En matemáticas, el teorema de Newton sobre los óvalos establece que el área cortada por una secante de un óvalo convexo suave no es una función algebraica de la secante.
Isaac Newton lo expresó como el lema 28 de la sección VI del libro 1 de los Principia de Newton , y lo usó para mostrar que la posición de un planeta que se mueve en una órbita no es una función algebraica del tiempo. Ha habido cierta controversia sobre si este teorema es correcto o no porque Newton no dijo exactamente lo que quiso decir con un óvalo, y para algunas interpretaciones de la palabra óvalo el teorema es correcto, mientras que para otras es falso. Si "óvalo" significa "curva convexa continua", entonces hay contraejemplos, como triángulos o uno de los lóbulos de la lemniscata de Huygens y 2 = x 2 - x 4 , mientras que Arnold (1989) señaló que si "óvalo" significa "curva convexa infinitamente diferenciable", entonces la afirmación de Newton es correcta y su argumento tiene los pasos esenciales de una prueba rigurosa.
Vassiliev (2002) generalizó el teorema de Newton a dimensiones superiores.
Declaración
Una traducción al inglés La declaración original de Newton ( Newton 1966 , lema 28, sección 6, libro I) es:
- "No existe una figura ovalada cuya área, cortada por líneas rectas a gusto, pueda ser hallada universalmente por medio de ecuaciones de cualquier número de términos y dimensiones finitos".
En el lenguaje matemático moderno, Newton esencialmente demostró el siguiente teorema:
- No hay convexa lisa (es decir, infinitamente diferenciable) curva tal que el área cortada por una línea ax + por = c es una función algebraica de un , b , y c .
En otras palabras, "óvalo" en la declaración de Newton debería significar "curva suave convexa". La diferenciabilidad infinita en todos los puntos es necesaria: para cualquier entero positivo n hay curvas algebraicas que son suaves en todos los puntos excepto en un punto y diferenciables n veces en el punto restante para el cual el área cortada por una secante es algebraica.
Newton observó que un argumento similar muestra que la longitud de arco de un óvalo (convexo suave) entre dos puntos no está dada por una función algebraica de los puntos.
Prueba de Newton
Newton tomó el origen P dentro del óvalo y consideró la espiral de puntos ( r , θ ) en coordenadas polares cuya distancia r de P es el área cortada por las líneas de P con ángulos 0 y θ . Luego observó que esta espiral no puede ser algebraica ya que tiene un número infinito de intersecciones con una línea que pasa por P , por lo que el área cortada por una secante no puede ser una función algebraica de la secante.
Esta prueba requiere que el óvalo y por lo tanto la espiral sea suave; de lo contrario, la espiral podría ser una unión infinita de piezas de diferentes curvas algebraicas. Esto es lo que sucede en los diversos "contraejemplos" del teorema de Newton para óvalos no lisos.
Referencias
- Arnold, VI (1989), "Prueba topológica de la trascendencia de las integrales abelianas en los Principia de Newton", Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya (31): 7–17, ISSN 0136-0949 , MR 0993175
- Arnold, VI ; Vasilev, VA (1989), "Newton's Principia read 300 years later", Notices of the American Mathematical Society , 36 (9): 1148-1154, ISSN 0002-9920 , MR 1024727
- Newton, I. (1966), Principia Vol. I The Motion of Bodies , traducido por Andrew Motte (1729), revisado por Florian Cajori (1934) (basado en la segunda edición de Newton (1713) ed.), Berkeley, CA: University of California Press, ISBN 978-0-520-00928-8Traducción alternativa de la edición anterior (segunda) de los Principia de Newton .
- Pesic, Peter (2001), "La validez del Lema 28 de Newton", Historia Mathematica , 28 (3): 215-219, doi : 10.1006 / hmat.2001.2321 , ISSN 0315-0860 , MR 1849799
- Pourciau, Bruce (2001), "La integrabilidad de los óvalos: Lema 28 de Newton y sus contraejemplos", Archive for History of Exact Sciences , 55 (5): 479–499, doi : 10.1007 / s004070000034 , ISSN 0003-9519 , MR 1827869
- Vassiliev, VA (2002), Teoría aplicada de Picard-Lefschetz , Encuestas y monografías matemáticas, 97 , Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / surv / 097 , ISBN 978-0-8218-2948-6, Señor 1930577