Norma (matemáticas)

Longitud en un espacio vectorial

Este artículo trata sobre las normas de los espacios vectoriales normativos . Para la teoría de campo, consulte Norma de campo . Para conocer los ideales, consulte Norma ideal . Para la teoría de grupos, consulte Norma (grupo) . Para conocer las normas de la teoría descriptiva de conjuntos, consulte Prewellordering .

En matemáticas , una norma es una función de un espacio vectorial real o complejo a los números reales no negativos que se comporta de cierta manera como la distancia desde el origen : conmuta con la escala, obedece a una forma de la desigualdad del triángulo y es cero solo en el origen. En particular, la distancia euclidiana de un vector desde el origen es una norma, llamada norma euclidiana , o norma 2 , que también se puede definir como la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo.

Una pseudonorma o seminorma satisface las dos primeras propiedades de una norma, pero puede ser cero para otros vectores además del origen. ^[1] Un espacio vectorial con una norma específica se denomina espacio vectorial normalizado . De manera similar, un espacio vectorial con seminorma se denomina espacio vectorial seminormado .

Definición

Dado un espacio vectorial V sobre un subcampo F de los números complejos , una norma en V es una función de valor real no negativa con las siguientes propiedades, donde | a | denota el valor absoluto habitual de a : ^[2]${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$

Para todo a en F y todo u , v en V ,

1. p ( u + v ) ≤ p ( u ) + p ( v ) (siendo subaditivo o satisfaciendo la desigualdad del triángulo ).
2. p ( a v ) = | a | p ( v ) (ser absolutamente homogéneo o absolutamente escalable ).
3. Si p ( v ) = 0 entonces v = 0 es el vector cero (siendo positivo definido o separador de puntos ).

Una seminorma en V es una función con las propiedades 1 y 2 anteriores. ^[3]${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$

Normas equivalentes

Supongamos que p y q son dos normas (o seminormas) en un espacio vectorial V . Entonces p y q son llamados equivalente , si existen dos constantes reales c y C con c > 0 tal que para cada vector v ∈ V ,

${\displaystyle cq(\mathbf {v} )\leq p(\mathbf {v} )\leq Cq(\mathbf {v} ).}$

Las Normas de p y q son equivalentes si y sólo si inducen la misma topología en V . ^[4] Dos normas cualesquiera en un espacio de dimensión finita son equivalentes, pero esto no se extiende a los espacios de dimensión infinita. ^[4]

Notación

Si se da una norma en un espacio vectorial X , entonces la norma de un vector v ∈ X generalmente se denota encerrándola entre líneas verticales dobles: Esta notación también se usa a veces si p es solo una seminorma. Para la longitud de un vector en el espacio euclidiano (que es un ejemplo de una norma, como se explica a continuación ), la notación | v | con líneas verticales únicas también está muy extendido.${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \|v\|=p(v).}$

En LaTeX y lenguajes de marcado relacionados, la doble barra de notación de norma se ingresa con la macro \|, que se representa como La línea vertical doble que se usa para denotar líneas paralelas , el operador paralelo y la suma paralela se ingresa con y se representa como Aunque parecen similares, estos dos las macros no deben confundirse, ya que denota un corchete y denota un operador. Por tanto, su tamaño y los espacios a su alrededor no se calculan de la misma forma. De manera similar, la barra vertical única se codifica como cuando se usa como corchete y como cuando se usa como operador.${\displaystyle \|.}$\parallel${\displaystyle \parallel .}$\|\parallel|\mid

En Unicode , el punto de código del carácter de "línea vertical doble" es U + 2016. El símbolo de "línea vertical doble" no debe confundirse con el símbolo "paralelo a", Unicode U + 2225 (∥), que está destinado a denotar líneas paralelas y operadores paralelos. La doble línea vertical tampoco debe confundirse con Unicode U + 01C1 (ǁ), cuyo objetivo es denotar clics laterales en lingüística.

La línea vertical única | se llama "línea vertical" en Unicode y su punto de código es U + 007C.

