El logaritmo natural de un número es su logaritmo a la base de la constante matemática e , donde e es un número irracional y trascendental aproximadamente igual a2.718 281 828 459 . El logaritmo natural de x generalmente se escribe como ln x , log e x , o algunas veces, si la base e está implícita, simplemente log x . [1] [2] [3] A veces se agregan paréntesis para mayor claridad, dando ln ( x ) , log e ( x ) o log ( x ) . Esto se hace particularmente cuando el argumento del logaritmo no es un símbolo único, para evitar ambigüedades.
El logaritmo natural de x es la potencia a la que e debería elevarse para igualar x . Por ejemplo, ln 7.5 es 2.0149 ... , porque e 2.0149 ... = 7.5 . El logaritmo natural de e mismo, ln e , es 1 , porque e 1 = e , mientras que el logaritmo natural de 1 es 0 , ya que e 0 = 1 .
El logaritmo natural se puede definir para cualquier número real positivo a como el área bajo la curva y = 1 / x de 1 a a [4] (siendo el área negativa cuando 0 < a <1 ). La simplicidad de esta definición, que se corresponde con muchas otras fórmulas que involucran el logaritmo natural, conduce al término "natural". La definición del logaritmo natural se puede ampliar para dar valores de logaritmo para números negativos y para todos los números complejos distintos de cero , aunque esto conduce a una función de varios valores : consulte Logaritmo complejo para obtener más información.
La función de logaritmo natural, si se considera como una función de valor real de una variable real, es la función inversa de la función exponencial , lo que conduce a las identidades:
Como todos los logaritmos, el logaritmo natural mapea la multiplicación de números positivos en suma:
Los logaritmos se pueden definir para cualquier base positiva que no sea 1, no solo e . Sin embargo, los logaritmos en otras bases difieren solo por un multiplicador constante del logaritmo natural, y pueden definirse en términos de este último. Por ejemplo, el logaritmo en base 2 (también llamado logaritmo binario ) es igual al logaritmo natural dividido por ln 2 , el logaritmo natural de 2 .
Los logaritmos son útiles para resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente de alguna otra cantidad. Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para resolver la vida media , la constante de desintegración o el tiempo desconocido en problemas de desintegración exponencial . Son importantes en muchas ramas de las matemáticas y disciplinas científicas, y se utilizan en finanzas para resolver problemas de interés compuesto .
Historia
El concepto de logaritmo natural fue elaborado por Gregoire de Saint-Vincent y Alphonse Antonio de Sarasa antes de 1649. [6] Su trabajo implicó la cuadratura de la hipérbola con la ecuación xy = 1 , mediante la determinación del área de sectores hiperbólicos . Su solución generó la función de "logaritmo hiperbólico" requerida , que tenía las propiedades ahora asociadas con el logaritmo natural.
Una primera mención del logaritmo natural fue hecha por Nicholas Mercator en su obra Logarithmotechnia , publicado en 1668, [7] aunque el profesor de matemáticas John Speidell ya había compilado una tabla de lo que de hecho eran logaritmos naturales en 1619. [8] Tiene Se ha dicho que los logaritmos de Speidell estaban en la base e , pero esto no es del todo cierto debido a complicaciones con los valores expresados como números enteros. [8] : 152
Convenciones de notación
Las notaciones ln x y log e x se refieren de manera inequívoca al logaritmo natural de x , y log x sin una base explícita también puede referirse al logaritmo natural. [1] Este uso es común en matemáticas, junto con algunos contextos científicos, así como en muchos lenguajes de programación . [nb 1] En algunos otros contextos, como la química , sin embargo, log x puede usarse para denotar el logaritmo común (base 10) . También puede referirse al logaritmo binario (base 2) en el contexto de la informática , particularmente en el contexto de la complejidad del tiempo .
Definiciones
El logaritmo natural se puede definir de varias formas equivalentes. El logaritmo natural de un número real positivo a puede definirse como el área debajo de la gráfica de la hipérbola con la ecuación y = 1 / x entre x = 1 y x = a . Esta es la integral [4]
Si a es menor que 1 , esta área se considera negativa.
Esta función es un logaritmo porque satisface la propiedad multiplicativa fundamental de un logaritmo: [5]
Esto se puede demostrar dividiendo la integral que define ln ab en dos partes, y luego haciendo la sustitución de variable x = at (entonces dx = a dt ) en la segunda parte, como sigue:
En términos elementales, esto es simplemente una escala de 1 / a en la dirección horizontal y de a en la dirección vertical. Área no cambia en virtud de esta transformación, pero la región entre una y AB se reconfigura. Como la función a / ( ax ) es igual a la función 1 / x , el área resultante es precisamente ln b .
