Factorización matricial no negativa ( NMF o NNMF ), también aproximación matricial no negativa [1] [2] es un grupo de algoritmos en análisis multivariante y álgebra lineal donde una matriz V se factoriza en (generalmente) dos matrices W y H, con la propiedad de que las tres matrices no tienen elementos negativos. Esta no negatividad hace que las matrices resultantes sean más fáciles de inspeccionar. Además, en aplicaciones como el procesamiento de espectrogramas de audio o la actividad muscular, la no negatividad es inherente a los datos que se están considerando. Dado que el problema no se puede resolver exactamente en general, comúnmente se aproxima numéricamente.
NMF encuentra aplicaciones en campos como la astronomía , [3] [4] visión por computadora , agrupamiento de documentos , [1] imputación de datos faltantes , [5] quimiometría , procesamiento de señales de audio , sistemas de recomendación , [6] [7] y bioinformática . [8]
Historia
En quimiometría , la factorización de matrices no negativas tiene una larga historia bajo el nombre de "resolución de curva de auto modelado". [9] En este marco, los vectores de la matriz de la derecha son curvas continuas en lugar de vectores discretos. También un grupo de investigadores finlandeses realizó en la década de 1990 un trabajo preliminar sobre factorizaciones matriciales no negativas bajo el nombre de factorización matricial positiva . [10] [11] [12] Se hizo más conocido como factorización matricial no negativa después de que Lee y Seung investigaron las propiedades del algoritmo y publicaron algunos algoritmos simples y útiles para dos tipos de factorizaciones. [13] [14]
Fondo
Sea la matriz V el producto de las matrices W y H ,
La multiplicación de matrices se puede implementar como el cálculo de los vectores columna de V como combinaciones lineales de los vectores columna en W utilizando coeficientes suministrados por columnas de H . Es decir, cada columna de V se puede calcular de la siguiente manera:
donde v i es el i vector columna -ésimo de la matriz del producto V y h i es el i -ésimo vector columna de la matriz H .
Al multiplicar matrices, las dimensiones de las matrices de factores pueden ser significativamente menores que las de la matriz de productos y es esta propiedad la que forma la base de NMF. NMF genera factores con dimensiones significativamente reducidas en comparación con la matriz original. Por ejemplo, si V es un m × n matriz, W es un m × p matriz, y H es un p × n matriz entonces p puede ser significativamente menor que ambos m y n .
A continuación, se muestra un ejemplo basado en una aplicación de minería de texto:
- Deje que la matriz de entrada (la matriz a factorizar) sea V con 10000 filas y 500 columnas donde las palabras están en filas y los documentos en columnas. Es decir, tenemos 500 documentos indexados por 10000 palabras. De ello se deduce que un vector de columna v en V representa un documento.
- Supongamos que le pedimos al algoritmo que encuentre 10 características para generar una matriz de características W con 10000 filas y 10 columnas y una matriz de coeficientes H con 10 filas y 500 columnas.
- El producto de W y H es una matriz con 10000 filas y 500 columnas, la misma forma que la matriz de entrada V y, si la factorización trabajó, es una aproximación razonable a la matriz de entrada V .
- Desde el tratamiento de la multiplicación de la matriz por encima de ella se deduce que cada columna de la matriz del producto WH es una combinación lineal de los vectores de la columna 10 en las características de la matriz W con coeficientes suministrados por los coeficientes de la matriz H .
Este último punto es la base de NMF porque podemos considerar que cada documento original en nuestro ejemplo está construido a partir de un pequeño conjunto de características ocultas. NMF genera estas características.
Es útil pensar en cada característica (vector de columna) en la matriz de características W como un arquetipo de documento que comprende un conjunto de palabras donde el valor de celda de cada palabra define el rango de la palabra en la característica: Cuanto mayor sea el valor de celda de una palabra, mayor será el rango de la palabra en la función. Una columna en la matriz de coeficientes H representa un documento original con un valor de celda que define la clasificación del documento para una característica. Ahora podemos reconstruir un documento (vector de columna) de nuestra matriz de entrada por una combinación lineal de nuestras características (vectores de columna en W ), donde cada característica se pondera por el valor de la celda de la función de la columna del documento en H .
Propiedad de agrupamiento
NMF tiene una propiedad de agrupamiento inherente, [15] es decir, agrupa automáticamente las columnas de datos de entrada.
Más específicamente, la aproximación de por se logra al encontrar y que minimizan la función de error
sujeto a
Si además imponemos una restricción de ortogonalidad a , es decir , entonces la minimización anterior es matemáticamente equivalente a la minimización de la agrupación de K-medias . [15]
Además, el calculado da la membresía del clúster, es decir, si para todo i ≠ k , esto sugiere que los datos de entrada pertenece a -th cluster. El calculado da los centroides del clúster, es decir, la -th columna da el centroide del clúster de -th cluster. La representación de este centroide se puede mejorar significativamente mediante NMF convexo.
Cuando la restricción de ortogonalidad no se impone explícitamente, la ortogonalidad se mantiene en gran medida y la propiedad de agrupamiento también se mantiene. La agrupación en clústeres es el objetivo principal de la mayoría de las aplicaciones de minería de datos de NMF. [ cita requerida ]
Cuando la función de error que se va a utilizar es la divergencia Kullback-Leibler , NMF es idéntico al análisis semántico latente probabilístico , un método popular de agrupamiento de documentos. [dieciséis]
Tipos
Factorización matricial aproximada no negativa
Por lo general, el número de columnas de W y el número de filas de H en NMF se seleccionan de modo que el producto WH se convertirá en una aproximación a V . La descomposición completa de V asciende entonces a las dos matrices no negativos W y H , así como un residual U , tal que: V = WH + U . Los elementos de la matriz residual pueden ser negativos o positivos.
Cuando W y H son más pequeños que V, se vuelven más fáciles de almacenar y manipular. Otra razón para factorizar V en matrices más pequeñas W y H , es que si uno es capaz de representar aproximadamente los elementos de V por significativamente menos datos, entonces uno tiene que inferir alguna estructura latente en los datos.
Factorización matricial convexa no negativa
En NMF estándar, el factor de matriz W ∈ R + m × k, es decir, W puede ser cualquier cosa en ese espacio. Convex NMF [17] restringe las columnas de W a combinaciones convexas de los vectores de datos de entrada. Esto mejora considerablemente la calidad de representación de datos de W . Además, el factor de matriz resultante H se vuelve más escaso y ortogonal.
Factorización de rango no negativo
En caso de que el rango no negativo de V sea igual a su rango real, V = WH se denomina factorización de rango no negativo (NRF). [18] [19] [20] Se sabe que el problema de encontrar el NRF de V , si existe, es NP-difícil. [21]
Diferentes funciones de costes y regularizaciones.
