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En la lógica , la negación , también llamado el complemento lógico , es una operación que se lleva a una proposición a otra proposición "no ", escrito , o . [1] Se interpreta intuitivamente como verdadero cuando es falso y falso cuando es verdadero. [2] [3] La negación es, por tanto, una conectiva lógica unaria (argumento único) . Puede aplicarse como una operación sobre nociones , proposiciones , valores de verdad o valores semánticos en general. En la lógica clásica, la negación se identifica normalmente con la función de verdad que lleva la verdad a la falsedad (y viceversa). En la lógica intuicionista , según la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov , la negación de una proposición es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de .

Definición [ editar ]

No existe acuerdo sobre la posibilidad de definir la negación, en cuanto a su estado lógico, función y significado, en cuanto a su campo de aplicabilidad, y en cuanto a la interpretación del juicio negativo (FH Heinemann 1944). [4]

La negación clásica es una operación sobre un valor lógico , típicamente el valor de una proposición , que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado es verdadero, entonces (pronunciado "no P") sería falso; ya la inversa, si es falso, entonces sería verdadero.

La tabla de verdad de es la siguiente:

La negación se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, se puede definir como (donde es consecuencia lógica y es falsedad absoluta ). A la inversa, se puede definir como para cualquier proposición (donde está la conjunción lógica ). La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa, y aunque estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la intuicionista, no funcionan en la lógica paraconsistente , donde las contradicciones no son necesariamente falsas. En la lógica clásica, también obtenemos una identidad adicional, que se puede definir como , donde es la disyunción lógica.

Algebraicamente, la negación clásica corresponde a la complementación en un álgebra de Boole y la negación intuicionista a la pseudocomplementación en un álgebra de Heyting . Estas álgebras proporcionan una semántica para la lógica clásica e intuicionista, respectivamente.

Notación [ editar ]

La negación de una proposición se anota de diferentes maneras, en varios contextos de discusión y campos de aplicación. La siguiente tabla documenta algunas de estas variantes:

La notación N p es la notación Łukasiewicz .

En teoría de conjuntos , también se usa para indicar 'no en el conjunto de': es el conjunto de todos los miembros de que no son miembros de .

Independientemente de cómo esté anotado o simbolizado , la negación puede leerse como "no es el caso que ", "no es eso ", o por lo general más simplemente como "no ".

Propiedades [ editar ]

Doble negación [ editar ]

Dentro de un sistema de lógica clásica , la doble negación, es decir, la negación de la negación de una proposición , es lógicamente equivalente a . Expresado en términos simbólicos, . En la lógica intuicionista , una proposición implica su doble negación, pero no a la inversa. Esto marca una diferencia importante entre la negación clásica y la intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica se llama involución del período dos.

Sin embargo, en la lógica intuicionista , la equivalencia no se sostiene. Además, en el caso proposicional, una oración es clásicamente demostrable si su doble negación es intuicionistamente demostrable. Este resultado se conoce como teorema de Glivenko .

Distributividad [ editar ]

Las leyes de De Morgan proporcionan una forma de distribuir la negación sobre la disyunción y la conjunción :

, y
.

Linealidad [ editar ]

Dejar que denotan la lógica XOR operación. En álgebra de Boole , una función lineal es aquella que:

Si existe , por todo .

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación, o nunca hace una diferencia. La negación es un operador lógico lineal.

Auto dual [ editar ]

En álgebra de Boole , una función dual propia es una función tal que:

para todos . La negación es un operador lógico dual autónomo.

Negaciones de cuantificadores [ editar ]

En la lógica de primer orden , hay dos cuantificadores, uno es el cuantificador universal (significa "para todos") y el otro es el cuantificador existencial (significa "existe"). [1] La negación de un cuantificador es el otro cuantificador ( y ). Por ejemplo, con el predicado P como " x es mortal" y el dominio de x como la colección de todos los humanos, significa "una persona x en todos los humanos es mortal" o "todos los humanos son mortales". La negación de esto es , significando "existe una persona x en todos los humanos que no es mortal", o "existe alguien que vive para siempre".

Reglas de inferencia [ editar ]

Hay varias formas equivalentes de formular reglas para la negación. Una forma habitual de formular la negación clásica en un contexto de deducción natural es tomar como reglas primitivas de inferencia la introducción de la negación (de una derivación de a ambos e , inferir ; esta regla también se llama reductio ad absurdum ), la eliminación de la negación (de e inferir ; esta regla también se llama ex falso quodlibet ) y eliminación de doble negación (de inferir ). Se obtienen las reglas para la negación intuicionista de la misma manera pero excluyendo la eliminación de la doble negación.

La introducción de la negación establece que si se puede sacar un absurdo como conclusión a partir de entonces , no debe ser el caso ( es decir, es falso (clásicamente) o refutable (intuicionista), etc.). La eliminación de la negación establece que cualquier cosa se sigue de un absurdo. A veces, la eliminación de la negación se formula utilizando un signo de absurdo primitivo . En este caso la regla dice que de y sigue un absurdo. Junto con la eliminación de la doble negación, se puede inferir nuestra regla originalmente formulada, a saber, que cualquier cosa se sigue de un absurdo.

Normalmente, la negación intuicionista de se define como . Entonces, la introducción y eliminación de la negación son solo casos especiales de introducción de implicaciones ( prueba condicional ) y eliminación ( modus ponens ). En este caso también hay que añadir como regla primitiva ex falso quodlibet .

