Numero negativo

En matemáticas , un número negativo representa un opuesto. ^[1] En el sistema de números reales , un número negativo es un número menor que cero . Los números negativos se utilizan a menudo para representar la magnitud de una pérdida o deficiencia. Una deuda que se adeuda puede considerarse un activo negativo, una disminución en alguna cantidad puede considerarse un aumento negativo. Si una cantidad, como la carga de un electrón, puede tener dos sentidos opuestos, entonces se puede optar por distinguir entre esos sentidos, tal vez de forma arbitraria, como positivos y negativos.. Los números negativos se utilizan para describir valores en una escala que va por debajo de cero, como las escalas Celsius y Fahrenheit para la temperatura. Las leyes de la aritmética para números negativos aseguran que la idea de sentido común de un opuesto se refleje en la aritmética. Por ejemplo, - (- 3) = 3 porque el opuesto de un opuesto es el valor original.

Este termómetro indica una temperatura Fahrenheit negativa (-4 ° F).

Los números negativos generalmente se escriben con un signo menos al frente. Por ejemplo, −3 representa una cantidad negativa con una magnitud de tres y se pronuncia "menos tres" o "menos tres". Para ayudar a distinguir entre una operación de resta y un número negativo, ocasionalmente el signo negativo se coloca un poco más alto que el signo menos (como superíndice ). Por el contrario, un número mayor que cero se llama positivo ; el cero generalmente ( pero no siempre ) no se considera ni positivo ni negativo . ^[2] La positividad de un número se puede enfatizar colocando un signo más delante de él, por ejemplo, +3. En general, la negatividad o positividad de un número se conoce como su signo .

Todo número real que no sea cero es positivo o negativo. Los números enteros no negativos se denominan números naturales (es decir, 0, 1, 2, 3 ...), mientras que los números enteros positivos y negativos (junto con el cero) se denominan enteros . (Algunas definiciones de los números naturales excluyen el cero).

En la contabilidad , las cantidades adeudadas a menudo se representan con números rojos, o un número entre paréntesis, como una notación alternativa para representar números negativos.

Los números negativos aparecieron por primera vez en la historia en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , que en su forma actual data del período de la dinastía Han china (202 a. C. - 220 d. C.), pero bien puede contener material mucho más antiguo. ^[3] Liu Hui (c. Siglo III) estableció reglas para sumar y restar números negativos. ^[4] En el siglo VII, matemáticos indios como Brahmagupta describían el uso de números negativos. Los matemáticos islámicos desarrollaron aún más las reglas de restar y multiplicar números negativos y resolvieron problemas con coeficientes negativos . ^[5] Antes del concepto de números negativos, matemáticos como Diofanto consideraban que las soluciones negativas a los problemas eran "falsas" y las ecuaciones que requerían soluciones negativas se describían como absurdas. ^[6] Matemáticos occidentales como Leibniz (1646-1716) sostenían que los números negativos no eran válidos, pero aún los usaban en los cálculos. ^{[7] [8]}

Introducción

Como resultado de la resta

Se puede pensar que los números negativos son el resultado de la resta de un número mayor de uno menor. Por ejemplo, menos tres es el resultado de restar tres de cero:

0-3 = −3.

En general, la resta de un número más grande de un número más pequeño produce un resultado negativo, siendo la magnitud del resultado la diferencia entre los dos números. Por ejemplo,

5-8 = −3

ya que 8 - 5 = 3 .

La recta numérica

La relación entre números negativos, números positivos y cero a menudo se expresa en forma de recta numérica :

Los números que aparecen más a la derecha en esta línea son mayores, mientras que los números que aparecen más a la izquierda son menores. Así aparece cero en el medio, con los números positivos a la derecha y los números negativos a la izquierda.

Tenga en cuenta que un número negativo con mayor magnitud se considera menor. Por ejemplo, aunque (positivo) 8 es mayor que (positivo) 5 , se escribe

8> 5

negativo 8 se considera menor que negativo 5 :

−8 <−5.