Ejemplos

Todo espacio vectorial (real o complejo) admite una norma: si x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} es una base de Hamel para un espacio vectorial X, entonces el mapa de valores reales que envía x = ∑ _{i ∈ I} s _i x _i ∈ X (donde todos menos un número finito de los escalares s _i son 0) a ∑ _{i ∈ I} | s _i | es una norma en X . ^[5] También hay una gran cantidad de normas que exhiben propiedades adicionales que las hacen útiles para problemas específicos.

Norma de valor absoluto

El valor absoluto

${\displaystyle \left\|x\right\|=\left|x\right|}$

es una norma sobre los espacios vectoriales unidimensionales formados por los números reales o complejos . ^[6]

Cualquier norma p en un espacio vectorial unidimensional X es equivalente (hasta escalar) a la norma de valor absoluto, lo que significa que hay un isomorfismo que preserva la norma de los espacios vectoriales donde es o , y preservar la norma significa eso . Este isomorfismo se da enviando a un vector de norma 1 , que existe ya que dicho vector se obtiene multiplicando cualquier vector distinto de cero por el inverso de su norma.${\displaystyle f:\mathbb {F} \rightarrow X,}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \left|x\right|=p(f(x))}$${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$

Norma euclidiana

Artículo principal: distancia euclidiana

En el espacio euclidiano n- dimensional , la noción intuitiva de longitud del vector x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) es capturada por la fórmula${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$^[7]

Ésta es la norma euclidiana, que da la distancia ordinaria desde el origen hasta el punto X, una consecuencia del teorema de Pitágoras . Esta operación también puede denominarse "SRSS", que es un acrónimo de s quare r oot del s um of s quares. ^[8]

La norma euclidiana es, con mucho, la norma más comúnmente utilizada , ^[7] pero existen otras normas sobre este espacio vectorial, como se mostrará a continuación. Sin embargo, todas estas normas son equivalentes en el sentido de que todas definen la misma topología.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El producto interno de dos vectores de un espacio vectorial euclidiano es el producto escalar de sus vectores de coordenadas sobre una base ortonormal . Por lo tanto, la norma euclidiana se puede escribir sin coordenadas como

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$

La norma euclidiana también se llama norma L ² , norma ^[9] ℓ ² , norma 2 o norma cuadrada ; ver espacio L p . Define una función de distancia llamada longitud euclidiana , distancia L ² o distancia ℓ ² .

El conjunto de vectores en cuya norma euclidiana es una constante positiva dada forma una n -esfera .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Norma euclidiana de números complejos

La norma euclidiana de un número complejo es el valor absoluto (también llamado módulo ) del mismo, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano Esta identificación del número complejo x + i y como un vector en el plano euclidiano, hace que el cantidad (como sugirió por primera vez Euler) la norma euclidiana asociada con el número complejo.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Cuaterniones y octoniones

Ver también: Quaternion y Octonion

Hay exactamente cuatro álgebras euclidianas de Hurwitz sobre los números reales . Estos son los números reales , los números complejos , los cuaterniones y finalmente los octoniones , donde las dimensiones de estos espacios sobre los números reales son 1 , 2 , 4 y 8 , respectivamente. Las normas canónicas sobre y son sus funciones de valor absoluto , como se discutió anteriormente.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

La norma canónica de los cuaterniones está definida por${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$

para cada cuaternión en Esto es lo mismo que la norma euclidiana considerada como el espacio vectorial De manera similar, la norma canónica sobre los octoniones es la norma euclidiana justa sobre${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbb {H} .}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

Espacios normativos complejos de dimensión finita

En un espacio complejo n- dimensional , la norma más común es${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {z}}\right\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$

En este caso, la norma se puede expresar como la raíz cuadrada del producto interno del vector y él mismo:

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$

donde se representa como un vector de columna ([ x ₁ ; x ₂ ; ...; x _n ]), y denota su transposición conjugada .${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

Esta fórmula es válida para cualquier espacio de producto interior , incluidos los espacios euclidianos y complejos. Para espacios complejos, el producto interno es equivalente al producto escalar complejo . Por lo tanto, la fórmula en este caso también se puede escribir usando la siguiente notación:

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$

Norma de taxis o norma de Manhattan

Artículo principal: geometría del taxi

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {x}}\right\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$

El nombre se refiere a la distancia que tiene que recorrer un taxi en una cuadrícula de calles rectangular para llegar desde el origen hasta el punto x .