Existen diferentes tipos de factorizaciones matriciales no negativas. Los diferentes tipos surgen del uso de diferentes funciones de costos para medir la divergencia entre V y WH y posiblemente de la regularización de las matrices W y / o H. [1]
Dos funciones de divergencia simples estudiadas por Lee y Seung son el error al cuadrado (o norma de Frobenius ) y una extensión de la divergencia de Kullback-Leibler a matrices positivas (la divergencia de Kullback-Leibler original se define en distribuciones de probabilidad). Cada divergencia conduce a un algoritmo NMF diferente, por lo general minimizando la divergencia utilizando reglas de actualización iterativas.
El problema de factorización en la versión de error al cuadrado de NMF puede expresarse como: Dada una matriz encontrar matrices no negativas W y H que minimicen la función
Otro tipo de NMF para imágenes se basa en la norma de variación total . [22]
Cuando la regularización L1 (similar a Lasso ) se agrega a NMF con la función de costo de error cuadrático medio, el problema resultante puede denominarse codificación dispersa no negativa debido a la similitud con el problema de codificación dispersa , [23] [24] aunque puede también todavía se conoce como NMF. [25]
NMF en línea
Muchos algoritmos NMF estándar analizan todos los datos juntos; es decir, la matriz completa está disponible desde el principio. Esto puede ser insatisfactorio en aplicaciones donde hay demasiados datos para caber en la memoria o donde los datos se proporcionan en forma de transmisión . Uno de esos usos es el filtrado colaborativo en los sistemas de recomendación , donde puede haber muchos usuarios y muchos elementos para recomendar, y sería ineficaz recalcular todo cuando se agrega un usuario o un elemento al sistema. La función de costo para la optimización en estos casos puede o no ser la misma que para el NMF estándar, pero los algoritmos deben ser bastante diferentes. [26] [27] [28]
Algoritmos
Hay varias formas en las que se pueden encontrar W y H : la regla de actualización multiplicativa de Lee y Seung [14] ha sido un método popular debido a la simplicidad de implementación. Este algoritmo es:
- inicializar: W y H no negativos.
- Luego actualice los valores en W y H calculando lo siguiente, con como índice de la iteración.
- y
- Hasta que W y H sean estables.
Tenga en cuenta que las actualizaciones se realizan elemento por elemento, no en la multiplicación de matrices.
Observamos que los factores multiplicativos para W y H , es decir, el y términos, son matrices de unos cuando.
Más recientemente se han desarrollado otros algoritmos. Algunos enfoques se basan en la alternancia de mínimos cuadrados no negativos : en cada paso de dicho algoritmo, primero H es fijo y W se encuentra mediante un solucionador de mínimos cuadrados no negativos, luego W es fijo y H se encuentra de forma análoga. Los procedimientos utilizados para resolver para W y H pueden ser los mismos [29] o diferentes, como algunos NMF variantes de uno regularize de W y H . [23] Los enfoques específicos incluyen los métodos de descenso de gradiente proyectado , [29] [30] el método de conjunto activo , [6] [31] el método de gradiente óptimo, [32] y el método de pivote principal de bloque [33] entre varios otros. [34]
Los algoritmos actuales son subóptimos en el sentido de que solo garantizan la búsqueda de un mínimo local, en lugar de un mínimo global de la función de costo. Un algoritmo demostrablemente óptimo es poco probable en el futuro cercano, ya que se ha demostrado que el problema generaliza el problema de agrupamiento de k-medias que se sabe que es NP-completo . [35] Sin embargo, como en muchas otras aplicaciones de minería de datos, un mínimo local puede resultar útil.
NMF secuencial
La construcción secuencial de componentes NMF ( W y H ) se utilizó en primer lugar para relacionar NMF con el análisis de componentes principales (PCA) en astronomía. [36] La contribución de los componentes del PCA se clasifica según la magnitud de sus valores propios correspondientes; para NMF, sus componentes se pueden clasificar empíricamente cuando se construyen uno por uno (secuencialmente), es decir, aprender el-th componente con el primero componentes construidos.
La contribución de los componentes secuenciales de NMF se puede comparar con el teorema de Karhunen-Loève , una aplicación de PCA, utilizando la gráfica de valores propios. Una elección típica del número de componentes con PCA se basa en el punto de "codo", entonces la existencia de la meseta plana indica que PCA no está capturando los datos de manera eficiente y, por último, existe una caída repentina que refleja la captura de datos aleatorios. ruido y cae en el régimen de sobreajuste. [37] [38] Para NMF secuencial, la gráfica de valores propios se aproxima mediante la gráfica de las curvas de varianza residual fraccionaria, donde las curvas disminuyen continuamente y convergen a un nivel más alto que el PCA, [4] que es la indicación de menos sobreajuste de NMF secuencial.
NMF exacto
Soluciones exactas para las variantes de NMF se puede esperar (en tiempo polinómico) cuando las restricciones adicionales se mantienen para la matriz V . Campbell y Poole en 1981 dieron un algoritmo de tiempo polinomial para resolver la factorización de rango no negativo si V contiene una submatriz monomial de rango igual a su rango. [39] Kalofolias y Gallopoulos (2012) [40] resolvieron la contraparte simétrica de este problema , donde V es simétrica y contiene una submatriz principal diagonal de rango r. Su algoritmo se ejecuta en tiempo O (rm 2 ) en el caso denso. Arora, Ge, Halpern, Mimno, Moitra, Sontag, Wu y Zhu (2013) dan un algoritmo de tiempo polinomial para NMF exacto que funciona para el caso donde uno de los factores W satisface una condición de separabilidad. [41]
Relación con otras técnicas
En Aprendizaje de las partes de los objetos mediante factorización matricial no negativa, Lee y Seung [42] propusieron NMF principalmente para la descomposición de imágenes basada en partes. Compara el NMF con la cuantificación vectorial y el análisis de componentes principales , y muestra que, aunque las tres técnicas pueden escribirse como factorizaciones, implementan restricciones diferentes y, por lo tanto, producen resultados diferentes.
Más tarde se demostró que algunos tipos de NMF son una instancia de un modelo probabilístico más general llamado "PCA multinomial". [43] Cuando el NMF se obtiene minimizando la divergencia de Kullback-Leibler , de hecho es equivalente a otra instancia de PCA multinomial, el análisis semántico latente probabilístico , [44] entrenado por la estimación de máxima verosimilitud . Ese método se usa comúnmente para analizar y agrupar datos textuales y también está relacionado con el modelo de clases latentes .
NMF con el objetivo de mínimos cuadrados es equivalente a una forma relajada de agrupamiento de K-medias : el factor de matriz W contiene centroides de grupo y H contiene indicadores de pertenencia a grupo. [15] [45] Esto proporciona una base teórica para usar NMF para la agrupación de datos. Sin embargo, k-means no impone la no negatividad en sus centroides, por lo que la analogía más cercana es de hecho con "semi-NMF". [17]
NMF puede verse como un modelo gráfico dirigido de dos capas con una capa de variables aleatorias observadas y una capa de variables aleatorias ocultas. [46]
NMF se extiende más allá de las matrices a tensores de orden arbitrario. [47] [48] [49] Esta extensión puede verse como una contraparte no negativa de, por ejemplo, el modelo PARAFAC .