(Porque, por ejemplo, si tiene £ −8, una deuda de £ 8, tendría menos después de sumarle, digamos £ 10, que si tuviera £ −5). De ello se deduce que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo, entonces

−8 <5  y  −5 <8.

Números firmados

En el contexto de números negativos, un número mayor que cero se denomina positivo . Por lo tanto, todo número real que no sea cero es positivo o negativo, mientras que el cero en sí no se considera que tenga signo. Los números positivos a veces se escriben con un signo más al frente, por ejemplo, +3 denota un tres positivo.

Debido a que el cero no es ni positivo ni negativo, el término no negativo se usa a veces para referirse a un número que es positivo o cero, mientras que no positivo se usa para referirse a un número que es negativo o cero. El cero es un número neutral.

Usos cotidianos de números negativos

Deporte

Puntuaciones de golf negativas en relación con el par.

• Diferencia de goles en fútbol asociación y hockey ; diferencia de puntos en el rugby ; tasa de carrera neta en el cricket ; puntuaciones de golf en relación con el par .
• Diferencial más-menos en el hockey sobre hielo : la diferencia en el total de goles marcados para el equipo (+) y contra el equipo (-) cuando un jugador en particular está en el hielo es la calificación +/− del jugador. Los jugadores pueden tener una calificación negativa (+/−).
• Diferencial de carreras en béisbol : el diferencial de carreras es negativo si el equipo permite más carreras de las que anotó.
• A los clubes se les pueden deducir puntos por infracciones de las leyes y, por lo tanto, tienen un total de puntos negativos hasta que hayan ganado al menos esa cantidad de puntos esa temporada. ^{[9] [10]}
• Los tiempos de vuelta (o sector) en la Fórmula 1 se pueden dar como la diferencia en comparación con una vuelta (o sector) anterior (como el récord anterior, o la vuelta que acaba de completar un piloto al frente), y serán positivos si son más lentos y negativo si es más rápido. ^[11]
• En algunos eventos de atletismo , como las carreras de velocidad , las vallas , el triple salto y el salto de longitud , la asistencia del viento se mide y registra, ^[12] y es positiva para el viento en cola y negativa para el viento en contra. ^[13]

Ciencias

• Temperaturas inferiores a 0 ° C o 0 ° F. ^{[14] [15]}
• Latitudes al sur del ecuador y longitudes al oeste del primer meridiano .
• A las características topográficas de la superficie terrestre se les asigna una altura sobre el nivel del mar , que puede ser negativa (por ejemplo, la elevación de la superficie del Mar Muerto o el Valle de la Muerte , o la elevación del Túnel Tideway del Támesis ).
• Circuitos eléctricos . Cuando una batería se conecta en polaridad inversa, se dice que el voltaje aplicado es el opuesto a su voltaje nominal. Por ejemplo, una batería de 6 voltios conectada al revés aplica un voltaje de -6 voltios.
• Los iones tienen carga eléctrica positiva o negativa.
• Impedancia de una torre de transmisión de AM utilizada en conjuntos de antenas direccionales de múltiples torres , que puede ser positiva o negativa.

Finanzas

• Los estados financieros pueden incluir saldos negativos, indicados con un signo menos o colocando el saldo entre paréntesis. ^{[16] Los} ejemplos incluyen sobregiros de cuentas bancarias y pérdidas comerciales ( ganancias negativas ).
• Los reembolsos a una tarjeta de crédito o débito son un cargo negativo en la tarjeta. ^{[17] [18]}
• El crecimiento porcentual anual del PIB de un país puede ser negativo, lo que es un indicador de estar en recesión . ^[19]
• Ocasionalmente, una tasa de inflación puede ser negativa ( deflación ), lo que indica una caída en los precios promedio. ^[20]
• El cambio diario en el precio de una acción o índice bursátil , como el FTSE 100 o el Dow Jones .
• Un número negativo en financiación es sinónimo de "deuda" y "déficit", que también se conocen como "estar en números rojos".
• Las tasas de interés pueden ser negativas, ^{[21] [22] [23]} cuando el prestamista debe depositar su dinero.