El conjunto de vectores cuya norma 1 es una constante dada forma la superficie de un politopo cruzado de dimensión equivalente a la de la norma menos 1. La norma del taxi también se denomina norma ₁ . La distancia derivada de esta norma se denomina distancia de Manhattan o distancia ₁ .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

La norma 1 es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.

A diferencia de,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

no es una norma porque puede producir resultados negativos.

p -norm

Artículo principal: espacio L p

Sea p ≥ 1 un número real. La p -norm (también llamada -norm) del vector es${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{p}:={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}.}$^[7]

Para p = 1 , obtenemos la norma del taxi , ^[6] para p = 2 , obtenemos la norma euclidiana , y cuando p se acerca a ∞ la p -norm se acerca a la norma infinita o norma máxima :

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$

La p -norm está relacionada con la media generalizada o media de potencia.

Esta definición sigue siendo de algún interés para 0 < p <1 , pero la función resultante no define una norma, ^[10] porque viola la desigualdad del triángulo . Lo que es cierto para este caso de 0 < p <1 , incluso en el análogo medible, es que la clase L ^p correspondiente es un espacio vectorial, y también es cierto que la función

${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)-g(x)\right|^{p}~\mathrm {d} \mu }$

(sin p- ésima raíz) define una distancia que convierte a L ^p ( X ) en un espacio vectorial topológico métrico completo . Estos espacios son de gran interés para el análisis funcional , la teoría de la probabilidad y el análisis armónico . Sin embargo, aparte de casos triviales, este espacio vectorial topológico no es localmente convexo y no tiene formas lineales continuas distintas de cero. Así, el espacio dual topológico contiene solo el funcional cero.

La derivada parcial de la p -norm está dada por

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left\|\mathbf {x} \right\|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\left\|\mathbf {x} \right\|_{p}^{p-1}}}.}$

La derivada con respecto ax , por lo tanto, es

${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$

donde ∘ denota el producto de Hadamard y se usa para el valor absoluto de cada componente del vector.${\displaystyle |\cdot |}$

Para el caso especial de p = 2 , esto se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}={\frac {x_{k}}{\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}}},}$

o

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}}}.}$

Norma máxima (caso especial de: norma infinita, norma uniforme o norma suprema)

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=1}$

Artículo principal: Norma máxima

Si es algún vector tal que , entonces:${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, c , forma la superficie de un hipercubo con una longitud de borde 2 c .

Norma cero

En probabilidad y el análisis funcional, la norma cero induce una topología métrico completo por el espacio de funciones medibles y para el F-espacio de secuencias con F-norma . ^[11] Aquí entendemos por norma F alguna función de valor real en un espacio F con distancia d , tal que . La F -norm descrita anteriormente no es una norma en el sentido habitual porque carece de la propiedad de homogeneidad requerida.${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}}$${\displaystyle \lVert \ \cdot \ \rVert }$${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0)}$

Distancia de Hamming de un vector desde cero

Ver también: distancia de Hamming y métrica discreta

En geometría métrica , la métrica discreta toma el valor uno para puntos distintos y cero en caso contrario. Cuando se aplica por coordenadas a los elementos de un espacio vectorial, la distancia discreta define la distancia de Hamming , que es importante en la codificación y la teoría de la información.. En el campo de los números reales o complejos, la distancia de la métrica discreta a cero no es homogénea en el punto distinto de cero; de hecho, la distancia desde cero sigue siendo uno cuando su argumento distinto de cero se acerca a cero. Sin embargo, la distancia discreta de un número a cero satisface las otras propiedades de una norma, a saber, la desigualdad del triángulo y la definición positiva. Cuando se aplica por componentes a los vectores, la distancia discreta desde cero se comporta como una "norma" no homogénea, que cuenta el número de componentes distintos de cero en su argumento vectorial; de nuevo, esta "norma" no homogénea es discontinua.