El número e puede definirse entonces como el único número real a tal que ln a = 1 . Alternativamente, si la función exponencial , denotada e x o exp x , se ha definido primero, digamos usando una serie infinita , entonces el logaritmo natural puede definirse como su función inversa . En otras palabras, ln es esa función tal que ln (exp x ) = x . Dado que el rango de la función exponencial son todos números reales positivos, y dado que la función exponencial es estrictamente creciente, esto está bien definido para todo x positivo .
Propiedades
Prueba |
---|
La afirmación es verdadera para , y ahora mostramos que para todos , que completa la demostración mediante el teorema fundamental del cálculo . Por lo tanto, queremos mostrar que (Tenga en cuenta que aún no hemos probado que esta afirmación sea verdadera). Si esto es cierto, entonces al multiplicar la afirmación del medio por la cantidad positiva y restando obtendríamos Esta afirmación es trivialmente cierta para ya que el lado izquierdo es negativo o cero. Para sigue siendo cierto ya que ambos factores de la izquierda son menores que 1 (recuerde que ). Por lo tanto, esta última afirmación es verdadera y al repetir nuestros pasos en orden inverso, encontramos que para todos . Esto completa la prueba. Una prueba alternativa es observar que en las condiciones dadas. Esto puede demostrarse, por ejemplo, mediante las desigualdades normativas. Tomando logaritmos y usando completa la prueba. |
Derivado
La derivada del logaritmo natural como función de valor real en reales positivos viene dada por [4]
Cómo establecer esta derivada del logaritmo natural depende de cómo se defina de primera mano. Si el logaritmo natural se define como la integral
entonces la derivada se sigue inmediatamente de la primera parte del teorema fundamental del cálculo .
Por otro lado, si el logaritmo natural se define como el inverso de la función exponencial (natural), entonces la derivada (para x > 0) se puede encontrar usando las propiedades del logaritmo y una definición de la función exponencial. De la definición del número la función exponencial se puede definir como , dónde Entonces, la derivada se puede encontrar a partir de los primeros principios.
Además, tenemos:
entonces, a diferencia de su función inversa , una constante en la función no altera el diferencial.
Serie
Si luego [9]
Esta es la serie de Taylor para ln x alrededor de 1. Un cambio de variables produce la serie de Mercator :
válido para | x | ≤ 1 y x ≠ −1.
Leonhard Euler , [10] sin tener en cuenta, sin embargo aplicó esta serie ax = −1, para mostrar que la serie armónica es igual al logaritmo (natural) de 1 / (1 - 1), es decir, el logaritmo de infinito. Hoy en día, de manera más formal, se puede demostrar que la serie armónica truncada en N está cerca del logaritmo de N , cuando N es grande, con la diferencia convergiendo a la constante de Euler-Mascheroni .
A la derecha hay una imagen de ln (1 + x ) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de 0. Estas aproximaciones convergen a la función solo en la región −1 < x ≤ 1; fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado evolucionan a peores aproximaciones para la función.
Un caso especial útil para enteros positivos n , tomando, es:
Si luego
Ahora, tomando para enteros positivos n , obtenemos:
Si luego
Desde
llegamos a
Usando la sustitución nuevamente para enteros positivos n , obtenemos:
Esta es, con mucho, la convergencia más rápida de las series descritas aquí.
El logaritmo natural en la integración
El logaritmo natural permite la integración simple de funciones de la forma g ( x ) = f '( x ) / f ( x ): una antiderivada de g ( x ) está dada por ln (| f ( x ) |). Este es el caso debido a la regla de la cadena y al siguiente hecho:
En otras palabras,
y
Aquí hay un ejemplo en el caso de g ( x ) = tan ( x ):
Dejando f ( x ) = cos ( x ):
donde C es una constante arbitraria de integración .
El logaritmo natural se puede integrar mediante la integración por partes :
Dejar:
luego:
Valor numérico
Para ln ( x ) donde x > 1, cuanto más cerca esté el valor de x a 1, más rápida será la tasa de convergencia. Las identidades asociadas con el logaritmo se pueden aprovechar para aprovechar esto:
Estas técnicas se utilizaron antes que las calculadoras, haciendo referencia a tablas numéricas y realizando manipulaciones como las anteriores.