Otras extensiones de NMF incluyen la factorización conjunta de varias matrices de datos y tensores donde se comparten algunos factores. Estos modelos son útiles para la fusión de sensores y el aprendizaje relacional. [50]
NMF es una instancia de programación cuadrática no negativa ( NQP ), al igual que la máquina de vectores de soporte (SVM). Sin embargo, SVM y NMF están relacionados a un nivel más íntimo que el de NQP, lo que permite la aplicación directa de los algoritmos de solución desarrollados para cualquiera de los dos métodos a problemas en ambos dominios. [51]
Unicidad
La factorización no es única: una matriz y su inversa se pueden utilizar para transformar las dos matrices de factorización mediante, por ejemplo, [52]
Si las dos nuevas matrices y no son negativos forman otra parametrización de la factorización.
La no negatividad de y se aplica al menos si B es una matriz monomial no negativa . En este caso simple, solo corresponderá a una escala y una permutación .
Se obtiene más control sobre la no unicidad de NMF con restricciones de escasez. [53]
Aplicaciones
Astronomía
En astronomía, NMF es un método prometedor para la reducción de dimensiones en el sentido de que las señales astrofísicas no son negativas. La NMF se ha aplicado a las observaciones espectroscópicas [3] y las observaciones de imágenes directas [4] como un método para estudiar las propiedades comunes de los objetos astronómicos y postprocesar las observaciones astronómicas. Los avances en las observaciones espectroscópicas de Blanton & Roweis (2007) [3] tienen en cuenta las incertidumbres de las observaciones astronómicas, que posteriormente es mejorada por Zhu (2016) [36] donde también se consideran los datos faltantes y se habilita la computación paralela . Luego, su método es adoptado por Ren et al. (2018) [4] al campo de imágenes directas como uno de los métodos de detección de exoplanetas , especialmente para la obtención de imágenes directas de discos circunestelares .
Ren y col. (2018) [4] son capaces de demostrar la estabilidad de los componentes NMF cuando se construyen secuencialmente (es decir, uno por uno), lo que permite la linealidad del proceso de modelado NMF; la propiedad de linealidad se utiliza para separar la luz estelar y la luz dispersada de los exoplanetas y discos circunestelares .
En imágenes directas, para revelar los exoplanetas débiles y los discos circunestelares de las brillantes luces estelares circundantes, que tienen un contraste típico de 10⁵ a 10¹⁰, se han adoptado varios métodos estadísticos, [54] [55] [37] sin embargo, la luz del Los exoplanetas o discos circunestelares suelen estar sobreajustados, donde se debe adoptar un modelado hacia adelante para recuperar el flujo verdadero. [56] [38] El modelado hacia adelante está actualmente optimizado para fuentes puntuales, [38] sin embargo, no para fuentes extendidas, especialmente para estructuras de forma irregular como discos circunestelares. En esta situación, NMF ha sido un método excelente, siendo menos sobreajustado en el sentido de la no negatividad y escasez de los coeficientes de modelado NMF, por lo tanto, el modelado directo se puede realizar con unos pocos factores de escala, [4] en lugar de una Re-reducción de datos computacionalmente intensiva en modelos generados.
Imputación de datos
Para imputar los datos faltantes en las estadísticas, NMF puede tomar los datos faltantes mientras minimiza su función de costo, en lugar de tratar estos datos faltantes como ceros. [5] Esto lo convierte en un método matemáticamente probado para la imputación de datos en estadística. [5] Al probar primero que los datos faltantes se ignoran en la función de costos y luego demostrar que el impacto de los datos faltantes puede ser tan pequeño como un efecto de segundo orden, Ren et al. (2020) [5] estudió y aplicó un enfoque de este tipo para el campo de la astronomía. Su trabajo se centra en matrices bidimensionales, específicamente, incluye derivación matemática, imputación de datos simulados y aplicación a datos en el cielo.
El procedimiento de imputación de datos con NMF puede constar de dos pasos. Primero, cuando se conocen los componentes de NMF, Ren et al. (2020) demostraron que el impacto de los datos faltantes durante la imputación de datos ("modelado de objetivos" en su estudio) es un efecto de segundo orden. En segundo lugar, cuando se desconocen los componentes del NMF, los autores demostraron que el impacto de los datos faltantes durante la construcción del componente es un efecto de primer a segundo orden.
Dependiendo de la forma en que se obtengan los componentes de NMF, el primer paso anterior puede ser independiente o dependiente del último. Además, la calidad de la imputación se puede aumentar cuando se utilizan más componentes de NMF, consulte la Figura 4 de Ren et al. (2020) para su ilustración. [5]
Extracción de textos
NMF se puede utilizar para aplicaciones de minería de texto . En este proceso, se construye una matriz documento-término con las ponderaciones de varios términos (normalmente información de frecuencia de palabras ponderada) de un conjunto de documentos. Esta matriz se factoriza en una matriz término-característica y una matriz característica-documento . Las características se derivan del contenido de los documentos y la matriz de características y documentos describe grupos de datos de documentos relacionados.
Una aplicación específica utilizó NMF jerárquico en un pequeño subconjunto de resúmenes científicos de PubMed . [57] Otro grupo de investigación agrupó partes del conjunto de datos de correo electrónico de Enron [58] con 65.033 mensajes y 91.133 términos en 50 grupos. [59] NMF también se ha aplicado a los datos de citas, con un ejemplo que agrupa artículos de Wikipedia en inglés y revistas científicas basadas en las citas científicas salientes en Wikipedia en inglés. [60]
Arora, Ge, Halpern, Mimno, Moitra, Sontag, Wu y Zhu (2013) han proporcionado algoritmos de tiempo polinomial para aprender modelos de temas utilizando NMF. El algoritmo asume que la matriz de temas satisface una condición de separabilidad que a menudo se cumple en estos entornos. [41]
Hassani, Iranmanesh y Mansouri (2019) propusieron un método de aglomeración de características para matrices de documentos a término que opera utilizando NMF. El algoritmo reduce la matriz término-documento a una matriz más pequeña más adecuada para la agrupación de texto. [61]
Análisis de datos espectrales
El NMF también se usa para analizar datos espectrales; uno de esos usos es la clasificación de objetos espaciales y desechos. [62]
Predicción de distancia de Internet escalable
NMF se aplica en la predicción escalable de distancia de Internet (tiempo de ida y vuelta). Para una red con aloja, con la ayuda de NMF, las distancias de todos los Los enlaces de un extremo a otro se pueden predecir después de realizar solo mediciones. Este tipo de método se introdujo por primera vez en Internet Distance Estimation Service (IDES). [63] Posteriormente, como un enfoque totalmente descentralizado, se propone el sistema de coordenadas de la red Phoenix [64] . Logra una mejor precisión de predicción general al introducir el concepto de peso.
