En matemáticas , la geometría no arquimediana [1] es cualquiera de varias formas de geometría en las que se niega el axioma de Arquímedes . Un ejemplo de tal geometría es el plano de Dehn . Las geometrías que no son de Arquímedes pueden, como indica el ejemplo, tener propiedades significativamente diferentes de las de la geometría euclidiana .
Hay dos sentidos en los que se puede usar el término, refiriéndose a geometrías sobre campos que violan uno de los dos sentidos de la propiedad de Arquímedes (es decir, con respecto al orden o magnitud).
Geometría sobre un campo ordenado que no es de Arquímedes
El primer sentido del término es la geometría sobre un campo ordenado que no es de Arquímedes , o un subconjunto del mismo. El plano de Dehn antes mencionado toma el autoproducto de la porción finita de un cierto campo ordenado no arquimediano basado en el campo de funciones racionales . En esta geometría, existen diferencias significativas con la geometría euclidiana; en particular, hay infinitos paralelos a una línea recta que pasa por un punto, por lo que el postulado paralelo falla, pero la suma de los ángulos de un triángulo sigue siendo un ángulo recto. [2]
Intuitivamente, en tal espacio, los puntos en una línea no se pueden describir por los números reales o un subconjunto de los mismos, y existen segmentos de longitud "infinita" o "infinitesimal".
Geometría sobre un campo no valorado por Arquímedes
El segundo sentido del término es la geometría métrica sobre un campo no valorado por Arquímedes , [3] o espacio ultramétrico . En tal espacio, resultan aún más contradicciones a la geometría euclidiana. Por ejemplo, todos los triángulos son isósceles y las bolas superpuestas anidan. Un ejemplo de tal espacio son los números p-ádicos .
Intuitivamente, en un espacio así, las distancias no "suman" o "acumulan".
Referencias
- ^ Robin Hartshorne , Geometría: Euclides y más allá (2000), p. 158.
- ^ Hilbert, David (1902), Los fundamentos de la geometría (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216
- ^ Conrad, B. "Varios enfoques de la geometría no arquimediana. En p-adic Geometry (Conferencias de la Escuela de Invierno de Arizona 2007). Serie de Conferencias de la Universidad AMS". Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.