Logaritmo natural de 10
El logaritmo natural de 10, que tiene la expansión decimal 2.30258509 ..., [11] juega un papel, por ejemplo, en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en notación científica , como una mantisa multiplicada por una potencia de 10:
Esto significa que se pueden calcular eficazmente los logaritmos de números con una magnitud muy grande o muy pequeña utilizando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango [1, 10) .
Alta precisión
Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, el método de la serie de Taylor no es eficiente ya que la convergencia es lenta. Especialmente si x está cerca de 1, una buena alternativa es usar el método de Halley o el método de Newton para invertir la función exponencial, porque la serie de la función exponencial converge más rápidamente. Para encontrar el valor de y para dar exp ( y ) - x = 0 usando el método de Halley, o de manera equivalente para dar exp ( y / 2) - x exp (- y / 2) = 0 usando el método de Newton, la iteración se simplifica a
que tiene convergencia cúbica a ln ( x ) .
Otra alternativa para el cálculo de una precisión extremadamente alta es la fórmula [12] [13]
donde M denota la media aritmético-geométrica de 1 y 4 / s , y
con m elegido de modo que se logre p bits de precisión. (Para la mayoría de los propósitos, el valor de 8 para m es suficiente). De hecho, si se usa este método, la inversión de Newton del logaritmo natural puede usarse a la inversa para calcular la función exponencial de manera eficiente. (Las constantes ln 2 y π pueden calcularse previamente con la precisión deseada utilizando cualquiera de las varias series conocidas que convergen rápidamente).
Basado en una propuesta de William Kahan e implementado por primera vez en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C en 1979 (referido bajo "LN1" en la pantalla, solamente), algunas calculadoras, sistemas operativos (por ejemplo Berkeley UNIX 4.3BSD [14] ), los sistemas de álgebra computacional y los lenguajes de programación (por ejemplo, C99 [15] ) proporcionan un logaritmo natural especial más 1 función, también llamado LNP1 , [16] [17] o log1p [15] para dar resultados más precisos para logaritmos cercanos a cero pasando argumentos x , también cercanos a cero, a una función log1p ( x ), que devuelve el valor ln (1+ x ), en lugar de pasar un valor y cercano a 1 a una función que devuelve ln ( y ). [15] [16] [17] La función log1p evita en la aritmética de punto flotante una cancelación cercana del término absoluto 1 con el segundo término de la expansión de Taylor del ln, lo que permite una alta precisión tanto para el argumento como para el resultado cercano a cero. [16] [17]
Además de la base e, el estándar IEEE 754-2008 define funciones logarítmicas similares cerca de 1 para logaritmos binarios y decimales : log 2 (1 + x ) y log 10 (1 + x ) .
También existen funciones inversas similares llamadas " expm1 ", [15] "expm" [16] [17] o "exp1m", todas con el significado de expm1 ( x ) = exp ( x ) - 1 . [nb 2]
Una identidad en términos de la tangente hiperbólica inversa ,
da un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementan log1p ( x ) .
Complejidad computacional
La complejidad computacional de calcular el logaritmo natural (usando la media aritmética-geométrica) es O ( M ( n ) ln n ). Aquí n es el número de dígitos de precisión con el que se evaluará el logaritmo natural y M ( n ) es la complejidad computacional de multiplicar dos números de n dígitos.
Fracciones continuas
Si bien no hay disponibles fracciones continuas simples , hay varias fracciones continuas generalizadas , que incluyen:
Estas fracciones continuas, particularmente la última, convergen rápidamente para valores cercanos a 1. Sin embargo, los logaritmos naturales de números mucho más grandes se pueden calcular fácilmente, sumando repetidamente los de números más pequeños, con una convergencia igualmente rápida.
Por ejemplo, dado que 2 = 1,25 3 × 1,024, el logaritmo natural de 2 se puede calcular como:
Además, dado que 10 = 1.25 10 × 1.024 3 , incluso el logaritmo natural de 10 se puede calcular de manera similar como:
Logaritmos complejos
La función exponencial se puede extender a una función que da un número complejo como e x para cualquier número complejo arbitrario x ; simplemente use la serie infinita con x complejo. Esta función exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo que exhibe la mayoría de las propiedades del logaritmo ordinario. Hay dos dificultades involucradas: no x tiene e x = 0 ; y resulta que e 2 iπ = 1 = e 0 . Dado que la propiedad multiplicativa todavía funciona para la función exponencial compleja, e z = e z +2 kiπ , para todos los complejos z y enteros k .