En procesamiento de señales y estadísticas , David Donoho se refirió a la " norma " cero entre comillas. Siguiendo la notación de Donoho, la "norma" cero de x es simplemente el número de coordenadas distintas de cero de x , o la distancia de Hamming del vector desde cero. Cuando esta "norma" se localiza en un conjunto acotado, es el límite de p -normas cuando p se acerca a 0. Por supuesto, la "norma" cero no es verdaderamente una norma, porque no es homogénea positiva.. De hecho, ni siquiera es una norma F en el sentido descrito anteriormente, ya que es discontinua, conjunta y solidariamente, con respecto al argumento escalar en la multiplicación escalar-vector y con respecto a su argumento vectorial. Abusando de la terminología , algunos ingenieros ^{[ ¿quién? ]} omiten las comillas de Donoho y llaman inapropiadamente a la función de número de no ceros la norma L ⁰ , haciéndose eco de la notación para el espacio de Lebesgue de funciones medibles .

Dimensiones infinitas

La generalización de las normas anteriores a un número infinito de los componentes conduce a ℓ  p y L  p espacios , con las normas

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \left\|f\right\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$

para secuencias de valores complejos y funciones en respectivamente, que se pueden generalizar aún más (ver medida de Haar ).${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Cualquier producto interior induce de forma natural la norma${\displaystyle \left\|x\right\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Otros ejemplos de espacios vectoriales normados de dimensión infinita se pueden encontrar en el artículo sobre el espacio de Banach .

Normas compuestas

Se pueden construir otras normas combinando lo anterior; por ejemplo${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left\|x\right\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$

es una norma en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Para cualquier norma y cualquier transformación lineal inyectiva A podemos definir una nueva norma de x , igual a

${\displaystyle \left\|Ax\right\|.}$

En 2D, con A una rotación de 45 ° y una escala adecuada, esto cambia la norma del taxi a la norma máxima. Cada A aplicada a la norma del taxi, hasta la inversión e intercambio de ejes, da una bola unitaria diferente: un paralelogramo de una forma, tamaño y orientación particular.

En 3D, esto es similar pero diferente para la norma 1 ( octaedros ) y la norma máxima ( prismas con base de paralelogramo).

Hay ejemplos de normas que no están definidas por fórmulas "de entrada". Por ejemplo, el funcional de Minkowski de un cuerpo convexo centralmente simétrico en (centrado en cero) define una norma en (ver § Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos más abajo).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Todas las fórmulas anteriores también producen normas sin modificaciones.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También existen normas sobre espacios de matrices (con entradas reales o complejas), las llamadas normas matriciales .

En álgebra abstracta

Artículo principal: Norma de campo

Deje que E sea una extensión finita de un campo k de inseparables grado p ^μ , y dejar k tiene algebraica de cierre K . Si las distintas incrustaciones de E son {σ _j } _j , entonces la norma teórica de Galois de un elemento α∈ E es el valor . Como esa función es homogénea de grado [ E : k ] , la norma teórica de Galois no es una norma en el sentido de este artículo. Sin embargo, el [ E :${\displaystyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}}$k ] ^la raíz de la norma (asumiendo que el concepto tiene sentido), es una norma. ^[12]

Álgebras de composición

El concepto de norma en álgebra de la composición no no comparten las propiedades usuales de una norma, ya que puede ser negativo o cero para z ≠ composición 0. Un álgebra ( A , *, N ) consiste en un álgebra sobre un campo A , una involución * y una forma cuadrática que se llama "norma".${\displaystyle N(z)}$ ${\displaystyle N(z)=zz^{*},}$

El rasgo característico de álgebra de la composición es el homomorfismo característica de N : para el producto wz de dos elementos W y Z de la composición álgebra, sus satisface norma para , , , y O la norma composición álgebra es el cuadrado de la norma se discutió anteriormente. En esos casos, la norma es una forma cuadrática definida . En otras álgebras de composición, la norma es una forma cuadrática isotrópica .${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Propiedades

Para cualquier norma p en un espacio vectorial V , la desigualdad del triángulo inverso se cumple: para todo u y v ∈ V ,

p ( u ± v ) ≥ | p ( u ) - p ( v ) |

Si u  : X → Y es un mapa lineal continuo entre el espacio normado, entonces la norma de u y la norma de la transpuesta de u son iguales. ^[13]

Para las normas L p , tenemos la desigualdad de Hölder ^[14]

${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|_{p}\left\|y\right\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Un caso especial de esto es la desigualdad de Cauchy-Schwarz : ^[14]

${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|_{2}\left\|y\right\|_{2}.}$

Ilustraciones de círculos unitarios en diferentes normas.