Otro

Números de pisos negativos en un ascensor.

• La numeración de plantas en un edificio por debajo de la planta baja.
• Al reproducir un archivo de audio en un reproductor multimedia portátil , como un iPod , la pantalla puede mostrar el tiempo restante como un número negativo, que aumenta hasta cero al mismo ritmo que el tiempo ya reproducido aumenta desde cero.
• Programas de juegos de televisión :
  • Los participantes en QI a menudo terminan con una puntuación negativa.
  • Los equipos de University Challenge tienen una puntuación negativa si sus primeras respuestas son incorrectas e interrumpen la pregunta.
  • ¡Peligro! tiene una puntuación de dinero negativa: los concursantes juegan por una cantidad de dinero y cualquier respuesta incorrecta que les cueste más de lo que tienen ahora puede resultar en una puntuación negativa.
  • En el precio es correcto ' juego de fijación de precios s comprar o vender, si una cantidad de dinero que se pierde es más que la cantidad actualmente en el banco, se incurre en una puntuación negativa.
• El cambio de apoyo a un partido político entre elecciones, conocido como swing .
• Índice de aprobación de un político . ^[24]
• En los videojuegos , un número negativo indica pérdida de vidas, daños, penalización de puntuación o consumo de un recurso, según el género de la simulación.
• Los empleados con horas de trabajo flexibles pueden tener un saldo negativo en su hoja de horas si han trabajado menos horas totales de las contratadas hasta ese momento. Es posible que los empleados puedan tomar más de su asignación anual de vacaciones en un año y transferir un saldo negativo al año siguiente.
• La transposición de notas en un teclado electrónico se muestra en la pantalla con números positivos para aumentos y números negativos para disminuciones, por ejemplo, "-1" para un semitono hacia abajo.

Aritmética con números negativos

El signo menos "-" significa el operador para la operación binaria (dos operandos ) de resta (como en y - z ) y la operación unaria (un operando) de negación (como en - x , o dos veces en - ( - x ) ). Un caso especial de negación unaria ocurre cuando opera sobre un número positivo, en cuyo caso el resultado es un número negativo (como en −5 ).

La ambigüedad del símbolo "-" generalmente no conduce a la ambigüedad en las expresiones aritméticas, porque el orden de las operaciones solo hace posible una interpretación u otra para cada "-". Sin embargo, puede generar confusión y ser difícil para una persona entender una expresión cuando los símbolos de operador aparecen adyacentes entre sí. Una solución puede ser poner entre paréntesis el unario "-" junto con su operando.

Por ejemplo, la expresión 7 + −5 puede ser más clara si se escribe 7 + (−5) (aunque significan exactamente lo mismo formalmente). La expresión de resta 7 - 5 es una expresión diferente que no representa las mismas operaciones, pero evalúa el mismo resultado.

A veces, en las escuelas primarias, un número puede tener como prefijo un signo menos o un signo más en superíndice para distinguir explícitamente números negativos y positivos como en ^[25]

^- 2 + ^- 5  da  ^- 7 .

Adición

Una representación visual de la suma de números positivos y negativos. Las bolas más grandes representan números con mayor magnitud.

La suma de dos números negativos es muy similar a la suma de dos números positivos. Por ejemplo,

(−3) + (−5) = −8 .

La idea es que dos deudas se pueden combinar en una sola deuda de mayor magnitud.

Al sumar una mezcla de números positivos y negativos, uno puede pensar en los números negativos como cantidades positivas que se restan. Por ejemplo:

8 + (−3) = 8-3 = 5  y  (−2) + 7 = 7-2 = 5 .

En el primer ejemplo, un crédito de 8 se combina con una deuda de 3 , lo que arroja un crédito total de 5 . Si el número negativo tiene mayor magnitud, entonces el resultado es negativo:

(−8) + 3 = 3-8 = −5  y  2 + (−7) = 2-7 ​​= −5 .

Aquí el crédito es menor que la deuda, por lo que el resultado neto es una deuda.