Por lo tanto, el logaritmo no se puede definir para todo el plano complejo , e incluso entonces tiene varios valores: cualquier logaritmo complejo se puede cambiar a un logaritmo "equivalente" agregando cualquier múltiplo entero de 2 iπ a voluntad. El logaritmo complejo solo puede tener un valor único en el plano de corte . Por ejemplo, ln i =iπ/2 o 5 iπ/2o - 3 iπ/2, etc .; y aunque i 4 = 1, 4 ln i puede definirse como 2 iπ , o 10 iπ o −6 iπ , y así sucesivamente.
z = Re (ln ( x + yi ))
z = | (Im (ln ( x + yi ))) |
z = | (ln ( x + yi )) |
Superposición de los tres gráficos anteriores
Ver también
- Aproximación de exponentes naturales (base logarítmica e)
- Logaritmo iterado
- Logaritmo napieriano
- Lista de identidades logarítmicas
- Logaritmo de una matriz
- Diferenciación logarítmica
- Función integral logarítmica
- Nicholas Mercator - primero en usar el término logaritmo natural
- Polilogaritmo
- Función de Von Mangoldt
Notas
- ^ Incluyendo C , C ++ , SAS , MATLAB , Mathematica , Fortran y algunosdialectos BÁSICOS
- ^ Para obtener un enfoque similar para reducir los errores de redondeo de los cálculos para ciertos valores de entrada, consulte las funciones trigonométricas como versina , vercosina , coversine , covercosine , haversine , havercosine , hacoversine , hacovercosine , exsecant y excosecant .
Referencias
- ^ a b "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
- ^ GH Hardy y EM Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, nota al pie del párrafo 1.7: " log x es, por supuesto, el logaritmo 'naperiano' de x, en base e. 'Common' los logaritmos no tienen interés matemático ".
- ^ Mortimer, Robert G. (2005). Matemáticas para la química física (3ª ed.). Prensa académica . pag. 9. ISBN 0-12-508347-5. Extracto de la página 9
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Logaritmo natural" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
- ^ a b "logaritmo | Reglas, ejemplos y fórmulas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
- ^ Quemar, RP (2001). Alphonse Antonio de Sarasa y Logaritmos . Historia Mathematica . págs. 28: 1-17.
- ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (septiembre de 2001). "El número e" . El archivo MacTutor History of Mathematics . Consultado el 2 de febrero de 2009 .
- ^ a b Cajori, Florian (1991). Una historia de las matemáticas (5ª ed.). Librería AMS. pag. 152. ISBN 0-8218-2102-4.
- ^ "Expansiones logarítmicas" en Math2.org
- ^ Leonhard Euler , Introductio en Analysin Infinitorum. Tomus Primus. Bousquet, Lausana 1748. Exemplum 1, p. 228; quoque en: Opera Omnia, Serie Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Teubner 1922
- ^ OEIS : A002392
- ^ Sasaki, T .; Canadá, Y. (1982). "Evaluación de precisión múltiple prácticamente rápida de log (x)" . Revista de procesamiento de información . 5 (4): 247–250 . Consultado el 30 de marzo de 2011 .
- ^ Ahrendt, Timm (1999). "Cálculos rápidos de la función exponencial". Stacs 99 . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 1564 : 302–312. doi : 10.1007 / 3-540-49116-3_28 . ISBN 978-3-540-65691-3.
- ^ Beebe, Nelson HF (22 de agosto de 2017). "Capítulo 10.4. Logaritmo cerca de uno". El manual de computación de funciones matemáticas - Programación usando la biblioteca de software portátil MathCW (1 ed.). Salt Lake City, UT, Estados Unidos: Springer International Publishing AG . págs. 290-292. doi : 10.1007 / 978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446 .
En 1987, Berkeley UNIX 4.3BSD introdujo la función log1p ()
- ^ a b c d Beebe, Nelson HF (9 de julio de 2002). "Cálculo de expm1 = exp (x) −1" (PDF) . 1,00. Salt Lake City, Utah, EE.UU .: Departamento de Matemáticas, Centro de Computación Científica, Universidad de Utah . Consultado el 2 de noviembre de 2015 .
- ^ a b c d Serie HP 48G - Manual de referencia del usuario avanzado (AUR) (4 ed.). Hewlett-Packard . Diciembre de 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Consultado el 6 de septiembre de 2015 .
- ^ a b c d Calculadora gráfica HP 50g / 49g + / 48gII manual de referencia del usuario avanzado (AUR) (2 ed.). Hewlett-Packard . 14 de julio de 2009 [2005]. HP F2228-90010 . Consultado el 10 de octubre de 2015 . PDF con capacidad de búsqueda