Eliminación de ruido de voz no estacionaria
La eliminación de ruidos ha sido un problema duradero en el procesamiento de señales de audio . Existen muchos algoritmos para eliminar el ruido si el ruido es estacionario. Por ejemplo, el filtro Wiener es adecuado para ruido gaussiano aditivo . Sin embargo, si el ruido no es estacionario, los algoritmos de eliminación de ruido clásicos suelen tener un rendimiento deficiente porque la información estadística del ruido no estacionario es difícil de estimar. Schmidt y col. [65] utilizan NMF para eliminar el ruido del habla con ruido no estacionario, que es completamente diferente de los enfoques estadísticos clásicos. La idea clave es que la señal de voz limpia se puede representar escasamente por un diccionario de voz, pero el ruido no estacionario no. De manera similar, el ruido no estacionario también se puede representar escasamente mediante un diccionario de ruido, pero el habla no.
El algoritmo para la eliminación de ruido NMF es el siguiente. Es necesario entrenar sin conexión dos diccionarios, uno para el habla y otro para el ruido. Una vez que se da un discurso ruidoso, primero calculamos la magnitud de la Transformada de Fourier de Corto Tiempo. En segundo lugar, sepárelo en dos partes a través de NMF, una se puede representar escasamente con el diccionario de voz y la otra parte se puede representar escasamente con el diccionario de ruido. En tercer lugar, la parte que está representada por el diccionario de habla será el habla limpia estimada.
Genética de poblaciones
El NMF disperso se utiliza en genética de poblaciones para estimar coeficientes de mezcla individuales, detectar grupos genéticos de individuos en una muestra de población o evaluar la mezcla genética en genomas muestreados. En la agrupación genética humana, los algoritmos NMF proporcionan estimaciones similares a las del programa de computadora STRUCTURE, pero los algoritmos son más eficientes computacionalmente y permiten el análisis de grandes conjuntos de datos genómicos de poblaciones. [66]
Bioinformática
El NMF se ha aplicado con éxito en bioinformática para agrupar la expresión génica y los datos de metilación del ADN y encontrar los genes más representativos de los grupos. [24] [67] [68] [69] En el análisis de mutaciones del cáncer, se ha utilizado para identificar patrones comunes de mutaciones que ocurren en muchos cánceres y que probablemente tienen causas distintas. [70] Las técnicas de NMF pueden identificar fuentes de variación como tipos de células, subtipos de enfermedades, estratificación de la población, composición de tejidos y clonalidad de tumores. [71]
Imágenes nucleares
La NMF, también conocida en este campo como análisis factorial, se ha utilizado desde la década de 1980 [72] para analizar secuencias de imágenes en imágenes médicas dinámicas SPECT y PET . La no unicidad de NMF se abordó utilizando restricciones de escasez. [73] [74] [75]
La investigación actual
La investigación actual (desde 2010) en factorización de matrices no negativas incluye, pero no se limita a,
- Algorítmica: búsqueda de mínimos globales de los factores e inicialización de factores. [76]
- Escalabilidad: cómo factorizar matrices de millones por billones, que son comunes en la minería de datos a escala web, por ejemplo, consulte Factorización de matrices no negativas distribuidas (DNMF), [77] Factorización de matrices no negativas escalables (ScalableNMF), [78] Singular estocástico distribuido Descomposición del valor. [79]
- En línea: cómo actualizar la factorización cuando ingresan nuevos datos sin volver a calcular desde cero, por ejemplo, consulte CNSC en línea [80]
- Factorización colectiva (conjunta): factorización de múltiples matrices interrelacionadas para el aprendizaje de múltiples vistas, por ejemplo, agrupación de múltiples vistas, véanse CoNMF [81] y MultiNMF [82]
- Problema de Cohen y Rothblum 1993: si una matriz racional siempre tiene un NMF de dimensión interna mínima cuyos factores también son racionales. Recientemente, este problema ha recibido una respuesta negativa. [83]
Ver también
- Álgebra multilineal
- Aprendizaje subespacial multilineal
- Tensor
- Descomposición del tensor
- Software tensor
Fuentes y enlaces externos
Notas
- ^ a b c Suvrit Sra; Inderjit S. Dhillon (2006). Aproximaciones de matrices no negativas generalizadas con divergencias de Bregman (PDF) . Avances en los sistemas de procesamiento de información neuronal 18 . Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal. ISBN 978-0-262-23253-1. Wikidata Q77685465 .
- ^ Tandon, sarpullido; Suvrit Sra (2010). "Aproximación matricial dispersa no negativa: nuevas formulaciones y algoritmos" (PDF) . TR. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ a b c Blanton, Michael R .; Roweis, Sam (2007). "K-correcciones y transformaciones de filtros en ultravioleta, óptica e infrarrojo cercano". El diario astronómico . 133 (2): 734–754. arXiv : astro-ph / 0606170 . Código bibliográfico : 2007AJ .... 133..734B . doi : 10.1086 / 510127 . S2CID 18561804 .
- ^ a b c d e f g Ren, Bin; Pueyo, Laurent; Zhu, Guangtun B .; Duchêne, Gaspard (2018). "Factorización de matrices no negativas: extracción robusta de estructuras extendidas". El diario astrofísico . 852 (2): 104. arXiv : 1712.10317 . Código Bib : 2018ApJ ... 852..104R . doi : 10.3847 / 1538-4357 / aaa1f2 . S2CID 3966513 .
- ^ a b c d e Ren, Bin; Pueyo, Laurent; Chen, Christine; Choquet, Elodie; Debes, John H; Duechene, Gaspard; Menard, Francois; Perrin, Marshall D. (2020). "Utilización de la imputación de datos para la separación de señales en imágenes de alto contraste". El diario astrofísico . 892 (2): 74. arXiv : 2001.00563 . Código bibliográfico : 2020ApJ ... 892 ... 74R . doi : 10.3847 / 1538-4357 / ab7024 . S2CID 209531731 .
- ^ a b Rainer Gemulla; Erik Nijkamp; Peter J. Haas ; Yannis Sismanis (2011). Factorización matricial a gran escala con descenso de gradiente estocástico distribuido . Proc. Conf. Int'l ACM SIGKDD sobre descubrimiento de conocimientos y minería de datos. págs. 69–77.
- ^ Yang Bao; et al. (2014). TopicMF: Explotación simultánea de calificaciones y revisiones para recomendación . AAAI.
- ^ Ben Murrell; et al. (2011). "Factorización de matrices no negativas para el aprendizaje de modelos específicos de alineación de evolución de proteínas" . PLOS ONE . 6 (12): e28898. Código Bibliográfico : 2011PLoSO ... 628898M . doi : 10.1371 / journal.pone.0028898 . PMC 3245233 . PMID 22216138 .