Equivalencia

El concepto de círculo unitario (el conjunto de todos los vectores de la norma 1) es diferente en diferentes normas: para la norma 1, el círculo unitario es un cuadrado , para la norma 2 (norma euclidiana), es el conocido círculo unitario , mientras que para la norma infinita, es un cuadrado diferente. Para cualquier p -norm, es una superelipse con ejes congruentes (vea la ilustración adjunta). Debido a la definición de la norma, el círculo unitario debe ser convexo y centralmente simétrico (por lo tanto, por ejemplo, la bola unitaria puede ser un rectángulo pero no un triángulo, y para una p -norm).${\displaystyle p\geq 1}$

En términos del espacio vectorial, la seminorma define una topología en el espacio, y esta es una topología de Hausdorff precisamente cuando la seminorma puede distinguir entre vectores distintos, lo que de nuevo es equivalente a que la seminorma sea una norma. La topología así definida (ya sea por una norma o una seminorma) puede entenderse en términos de secuencias o conjuntos abiertos. Se dice que una secuencia de vectores converge en norma a , si como . De manera equivalente, la topología consta de todos los conjuntos que se pueden representar como una unión de bolas abiertas . Si ( X , || ⋅ ||) es un espacio normado, entonces || X${\displaystyle \{v_{n}\}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\rightarrow 0}$${\displaystyle n\to \infty }$- y || = || x - z || + || z - y || para todos x , y , z ∈ X . ^[15]

Dos normas ‖ • ‖ _α y ‖ • ‖ _β en un espacio vectorial V se llaman equivalentes si inducen la misma topología, ^{[4] lo} cual sucede si y solo si existen números reales positivos C y D tales que para todo x en V

${\displaystyle C\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\leq D\left\|x\right\|_{\alpha }.}$

Por ejemplo, si p > r ≥ 1 en , entonces${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}\leq \left\|x\right\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\left\|x\right\|_{p}}$^[dieciséis]

En particular,

${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}}$

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{\infty }}$

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{1}\leq n\left\|x\right\|_{\infty },}$

Eso es,

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}\leq n\left\|x\right\|_{\infty }.}$

Si el espacio vectorial es real o complejo de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Por otro lado, en el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, no todas las normas son equivalentes.

Las normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y convergencia y, para muchos propósitos, no es necesario distinguirlas. Para ser más precisos, la estructura uniforme definida por normas equivalentes en el espacio vectorial es uniformemente isomorfa .

Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos

Artículo principal: Seminorm

Todos los seminormas en un espacio vectorial V pueden clasificarse en términos de subconjuntos A de V que absorben absolutamente convexos . A cada uno de estos subconjuntos corresponde una seminorma p _A llamada calibre de A , definida como

p _A ( x ): = inf { α  : α > 0, x ∈ αA }

con la propiedad que

{ x  : p _A ( x ) <1} ⊆ A ⊆ { x  : p _A ( x ) ≤ 1}.

En cambio:

Cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base local que consta de conjuntos absolutamente convexos. Un método común para construir tal base es usar una familia ( p ) de seminormas p que separa puntos : la colección de todas las intersecciones finitas de conjuntos { p <1 / n } convierte el espacio en un espacio vectorial topológico localmente convexo de modo que cada p es continuo .

Este método se utiliza para diseñar topologías débiles y débiles * .

caso norma:

Supongamos ahora que ( p ) contiene una sola p : dado que ( p ) se está separando , p es una norma y A = { p <1} es su bola unitaria abierta . Entonces A es una vecindad acotada absolutamente convexa de 0, y p = p _A es continua.

Lo contrario se debe a Andrey Kolmogorov : cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo y localmente limitado es normable . Precisamente:

Si V es un vecindario acotado absolutamente convexo de 0, el indicador g _V (de modo que V = { g _V <1} ) es una norma.

Ver también

• Norma asimétrica  : generalización del concepto de norma
• F-seminorm
• Norma Gowers
• Distancia de Mahalanobis
• Magnitud (matemáticas)
• Norma de la matriz  - Norma sobre un espacio vectorial de las matrices
• Minkowski funcional
• Norma del operador
• Paranorm
• Relación de normas y métricas
• Seminorm
• Función sublineal

Referencias

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Bibliografía

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