Sustracción

Como se discutió anteriormente, es posible que la resta de dos números no negativos produzca una respuesta negativa:

5-8 = −3

En general, la resta de un número positivo produce el mismo resultado que la suma de un número negativo de igual magnitud. Por lo tanto

5-8 = 5 + (−8) = −3

y

(−3) - 5 = (−3) + (−5) = −8

Por otro lado, restar un número negativo da el mismo resultado que la suma de un número positivo de igual magnitud. (La idea es que perder una deuda es lo mismo que obtener un crédito).

3 - (−5) = 3 + 5 = 8

y

(−5) - (−8) = (−5) + 8 = 3 .

Multiplicación

Al multiplicar números, la magnitud del producto siempre es solo el producto de las dos magnitudes. El signo del producto está determinado por las siguientes reglas:

• El producto de un número positivo y un número negativo es negativo.
• El producto de dos números negativos es positivo.

Por lo tanto

(−2) × 3 = −6

y

(−2) × (−3) = 6 .

La razón detrás del primer ejemplo es simple: la suma de tres −2 da como resultado −6 :

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 .

El razonamiento detrás del segundo ejemplo es más complicado. Nuevamente, la idea es que perder una deuda es lo mismo que obtener un crédito. En este caso, perder dos deudas de tres cada una es lo mismo que ganar un crédito de seis:

(−2 deudas ) × (−3 cada una ) = +6 crédito.

La convención de que un producto de dos números negativos es positivo también es necesaria para que la multiplicación siga la ley distributiva . En este caso, sabemos que

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

Dado que 2 × (−3) = −6 , el producto (−2) × (−3) debe ser igual a 6 .

Estas reglas conducen a otra regla (equivalente): el signo de cualquier producto a × b depende del signo de a de la siguiente manera:

• si a es positivo, entonces el signo de a × b es el mismo que el signo de b , y
• si a es negativo, entonces el signo de a × b es el opuesto del signo de b .

La justificación de por qué el producto de dos números negativos es un número positivo se puede observar en el análisis de números complejos .

División

Las reglas de los signos para la división son las mismas que para la multiplicación. Por ejemplo,

8 ÷ (−2) = −4 ,

(−8) ÷ 2 = −4 ,

y

(−8) ÷ (−2) = 4 .

Si dividendo y divisor tienen el mismo signo, el resultado es positivo, si tienen diferentes signos el resultado es negativo.

Negación

La versión negativa de un número positivo se conoce como su negación . Por ejemplo, −3 es la negación del número positivo 3 . La suma de un número y su negación es igual a cero:

3 + (−3) = 0 .

Es decir, la negación de un número positivo es el inverso aditivo del número.

Usando álgebra , podemos escribir este principio como una identidad algebraica :

x + (- x ) = 0 .

Esta identidad es válida para cualquier número positivo x . Se puede hacer que sea válido para todos los números reales ampliando la definición de negación para incluir el cero y los números negativos. Específicamente:

• La negación de 0 es 0 y
• La negación de un número negativo es el número positivo correspondiente.

Por ejemplo, la negación de −3 es +3 . En general,

- (- x ) =  x .

El valor absoluto de un número es el número no negativo con la misma magnitud. Por ejemplo, el valor absoluto de −3 y el valor absoluto de 3 son ambos iguales a 3 , y el valor absoluto de 0 es 0 .

Construcción formal de enteros negativos

De manera similar a los números racionales , podemos extender los números naturales N a los enteros Z definiendo los enteros como un par ordenado de números naturales ( a , b ). Podemos extender la suma y la multiplicación a estos pares con las siguientes reglas:

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )

( a , b ) × ( c , d ) = ( a × c + b × d , a × d + b × c )

Definimos una relación de equivalencia ~ sobre estos pares con la siguiente regla:

( a , b ) ~ ( c , d ) si y solo si a + d = b + c .