- ^ William H. Lawton ; Edward A. Sylvestre (1971). "Resolución de curva de auto modelado". Tecnometría . 13 (3): 617–633. doi : 10.2307 / 1267173 . JSTOR 1267173 .
- ^ Pentti Paatero; Hasta Tapper; Pasi Aalto; Markku Kulmala (1991). "Métodos de factorización matricial para analizar datos de baterías de difusión". Revista de ciencia de aerosoles . 22 : S273 – S276. doi : 10.1016 / S0021-8502 (05) 80089-8 . ISSN 0021-8502 . Wikidata Q58065673 .
- ^ Pentti Paatero; Unto Tapper (junio de 1994). "Factorización de matriz positiva: un modelo de factor no negativo con una utilización óptima de las estimaciones de error de los valores de los datos" . Environmetrics . 5 (2): 111–126. doi : 10.1002 / ENV.3170050203 . ISSN 1180-4009 . Wikidata Q29308406 .
- ^ Pia Anttila ; Pentti Paatero ; Hasta Tapper; Olli Järvinen (1995). "Identificación de la fuente de deposición húmeda a granel en Finlandia mediante factorización de matriz positiva". Ambiente atmosférico . 29 (14): 1705-1718. Código Bibliográfico : 1995AtmEn..29.1705A . doi : 10.1016 / 1352-2310 (94) 00367-T .
- ^ a b Daniel D. Lee y H. Sebastian Seung (1999). "Aprendizaje de las partes de los objetos mediante factorización matricial no negativa". Naturaleza . 401 (6755): 788–791. Código Bib : 1999Natur.401..788L . doi : 10.1038 / 44565 . PMID 10548103 . S2CID 4428232 .
- ^ a b Daniel D. Lee y H. Sebastian Seung (2001). Algoritmos para factorización matricial no negativa (PDF) . Avances en los sistemas de procesamiento de información neuronal 13: Actas de la Conferencia de 2000. MIT Press . págs. 556–562.
- ^ a b c C. Ding, X. Él, HD Simon (2005). "Sobre la equivalencia de factorización de matrices no negativas y agrupamiento espectral" . Proc. SIAM Int'l Conf. Minería de datos, págs. 606-610. Mayo de 2005
- ^ C Ding, T Li, W Peng, "Sobre la equivalencia entre la factorización matricial no negativa y la indexación semántica latente probabilística" Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine Computational Statistics & Data Analysis 52, 3913-3927
- ^ a b C Ding, T Li, MI Jordan, factorizaciones matriciales convexas y semi-no negativas, transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia de máquinas, 32, 45-55, 2010
- ^ Berman, A .; RJ Plemmons (1974). "Inversiones de matrices no negativas". Álgebra lineal y multilineal . 2 (2): 161-172. doi : 10.1080 / 03081087408817055 .
- ^ A. Berman; RJ Plemmons (1994). Matrices no negativas en las Ciencias Matemáticas . Filadelfia: SIAM.
- ^ Thomas, LB (1974). "Problema 73-14, factorización de rango de matrices no negativas". SIAM Rev . 16 (3): 393–394. doi : 10.1137 / 1016064 .
- ^ Vavasis, SA (2009). "Sobre la complejidad de la factorización matricial no negativa". SIAM J. Optim . 20 (3): 1364-1377. arXiv : 0708.4149 . doi : 10.1137 / 070709967 . S2CID 7150400 .
- ^ Zhang, T .; Fang, B .; Liu, W .; Tang, YY; Él, G .; Wen, J. (2008). "Factorización de matriz no negativa basada en normas de variación total para identificar la representación discriminante de patrones de imagen". Neurocomputación . 71 (10-12): 1824-1831. doi : 10.1016 / j.neucom.2008.01.022 .
- ^ a b Hoyer, Patrik O. (2002). Codificación dispersa no negativa . Proc. Taller IEEE sobre redes neuronales para el procesamiento de señales. arXiv : cs / 0202009 .
- ^ a b Leo Taslaman y Björn Nilsson (2012). "Un marco para la factorización matricial no negativa regularizada, con aplicación al análisis de datos de expresión génica" . PLOS One . 7 (11): e46331. Código Bibliográfico : 2012PLoSO ... 746331T . doi : 10.1371 / journal.pone.0046331 . PMC 3487913 . PMID 23133590 .
- ^ Hsieh, CJ; Dhillon, IS (2011). Métodos rápidos de descenso de coordenadas con selección de variables para la factorización matricial no negativa (PDF) . Actas de la 17a conferencia internacional ACM SIGKDD sobre descubrimiento de conocimiento y minería de datos - KDD '11. pag. 1064. doi : 10.1145 / 2020408.2020577 . ISBN 9781450308137.
- ^ http://www.ijcai.org/papers07/Papers/IJCAI07-432.pdf
- ^ Fung, Yik-Hing; Li, Chun-Hung; Cheung, William K. (2 de noviembre de 2007). Predicción de participación en debates en línea mediante factorización matricial no negativa . Wi-Iatw '07. Sociedad de Informática IEEE. págs. 284-287. ISBN 9780769530284 - a través de dl.acm.org.
- ^ Naiyang Guan; Dacheng Tao; Zhigang Luo & Bo Yuan (julio de 2012). "Factorización de matrices no negativas en línea con aproximación estocástica robusta". Transacciones IEEE en redes neuronales y sistemas de aprendizaje . 23 (7): 1087–1099. doi : 10.1109 / TNNLS.2012.2197827 . PMID 24807135 . S2CID 8755408 .
- ^ a b Lin, Chih-Jen (2007). "Métodos de gradiente proyectado para factorización de matrices no negativas" (PDF) . Computación neuronal . 19 (10): 2756–2779. CiteSeerX 10.1.1.308.9135 . doi : 10.1162 / neco.2007.19.10.2756 . PMID 17716011 . S2CID 2295736 .
- ^ Lin, Chih-Jen (2007). "Sobre la convergencia de algoritmos de actualización multiplicativa para factorización de matrices no negativas". Transacciones IEEE en redes neuronales . 18 (6): 1589-1596. CiteSeerX 10.1.1.407.318 . doi : 10.1109 / TNN.2007.895831 . S2CID 2183630 .
- ^ Hyunsoo Kim y Haesun Park (2008). "Factorización de matriz no negativa basada en mínimos cuadrados alternativos restringidos de no negatividad y método de conjunto activo" (PDF) . Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones Matriciales . 30 (2): 713–730. CiteSeerX 10.1.1.70.3485 . doi : 10.1137 / 07069239x .
- ^ Naiyang Guan; Dacheng Tao; Zhigang Luo, Bo Yuan (junio de 2012). "NeNMF: un método de gradiente óptimo para la factorización de matrices no negativas". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 60 (6): 2882–2898. Código bibliográfico : 2012ITSP ... 60.2882G . doi : 10.1109 / TSP.2012.2190406 . S2CID 8143231 .
