rápidamente).

Basado en una propuesta de William Kahan e implementado por primera vez en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C en 1979 (referido bajo "LN1" en la pantalla, solamente), algunas calculadoras, sistemas operativos (por ejemplo Berkeley UNIX 4.3BSD ^[14] ), los sistemas de álgebra computacional y los lenguajes de programación (por ejemplo, C99 ^[15] ) proporcionan un logaritmo natural especial más 1 función, también llamado LNP1 , ^{[16] [17]} o log1p ^[15] para dar resultados más precisos para logaritmos cercanos a cero pasando argumentos x, también cercano a cero, a una función log1p ( x ), que devuelve el valor ln (1+ x ), en lugar de pasar un valor y cercano a 1 a una función que devuelve ln ( y ). ^{[15] [16] [17]} La función log1p evita en la aritmética de punto flotante una cancelación cercana del término absoluto 1 con el segundo término de la expansión de Taylor del ln, lo que permite una alta precisión tanto para el argumento como para el resultado cercano a cero. ^{[16] [17]}

Además de la base e, el estándar IEEE 754-2008 define funciones logarítmicas similares cerca de 1 para logaritmos binarios y decimales : log ₂ (1 + x ) y log ₁₀ (1 + x ) .

También existen funciones inversas similares llamadas " expm1 ", ^[15] "expm" ^{[16] [17]} o "exp1m", todas con el significado de expm1 ( x ) = exp ( x ) - 1 . ^{[nb 2]}

Una identidad en términos de la tangente hiperbólica inversa ,

${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$

da un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementan log1p ( x ) .

Complejidad computacional

Artículo principal: Complejidad computacional de operaciones matemáticas.

La complejidad computacional de calcular el logaritmo natural (usando la media aritmética-geométrica) es O ( M ( n ) ln n ). Aquí n es el número de dígitos de precisión con el que se evaluará el logaritmo natural y M ( n ) es la complejidad computacional de multiplicar dos números de n dígitos.

Fracciones continuas

Si bien no hay disponibles fracciones continuas simples , hay varias fracciones continuas generalizadas , que incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Estas fracciones continuas, en particular la última, convergen rápidamente para valores cercanos a 1. Sin embargo, los logaritmos naturales de números mucho más grandes se pueden calcular fácilmente, sumando repetidamente los de números más pequeños, con una convergencia igualmente rápida.

Por ejemplo, dado que 2 = 1,25 ³ × 1,024, el logaritmo natural de 2 se puede calcular como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$

Además, dado que 10 = 1.25 ¹⁰ × 1.024 ³ , incluso el logaritmo natural de 10 se puede calcular de manera similar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$

Logaritmos complejos

Artículo principal: logaritmo complejo

La función exponencial se puede extender a una función que da un número complejo como e ^x para cualquier número complejo arbitrario x ; simplemente use la serie infinita con x complejo. Esta función exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo que exhibe la mayoría de las propiedades del logaritmo ordinario. Hay dos dificultades involucradas: no x tiene e ^x = 0 ; y resulta que e ^{2 iπ} = 1 = e ⁰ . Dado que la propiedad multiplicativa todavía funciona para la función exponencial compleja, e ^z = e ^{z+2 kiπ} , para todos los complejos z y enteros  k .

Por lo tanto, el logaritmo no se puede definir para todo el plano complejo , e incluso entonces tiene varios valores: cualquier logaritmo complejo se puede cambiar a un logaritmo "equivalente" agregando cualquier múltiplo entero de 2 iπ a voluntad. El logaritmo complejo solo puede tener un valor único en el plano de corte . Por ejemplo, ln i =iπ/2 o 5 iπ/2o -3 iπ/2, etc .; y aunque i ⁴ = 1, 4 ln i puede definirse como 2 iπ , o 10 iπ o −6 iπ , y así sucesivamente.

• Gráficos de la función logaritmo natural en el plano complejo ( rama principal )
• z = Re (ln ( x + yi ))

• z = | (Im (ln ( x + yi ))) |

• z = | (ln ( x + yi )) |

• Superposición de los tres gráficos anteriores

Ver también

• Aproximación de exponentes naturales (base logarítmica e)
• Logaritmo iterado
• Logaritmo napieriano
• Lista de identidades logarítmicas
• Logaritmo de una matriz
• Diferenciación logarítmica
• Función integral logarítmica
• Nicholas Mercator - primero en usar el término logaritmo natural
• Polilogaritmo
• Función de Von Mangoldt

Notas

1. Incluyendo C , C ++ , SAS , MATLAB , Mathematica , Fortran y algunosdialectos BÁSICOS
2. Para obtener un enfoque similar para reducir los errores de redondeo de los cálculos para ciertos valores de entrada, consulte las funciones trigonométricas como versina , vercosina , coversine , covercosine , haversine , havercosine , hacoversine , hacovercosine , exsecant y excosecant .

Referencias

1. "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
2. GH Hardy y EM Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, nota al pie del párrafo 1.7: " log x es, por supuesto, el logaritmo 'naperiano' de x, en base e. 'Common' los logaritmos no tienen interés matemático ".
3. Mortimer, Robert G. (2005). Matemáticas para la química física (3ª ed.). Prensa académica . pag. 9. ISBN 0-12-508347-5. Extracto de la página 9
4. Weisstein, Eric W. "Logaritmo natural" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
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