Esta relación de equivalencia es compatible con la suma y multiplicación definidas anteriormente, y podemos definir Z como el conjunto de cocientes N ² / ~, es decir, identificamos dos pares ( a , b ) y ( c , d ) si son equivalentes en el por encima del sentido. Tenga en cuenta que Z , equipado con estas operaciones de suma y multiplicación, es un anillo y, de hecho, es el ejemplo prototípico de un anillo.

También podemos definir un orden total en Z escribiendo

( a , b ) ≤ ( c , d ) si y solo si a + d ≤ b + c .

Esto conducirá a un cero aditivo de la forma ( a , a ), un inverso aditivo de ( a , b ) de la forma ( b , a ), una unidad multiplicativa de la forma ( a + 1, a ) y a definición de resta

( a , b ) - ( do , d ) = ( a + d , b + c ).

Esta construcción es un caso especial de la construcción Grothendieck .

Unicidad

El negativo de un número es único, como lo muestra la siguiente prueba.

Sea x un número y sea y su negativo. Suponga que y ′ es otro negativo de x . Por un axioma del sistema de números reales

${\displaystyle x+y^{\prime }=0,\quad {\text{and}}\quad x+y=0.}$

Entonces, x + y ′ = x + y . Usando la ley de cancelación para la suma, se ve que y ′ = y . Entonces y es igual a cualquier otro negativo de x . Es decir, y es el único negativo de x .

Historia

Durante mucho tiempo, las soluciones negativas a los problemas se consideraron "falsas". En el Egipto helenístico , el matemático griego Diofanto en el siglo III d.C. se refirió a una ecuación que era equivalente a 4 x + 20 = 4 (que tiene una solución negativa) en Arithmetica , diciendo que la ecuación era absurda. ^[26] Por esta razón, los geómetras griegos pudieron resolver geométricamente todas las formas de la ecuación cuadrática que dan raíces positivas; mientras que no podían tener en cuenta a los demás. ^[27]

Los números negativos aparecen por primera vez en la historia en los nueve capítulos sobre el arte matemático ( Jiu zhang suan-shu ), que en su forma actual data del período de la dinastía Han (202 a. C. - 220 d. C.), pero bien puede contener material mucho más antiguo. ^[3] El matemático Liu Hui (c. Siglo III) estableció reglas para la suma y resta de números negativos. El historiador Jean-Claude Martzloff teorizó que la importancia de la dualidad en la filosofía natural china facilitó que los chinos aceptaran la idea de números negativos. ^[4] Los chinos pudieron resolver ecuaciones simultáneas con números negativos. Los Nueve Capítulos utilizaron barras de conteo rojas para denotar coeficientes positivos y barras negras para negativos. ^{[4] [28]} Este sistema es exactamente lo contrario de la impresión contemporánea de números positivos y negativos en los campos de la banca, la contabilidad y el comercio, donde los números rojos denotan valores negativos y los números negros significan valores positivos. Liu Hui escribe:

Ahora bien, hay dos tipos opuestos de varillas de conteo para ganancias y pérdidas, llamémoslas positivas y negativas. Las varillas de conteo rojas son positivas, las varillas de conteo negras son negativas. ^[4]

El antiguo manuscrito indio Bakhshali realizaba cálculos con números negativos, utilizando "+" como signo negativo. ^[29] La fecha del manuscrito es incierta. LV Gurjar lo fecha a más tardar en el siglo IV, ^[30] Hoernle lo fecha entre los siglos III y IV, Ayyangar y Pingree lo fecha en los siglos VIII o IX, ^[31] y George Gheverghese Joseph lo fecha en aproximadamente 400 d. C. a más tardar a principios del siglo VII, ^[32]

Durante el siglo VII d.C., se utilizaron números negativos en la India para representar las deudas. El matemático indio Brahmagupta , en Brahma-Sphuta-Siddhanta (escrito c. 630 d.C.), discutió el uso de números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que sigue en uso en la actualidad. ^[26] También encontró soluciones negativas de ecuaciones cuadráticas y dio reglas con respecto a operaciones que involucran números negativos y cero , tales como "Una deuda cortada de la nada se convierte en un crédito; un crédito cortado de la nada se convierte en una deuda". Llamó a los números positivos "fortunas", al cero "un cifrado" ya los números negativos "deudas". ^{[33] [34]}