- ^ Jingu Kim y Haesun Park (2011). "Factorización rápida de matrices no negativas: un método de conjunto activo y comparaciones". Revista SIAM de Computación Científica . 58 (6): 3261–3281. CiteSeerX 10.1.1.419.798 . doi : 10.1137 / 110821172 .
- ^ Jingu Kim; Yunlong He y Haesun Park (2013). "Algoritmos para factorizaciones de tensor y matriz no negativa: una vista unificada basada en el marco de descenso de coordenadas de bloque" (PDF) . Revista de optimización global . 33 (2): 285–319. doi : 10.1007 / s10898-013-0035-4 . S2CID 11197117 .
- ^ Ding, C .; Él, X. y Simon, HD (2005). Sobre la equivalencia de la factorización matricial no negativa y la agrupación espectral . Proc. SIAM Data Mining Conf . 4 . págs. 606–610. doi : 10.1137 / 1.9781611972757.70 . ISBN 978-0-89871-593-4.
- ^ a b Zhu, Guangtun B. (19 de diciembre de 2016). "Factorización de matrices no negativas (NMF) con incertidumbres heterocedásticas y datos faltantes". arXiv : 1612.06037 [ astro-ph.IM ].
- ^ a b Soummer, Rémi; Pueyo, Laurent; Larkin, James (2012). "Detección y caracterización de exoplanetas y discos mediante proyecciones en imágenes propias de Karhunen-Loève". Las cartas de la revista astrofísica . 755 (2): L28. arXiv : 1207.4197 . Código bibliográfico : 2012ApJ ... 755L..28S . doi : 10.1088 / 2041-8205 / 755/2 / L28 . S2CID 51088743 .
- ^ a b c Pueyo, Laurent (2016). "Detección y caracterización de exoplanetas mediante proyecciones en imágenes propias de Karhunen Loeve: modelado hacia adelante". El diario astrofísico . 824 (2): 117. arXiv : 1604.06097 . Código bibliográfico : 2016ApJ ... 824..117P . doi : 10.3847 / 0004-637X / 824/2/117 . S2CID 118349503 .
- ^ Campbell, SL; GD Poole (1981). "Cálculo de factorizaciones de rango no negativo" . Álgebra Lineal Appl . 35 : 175-182. doi : 10.1016 / 0024-3795 (81) 90272-x .
- ^ Kalofolias, V .; Gallopoulos, E. (2012). "Cálculo de factorizaciones simétricas de rango no negativo" (PDF) . Álgebra Lineal Appl . 436 (2): 421–435. doi : 10.1016 / j.laa.2011.03.016 .
- ^ a b Arora, Sanjeev; Ge, Rong; Halpern, Yoni; Mimno, David; Moitra, Ankur; Sontag, David; Wu, Yichen; Zhu, Michael (2013). Un algoritmo práctico para el modelado de temas con garantías demostrables . Actas de la 30ª Conferencia Internacional sobre Aprendizaje Automático. arXiv : 1212.4777 . Código bibliográfico : 2012arXiv1212.4777A .
- ^ Lee, Daniel D y Seung, H Sebastian (1999). "Aprendizaje de las partes de los objetos mediante factorización matricial no negativa" (PDF) . Naturaleza . 401 (6755): 788–791. Código Bib : 1999Natur.401..788L . doi : 10.1038 / 44565 . PMID 10548103 . S2CID 4428232 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Wray Buntine (2002). Extensiones variacionales a EM y PCA multinomial (PDF) . Proc. Congreso Europeo de Aprendizaje Automático (ECML-02). LNAI. 2430 . págs. 23–34.
- ^ Eric Gaussier y Cyril Goutte (2005). Relación entre PLSA y NMF e implicaciones (PDF) . Proc. 28ª conferencia internacional ACM SIGIR sobre investigación y desarrollo en recuperación de información (SIGIR-05). págs. 601–602. Archivado desde el original (PDF) el 28 de septiembre de 2007 . Consultado el 29 de enero de 2007 .
- ^ Ron Zass y Amnon Shashua (2005). " Un enfoque unificador para la agrupación difícil y probabilística ". Conferencia Internacional sobre Visión por Computador (ICCV) Beijing, China, octubre de 2005.
- ^ Max Welling; et al. (2004). Armonios familiares exponenciales con aplicación a la recuperación de información . NIPS.
- ^ Pentti Paatero (1999). "El motor multilineal: un programa de mínimos cuadrados basado en tablas para resolver problemas multilineales, incluido el modelo de análisis de factores paralelos de n vías". Revista de Estadística Computacional y Gráfica . 8 (4): 854–888. doi : 10.2307 / 1390831 . JSTOR 1390831 .
- ^ Max Welling y Markus Weber (2001). "Factorización de tensor positivo". Cartas de reconocimiento de patrones . 22 (12): 1255-1261. CiteSeerX 10.1.1.21.24 . doi : 10.1016 / S0167-8655 (01) 00070-8 .
- ^ Jingu Kim y Haesun Park (2012). Factorización rápida de tensor no negativo con un método similar a un conjunto activo (PDF) . Computación científica de alto rendimiento: algoritmos y aplicaciones. Saltador. págs. 311–326.
- ^ Kenan Yilmaz; A. Taylan Cemgil y Umut Simsekli (2011). Factorización de tensor acoplado generalizado (PDF) . NIPS.
- ^ Vamsi K. Potluru; Sergey M. Plis; Morten Morup; Vince D. Calhoun y Terran Lane (2009). Actualizaciones multiplicativas eficientes para máquinas de vectores de soporte . Actas de la Conferencia SIAM 2009 sobre Minería de Datos (SDM). págs. 1218-1229.
- ^ Wei Xu; Xin Liu y Yihong Gong (2003). Agrupación de documentos basada en factorización matricial no negativa . Actas de la 26ª conferencia internacional anual ACM SIGIR sobre investigación y desarrollo en la recuperación de información. Nueva York: Association for Computing Machinery . págs. 267-273.
- ^ Eggert, J .; Korner, E. (2004). "Codificación escasa y NMF". 2004 IEEE International Joint Conference on Neural Networks (IEEE Cat. No.04CH37541) . 4 . págs. 2529-2533. doi : 10.1109 / IJCNN.2004.1381036 . ISBN 978-0-7803-8359-3. S2CID 17923083 .
- ^ Lafrenière, David; Maroid, Christian; Doyon, René; Barman, Travis (2009). "Detección HST / NICMOS de HR 8799 b en 1998". Las cartas de la revista astrofísica . 694 (2): L148. arXiv : 0902.3247 . Código Bibliográfico : 2009ApJ ... 694L.148L . doi : 10.1088 / 0004-637X / 694/2 / L148 . S2CID 7332750 .
- ^ Amara, Adam; Quanz, Sascha P. (2012). "PYNPOINT: un paquete de procesamiento de imágenes para encontrar exoplanetas". Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society . 427 (2): 948. arXiv : 1207.6637 . Código bibliográfico : 2012MNRAS.427..948A . doi : 10.1111 / j.1365-2966.2012.21918.x . S2CID 119200505 .