Lenguaje de programación y lenguaje ordinario [ editar ]

Al igual que en las matemáticas, la negación se utiliza en informática para construir enunciados lógicos.

if  ( ! ( r  ==  t )) {  /*... declaraciones ejecutadas cuando r NO es igual a t ... * / }

El signo de exclamación " !" significa NO lógico en B , C y lenguajes con una sintaxis inspirada en C, como C ++ , Java , JavaScript , Perl y PHP . " NOT" es el operador utilizado en ALGOL 60 , BASIC y lenguajes con una sintaxis inspirada en ALGOL o BASIC como Pascal , Ada , Eiffel y Seed7 . Algunos lenguajes (C ++, Perl, etc.) proporcionan más de un operador para la negación. Algunos lenguajes como PL / I y Rat para su uso¬por la negación. Algunas computadoras y sistemas operativos modernos se mostrarán ¬como !archivos codificados en ASCII . [ aclaración necesaria ] La mayoría de los lenguajes modernos permiten acortar la declaración anterior de if (!(r == t))a if (r != t), lo que a veces permite, cuando el compilador / intérprete no puede optimizarlo, programas más rápidos.

En informática también existe la negación bit a bit . Esto toma el valor dado y cambia todos los 1 binarios a 0 y 0 a 1. Ver operación bit a bit . Esto se usa a menudo para crear el complemento a uno o " ~" en C o C ++ y el complemento a dos (simplemente simplificado a " -" o el signo negativo, ya que esto es equivalente a tomar el valor aritmético negativo del número) ya que básicamente crea lo opuesto ( equivalente de valor negativo) o complemento matemático del valor (donde ambos valores se suman crean un todo).

Para obtener el valor absoluto (equivalente positivo) de un entero dado, lo siguiente funcionaría ya que " -" lo cambia de negativo a positivo (es negativo porque " x < 0" da como resultado verdadero)

unsigned  int  abs ( int  x ) {  if  ( x  <  0 )  return  - x ;  si no  devuelve  x ; }

Para demostrar la negación lógica:

unsigned  int  abs ( int  x ) {  if  ( ! ( x  <  0 ))  return  x ;  si no  devuelve  - x ; }

Invertir la condición y revertir los resultados produce un código que es lógicamente equivalente al código original, es decir, tendrá resultados idénticos para cualquier entrada (tenga en cuenta que dependiendo del compilador utilizado, las instrucciones reales ejecutadas por la computadora pueden diferir).

Esta convención aparece ocasionalmente en el habla escrita ordinaria, como jerga relacionada con la computadora para decir no . Por ejemplo, la frase !votingsignifica "no votar". Otro ejemplo es la frase !clueque se utiliza como sinónimo de "sin pista" o "despistado". [5] [6]

Semántica de Kripke [ editar ]

En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de mundos posibles , la negación puede tomarse como una complementación de la teoría de conjuntos [ cita requerida ] (ver también la semántica del mundo posible para más información).

Ver también [ editar ]

  • Afirmación y negación (polaridad gramatical)
  • Ampheck
  • Apophasis
  • Oposición binaria
  • Bit a bit NO
  • Contraposición
  • Negación cíclica
  • Conjunción lógica
  • Disyunción lógica
  • Negación como fracaso
  • NO puerta
  • Barba de Platón
  • Plaza de oposición
  • Función de la verdad
  • Mesa de la verdad

Referencias [ editar ]

  1. ^ a b "Lista completa de símbolos lógicos" . Bóveda de matemáticas . 6 de abril de 2020 . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Negación" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
  3. ^ "Enunciados lógicos y matemáticos - Ejemplos resueltos" . www.math.toronto.edu . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
  4. ^ Cuerno, Laurence R (2001). "Capítulo 1". UNA HISTORIA NATURAL DE NEGACIÓN . Universidad de Stanford: Publicaciones CLSI. pag. 1. ISBN 1-57586-336-7.
  5. ^ Raymond, Eric y Steele, Guy. The New Hacker's Dictionary , pág. 18 (MIT Press 1996).
  6. ^ Munat, Judith. Creatividad léxica, textos y contexto , p. 148 (John Benjamins Publishing, 2007).

Lectura adicional [ editar ]

  • Gabbay, Dov y Wansing, Heinrich, eds., 1999. ¿Qué es la negación? , Kluwer .
  • Horn, L. , 2001. Historia natural de la negación , University of Chicago Press .
  • GH von Wright , 1953-1959, "Sobre la lógica de la negación", Commentationes Physico-Mathematicae 22 .
  • Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell .
  • Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A .; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F .; Moro, Andrea (2008). "Negación en el cerebro: representación de la acción moduladora". NeuroImage . 43 (2): 358–367. doi : 10.1016 / j.neuroimage.2008.08.004 . PMID  18771737 . S2CID  17658822 .

Enlaces externos [ editar ]

  • Horn, Laurence R .; Dormido, Heinrich. "Negación" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
  • "Negation" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • NO , en MathWorld
Tablas de verdad de cláusulas compuestas
  • "Tabla de verdad para una cláusula NOT aplicada a una sentencia END" . Archivado desde el original el 1 de marzo de 2000.
  • "NO cláusula de una oración END" . Archivado desde el original el 1 de marzo de 2000.
  • "NO cláusula de una oración OR" . Archivado desde el original el 17 de enero de 2000.
  • "NO cláusula de un período SI ... ENTONCES" . Archivado desde el original el 1 de marzo de 2000.