En el siglo IX, los matemáticos islámicos estaban familiarizados con los números negativos de las obras de los matemáticos indios, pero el reconocimiento y uso de los números negativos durante este período siguió siendo tímido. ^[5] Al-Khwarizmi en su Al-jabr wa'l-muqabala (de donde obtenemos la palabra "álgebra") no usó números negativos o coeficientes negativos. ^[5] Pero dentro de cincuenta años, Abu Kamil ilustró las reglas de los signos para expandir la multiplicación${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$, ^[35] y al-Karaji escribió en su al-Fakhrī que "las cantidades negativas deben contarse como términos". ^[5] En el siglo X, Abū al-Wafā 'al-Būzjānī consideraba las deudas como números negativos en Un libro sobre lo que es necesario de la ciencia de la aritmética para escribas y hombres de negocios . ^[35]

En el siglo XII, los sucesores de al-Karaji debían establecer las reglas generales de los signos y usarlas para resolver divisiones polinómicas . ^[5] Como escribe al-Samaw'al :

el producto de un número negativo ( al-nāqiṣ) por un número positivo ( al-zāʾid) es negativo y por un número negativo es positivo. Si restamos un número negativo de un número negativo más alto, el resto es su diferencia negativa. La diferencia sigue siendo positiva si restamos un número negativo de un número negativo menor. Si restamos un número negativo de un número positivo, el resto es su suma positiva. Si restamos un número positivo de una potencia vacía ( martaba khāliyya ), el resto es el mismo negativo, y si restamos un número negativo de una potencia vacía, el resto es el mismo número positivo. ^[5]

En el siglo XII en la India, Bhāskara II dio raíces negativas para las ecuaciones cuadráticas, pero las rechazó porque eran inapropiadas en el contexto del problema. Afirmó que un valor negativo "en este caso no debe tomarse, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas".

Los matemáticos europeos, en su mayor parte, resistieron el concepto de números negativos hasta el siglo XVII ^{[ cita requerida ]} , aunque Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podrían interpretarse como débitos (capítulo 13 del Liber Abaci , 1202 d.C.) y más tarde. como pérdidas (en Flos ).

En el siglo XV, Nicolas Chuquet , un francés, usó números negativos como exponentes ^[36] pero se refirió a ellos como "números absurdos". ^[37] En su Arithmetica Integra de 1544, Michael Stifel también se ocupó de los números negativos, llamándolos también numeri absurdi .

En 1545, Gerolamo Cardano , en su Ars Magna , proporcionó el primer tratamiento satisfactorio de los números negativos en Europa. ^[26] No permitió números negativos en su consideración de ecuaciones cúbicas , por lo que tuvo que tratar, por ejemplo, x ³  +  ax  =  b por separado de x ³  =  ax  +  b (con a , b  > 0 en ambos casos) . En total, Cardano se vio impulsado al estudio de trece tipos diferentes de ecuaciones cúbicas, cada una expresada puramente en términos de números positivos.

En 1759 d. C., Francis Maseres , un matemático inglés, escribió que los números negativos "oscurecen todas las doctrinas de las ecuaciones y oscurecen las cosas que son en su naturaleza excesivamente obvias y simples". Llegó a la conclusión de que los números negativos no tenían sentido. ^[38]

En el siglo XVIII era una práctica común ignorar cualquier resultado negativo derivado de las ecuaciones, asumiendo que no tenían sentido. ^[39]

Gottfried Wilhelm Leibniz fue el primer matemático en emplear sistemáticamente números negativos como parte de un sistema matemático coherente, el cálculo infinitesimal . El cálculo hizo necesarios los números negativos y su descarte como "números absurdos" se desvaneció lentamente. ^{[ contradictorio ] [ cita requerida ]}

Ver también

• Cero firmado
• Aditivo inverso
• Historia de cero
• Enteros
• Partes positivas y negativas
• Numeros racionales
• Numeros reales
• Función de señal
• Signo (matemáticas)
• Representaciones de números firmados