- ^ Wahhaj, Zahed; Cieza, Lucas A .; Mawet, Dimitri; Yang, Bin; Cánovas, Héctor; de Boer, Jozua; Casassus, Simon; Ménard, François; Schreiber, Matthias R .; Liu, Michael C .; Biller, Beth A .; Nielsen, Eric L .; Hayward, Thomas L. (2015). "Mejora de la relación señal-ruido en la imagen directa de exoplanetas y discos circunestelares con MLOCI". Astronomía y Astrofísica . 581 (24): A24. arXiv : 1502.03092 . Bibcode : 2015A & A ... 581A..24W . doi : 10.1051 / 0004-6361 / 201525837 . S2CID 20174209 .
- ^ Nielsen, Finn Årup; Balslev, Daniela; Hansen, Lars Kai (2005). "Minería del cíngulo posterior: segregación entre la memoria y los componentes del dolor" (PDF) . NeuroImage . 27 (3): 520–522. doi : 10.1016 / j.neuroimage.2005.04.034 . PMID 15946864 . S2CID 18509039 .
- ^ Cohen, William (4 de abril de 2005). "Conjunto de datos de correo electrónico de Enron" . Consultado el 26 de agosto de 2008 .
- ^ Berry, Michael W .; Browne, Murray (2005). "Vigilancia de correo electrónico mediante factorización de matriz no negativa". Teoría de la Organización Computacional y Matemática . 11 (3): 249-264. doi : 10.1007 / s10588-005-5380-5 . S2CID 16249147 .
- ^ Nielsen, Finn Årup (2008). Agrupación de citas científicas en Wikipedia . Wikimania . arXiv : 0805.1154 .
- ^ Hassani, Ali; Iranmanesh, Amir; Mansouri, Najme (12 de noviembre de 2019). "Minería de texto mediante factorización de matrices no negativas y análisis semántico latente". arXiv : 1911.04705 [ cs.LG ].
- ^ Michael W. Berry; et al. (2006). "Algoritmos y aplicaciones para la factorización aproximada de matrices no negativas". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Yun Mao; Lawrence Saul y Jonathan M. Smith (2006). "IDES: un servicio de estimación de distancia de Internet para grandes redes". Revista IEEE sobre áreas seleccionadas en comunicaciones . 24 (12): 2273–2284. CiteSeerX 10.1.1.136.3837 . doi : 10.1109 / JSAC.2006.884026 . S2CID 12931155 .
- ^ Yang Chen; Xiao Wang; Cong Shi; et al. (2011). "Phoenix: un sistema de coordenadas de red basado en peso que utiliza la factorización matricial" (PDF) . Transacciones IEEE sobre gestión de redes y servicios . 8 (4): 334–347. CiteSeerX 10.1.1.300.2851 . doi : 10.1109 / tnsm.2011.110911.100079 . S2CID 8079061 . Archivado desde el original (PDF) el 14 de noviembre de 2011.
- ^ Schmidt, MN, J. Larsen y FT Hsiao. (2007). " Reducción del ruido del viento mediante codificación dispersa no negativa ", aprendizaje automático para el procesamiento de señales, taller IEEE , 431–436
- ^ Frichot, E., Mathieu, F., Trouillon, T., Bouchard, G., Francois, O. (2014). "Estimación rápida y eficiente de coeficientes de ascendencia individuales" . Genética . 196 (4): 973–983. doi : 10.1534 / genetics.113.160572 . PMC 3982712 . PMID 24496008 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Devarajan, K. (2008). "Factorización de matrices no negativas: una herramienta analítica e interpretativa en biología computacional" . PLOS Biología Computacional . 4 (7): e1000029. Código bibliográfico : 2008PLSCB ... 4E0029D . doi : 10.1371 / journal.pcbi.1000029 . PMC 2447881 . PMID 18654623 .
- ^ Hyunsoo Kim y Haesun Park (2007). "Escasa factorizaciones de matriz no negativa a través de la alternancia de mínimos cuadrados restringidos por no negatividad para el análisis de datos de microarrays" . Bioinformática . 23 (12): 1495–1502. doi : 10.1093 / bioinformatics / btm134 . PMID 17483501 .
- ^ Schwalbe, E. (2013). "El perfil de metilación del ADN del meduloblastoma permite una subclasificación sólida y una mejor predicción de los resultados mediante biopsias fijadas con formalina" . Acta Neuropathologica . 125 (3): 359–371. doi : 10.1007 / s00401-012-1077-2 . PMC 4313078 . PMID 23291781 .
- ^ Alexandrov, Ludmil B .; Nik-Zainal, Serena; Wedge, David C .; Campbell, Peter J .; Stratton, Michael R. (31 de enero de 2013). "Descifrando firmas de procesos mutacionales operativos en cáncer humano" . Informes de celda . 3 (1): 246–259. doi : 10.1016 / j.celrep.2012.12.008 . ISSN 2211-1247 . PMC 3588146 . PMID 23318258 .
- ^ Stein-O'Brien, Genevieve L .; Arora, Raman; Culhane, Aedin C .; Favorov, Alexander V .; Garmire, Lana X .; Greene, Casey S .; Goff, Loyal A .; Li, Yifeng; Ngom, Aloune; Ochs, Michael F .; Xu, Yanxun (1 de octubre de 2018). "Ingrese a la matriz: la factorización descubre el conocimiento de Omics" . Tendencias en Genética . 34 (10): 790–805. doi : 10.1016 / j.tig.2018.07.003 . ISSN 0168-9525 . PMC 6309559 . PMID 30143323 .
- ^ DiPaola; Bazin; Aubry; Aurengo; Cavailloles; Herry; Kahn (1982). "Manejo de secuencias dinámicas en medicina nuclear". IEEE Trans Nucl Sci . NS-29 (4): 1310–21. Código bibliográfico : 1982ITNS ... 29.1310D . doi : 10.1109 / tns.1982.4332188 . S2CID 37186516 .
- ^ Sitek; Gullberg; Huesman (2002). "Corrección de soluciones ambiguas en análisis factorial utilizando un objetivo de mínimos cuadrados penalizado". IEEE Trans Med Imaging . 21 (3): 216-25. doi : 10.1109 / 42.996340 . PMID 11989846 . S2CID 6553527 .
- ^ Boutchko; Mitra; Panadero; Jagust; Gullberg (2015). "Aplicación de análisis de factores iniciados por agrupamiento (CIFA) para la clasificación de tejidos en PET de cerebro dinámico" . Revista de flujo sanguíneo cerebral y metabolismo . 35 (7): 1104-11. doi : 10.1038 / jcbfm.2015.69 . PMC 4640278 . PMID 25899294 .
- ^ Abdalah; Boutchko; Mitra; Gullberg (2015). "Reconstrucción de imágenes SPECT dinámicas 4-D a partir de proyecciones inconsistentes utilizando un algoritmo FADS inicializado por spline (SIFADS)" . IEEE Trans Med Imaging . 34 (1): 216–18. doi : 10.1109 / TMI.2014.2352033 . PMID 25167546 . S2CID 11060831 .
- ^ C. Boutsidis y E. Gallopoulos (2008). "Inicialización basada en SVD: una ventaja para la factorización matricial no negativa". Reconocimiento de patrones . 41 (4): 1350-1362. CiteSeerX 10.1.1.137.8281 . doi : 10.1016 / j.patcog.2007.09.010 .
- ^ Chao Liu; Hung-chih Yang; Fan Jinliang; Li-Wei He y Yi-Min Wang (2010). "Factorización de matriz no negativa distribuida para análisis de datos diádicos a escala web en MapReduce" (PDF) . Actas de la 19ª Conferencia Internacional World Wide Web .
- ^ Jiangtao Yin; Lixin Gao y Zhongfei (Mark) Zhang (2014). "Factorización de matriz no negativa escalable con actualizaciones por bloques" (PDF) . Actas de la Conferencia Europea sobre Aprendizaje Automático y Principios y Práctica del Descubrimiento del Conocimiento en Bases de Datos .
- ^ "Apache Mahout" . mahout.apache.org . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
- ^ Dong Wang; Ravichander Vipperla; Nick Evans; Thomas Fang Zheng (2013). "Aprendizaje de patrones convolutivos no negativos en línea para señales del habla" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 61 (1): 44–56. Código bibliográfico : 2013ITSP ... 61 ... 44W . CiteSeerX 10.1.1.707.7348 . doi : 10.1109 / tsp.2012.2222381 . S2CID 12530378 . Archivado desde el original (PDF) el 19 de abril de 2015 . Consultado el 19 de abril de 2015 .
- ^ Xiangnan He; Min-Yen Kan; Peichu Xie y Xiao Chen (2014). "Agrupación multivista basada en comentarios de elementos Web 2.0" (PDF) . Actas de la 23ª Conferencia Internacional World Wide Web . Archivado desde el original (PDF) el 2 de abril de 2015 . Consultado el 22 de marzo de 2015 .
- ^ Jialu Liu; Chi Wang; Jing Gao y Jiawei Han (2013). Agrupación de múltiples vistas mediante factorización conjunta de matrices no negativas (PDF) . Actas de la Conferencia de Minería de Datos SIAM . págs. 252–260. CiteSeerX 10.1.1.301.1771 . doi : 10.1137 / 1.9781611972832.28 . ISBN 978-1-61197-262-7.
- ^ Chistikov, Dmitry; Kiefer, Stefan; Marušić, Ines; Shirmohammadi, Mahsa; Worrell, James (22 de mayo de 2016). "Factorización de matriz no negativa requiere irracionalidad". arXiv : 1605.06848 [ cs.CC ].
Otros
- J. Shen; GW Israël (1989). "Un modelo de receptor que utiliza una técnica de transformación no negativa específica para aerosol ambiental". Ambiente atmosférico . 23 (10): 2289–2298. Código Bibliográfico : 1989AtmEn..23.2289S . doi : 10.1016 / 0004-6981 (89) 90190-X .
- Pentti Paatero (1997). "Formulación de mínimos cuadrados de análisis factorial no negativo robusto". Quimiometría y sistemas inteligentes de laboratorio . 37 (1): 23–35. doi : 10.1016 / S0169-7439 (96) 00044-5 .
- Raul Kompass (2007). "Una medida de divergencia generalizada para la factorización de matrices no negativas". Computación neuronal . 19 (3): 780–791. doi : 10.1162 / neco.2007.19.3.780 . PMID 17298233 . S2CID 5337451 .
- Liu, WX; Zheng, NN y usted, QB (2006). "Factorización de matrices no negativas y sus aplicaciones en el reconocimiento de patrones". Boletín de ciencia china . 51 (17-18): 7-18. Código bibliográfico : 2006ChSBu..51 .... 7L . doi : 10.1007 / s11434-005-1109-6 . S2CID 15445516 .
- Ngoc-Diep Ho; Paul Van Dooren y Vincent Blondel (2008). "Métodos de descenso para factorización de matrices no negativas". arXiv : 0801.3199 [ cs.NA ].
- Andrzej Cichocki ; Rafal Zdunek y Shun-ichi Amari (2008). "Factorización de tensor y matriz no negativa". Revista de procesamiento de señales IEEE . 25 (1): 142-145. Código Bibliográfico : 2008ISPM ... 25R.142C . doi : 10.1109 / MSP.2008.4408452 . S2CID 9997603 .
- Cédric Févotte; Nancy Bertin y Jean-Louis Durrieu (2009). "Factorización matricial no negativa con la divergencia Itakura-Saito: con aplicación al análisis musical". Computación neuronal . 21 (3): 793–830. doi : 10.1162 / neco.2008.04-08-771 . PMID 18785855 . S2CID 13208611 .
- Ali Taylan Cemgil (2009). "Inferencia bayesiana para modelos de factorización de matrices no negativas" . Inteligencia Computacional y Neurociencia . 2009 (2): 1–17. doi : 10.1155 / 2009/785152 . PMC 2688815 . PMID 19536273 .
- Andrzej Cichocki, Morten Mrup, et al .: "Advances in Nonnegative Matrix and Tensor Factorization", Hindawi Publishing Corporation, ISBN 978-9774540455 (2008).
- Andrzej Cichocki, Rafal Zdunek, Anh Huy Phan y Shun-ichi Amari: "Factorizaciones de tensor y matriz no negativa: aplicaciones para el análisis exploratorio de datos multidireccionales y la separación ciega de fuentes", Wiley, ISBN 978-0470746660 (2009).
- Andri Mirzal: "Factorizaciones matriciales no negativas para clustering y LSI: teoría y programación", Editorial Académica LAP LAMBERT, ISBN 978-3844324891 (2011).
- Yong Xiang: "Separación ciega de fuentes: análisis de componentes dependientes", Springer, ISBN 978-9812872265 (2014).
- Ganesh R. Naik (Ed.): "Técnicas de factorización de matrices no negativas: avances en teoría y aplicaciones", Springer, ISBN 978-3662517000 (2016).
- Julian Becker: "Factorización de matriz no negativa con elementos adaptativos para separación de fuente de audio monoaural: 1", Shaker Verlag GmbH, Alemania, ISBN 978-3844048148 (2016).
- Jen-Tzung Chien: "Separación de fuentes y aprendizaje automático", Academic Press, ISBN 978-0128177969 (2018).
- Shoji Makino (Ed.): "Separación de fuente de audio", Springer, ISBN 978-3030103033 (2019).
- Nicolas Gillis: "Factorización de matrices no negativas", SIAM, ISBN 978-1-611976-40-3 (2020).