Referencias

Citas

1. "Los enteros son el conjunto de números enteros y sus opuestos", Richard W. Fisher, Álgebra sensata , segunda edición, Math Essentials, ISBN  978-0999443330
2. La convención de que cero no es ni positivo ni negativo no es universal. Por ejemplo, en la convención francesa, cero se considera tanto positivo como negativo. Las palabras francesas positif y négatif significan lo mismo que en inglés "positivo o cero" y "negativo o cero", respectivamente.
3. Struik, páginas 32–33. "En estas matrices encontramos números negativos, que aparecen aquí por primera vez en la historia".
4. Luke Hodgkin (2005). Una historia de las matemáticas: de Mesopotamia a la modernidad . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 88 . ISBN 978-0-19-152383-0. Liu es explícito en esto; en el punto donde los Nueve Capítulos dan una detallada y útil 'Regla de las señas'
5. Rashed, R. (30 de junio de 1994). El desarrollo de las matemáticas árabes: entre la aritmética y el álgebra . Saltador. págs. 36–37. ISBN 9780792325659.
6. Diofanto , Arithmetica .
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10. "Bolton Wanderers 1-0 Milton Keynes Dons" . BBC . Consultado el 30 de noviembre de 2019 . Pero en el tercer minuto del tiempo de descuento, el delantero convirtió un centro de Luke Murphy desde ocho yardas para obtener una tercera victoria consecutiva en la Liga Uno para el equipo de Hill, que comenzó la campaña con -12 puntos después de entrar en la administración en mayo.
11. "Glosario" . Formula1.com . Consultado el 30 de noviembre de 2019 . Tiempo delta: término utilizado para describir la diferencia de tiempo entre dos vueltas diferentes o dos autos diferentes. Por ejemplo, suele haber un delta negativo entre el mejor tiempo de vuelta de práctica de un piloto y su mejor tiempo de vuelta de calificación porque usa poca carga de combustible y neumáticos nuevos.
12. "BBC Sport - Juegos Olímpicos - Londres 2012 - Salto de longitud masculino: Atletismo - Resultados" . 5 de agosto de 2012. Archivado desde el original el 5 de agosto de 2012 . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
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33. Colva M. Roney-Dougal , profesor de matemáticas puras en la Universidad de St Andrews, declaró esto en el programa de BBC Radio 4 "In Our Time", el 9 de marzo de 2006.
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38. Maseres, Francis (1758). Una disertación sobre el uso del signo negativo en álgebra: que contiene una demostración de las reglas que generalmente se dan al respecto; y mostrar cómo se pueden explicar las ecuaciones cuadráticas y cúbicas, sin tener en cuenta las raíces negativas. A lo cual se agrega, como apéndice, la Cuadratura del Círculo del Sr. Machin . Citando el trabajo de Maseres: Si una sola cantidad está marcada con el signo + o el signo - sin afectar a ninguna otra cantidad, la marca no tendrá significado o significado, por lo tanto, si se dice que el cuadrado de −5, o el producto de −5 en −5, es igual a +25, tal afirmación debe significar no más de 5 veces 5 es igual a 25 sin tener en cuenta los signos, o debe ser mera tontería o jerga ininteligible .
39. Martínez, Alberto A. (2006). Matemáticas negativas: cómo se pueden doblar positivamente las reglas matemáticas . Prensa de la Universidad de Princeton . una historia de controversias sobre números negativos, principalmente desde el siglo XVII hasta principios del siglo XX.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de la Historia de las Matemáticas . Berlín, Heidelberg y Nueva York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-64767-8 .
• Struik, Dirk J. (1987). Una historia concisa de las matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover.

enlaces externos

• Datos biográficos de Maseres
• Serie de BBC Radio 4 In Our Time , sobre "Números negativos", 9 de marzo de 2006
• Ejemplos y ejercicios sin fin: operaciones con números enteros con signo
• Foro de matemáticas: Pregúntele al Dr. Math Preguntas frecuentes: Tiempos negativos y negativos