En matemáticas , la derivada direccional de una función diferenciable multivariante a lo largo de un vector dado v en un punto dado x representa intuitivamente la tasa instantánea de cambio de la función, moviéndose a través de x con una velocidad especificada por v . Por lo tanto, generaliza la noción de derivada parcial , en la que la tasa de cambio se toma a lo largo de una de las curvas de coordenadas curvilíneas , siendo todas las demás coordenadas constantes.
La derivada direccional es un caso especial de la derivada Gateaux .
Notación
Dejar ser una curva cuyo vector tangente en algún punto elegido es v . La derivada direccional de una función f con respecto av se puede denotar por cualquiera de los siguientes:
Definición
La derivada direccional de una función escalar
a lo largo de un vector
es la funcion definido por el límite [1]
Esta definición es válida en una amplia gama de contextos, por ejemplo, donde la norma de un vector (y por lo tanto un vector unitario) no está definida. [2]
Si la función f es derivable en x , entonces la derivada direccional existe a lo largo de cualquier vector v , y uno tiene
donde el a la derecha denota el gradiente yes el producto escalar . [3] Esto se deriva de la definición de una ruta. y usando la definición de la derivada como un límite que se puede calcular a lo largo de esta ruta para obtener:
Intuitivamente, la derivada direccional de f en un punto x representa la tasa de cambio de f , en la dirección de v con respecto al tiempo, cuando se mueve más allá de x .
Usando solo la dirección del vector
En un espacio euclidiano , algunos autores [4] definen la derivada direccional con respecto a un vector v arbitrario distinto de cero después de la normalización , por lo que es independiente de su magnitud y depende únicamente de su dirección. [5]
Esta definición da la tasa de aumento de f por unidad de distancia recorrida en la dirección dada por v . En este caso, uno tiene
o en caso de que f sea diferenciable en x ,
Restricción a un vector unitario
En el contexto de una función en un espacio euclidiano , algunos textos restringen el vector v a ser un vector unitario . Con esta restricción, ambas definiciones anteriores son equivalentes. [6]
Propiedades
Muchas de las propiedades familiares de la derivada ordinaria son válidas para la derivada direccional. Estos incluyen, para cualquier función f y g definida en una vecindad de, y diferenciable en, p :
- regla de suma :
- regla del factor constante : para cualquier constante c ,
- regla del producto (o regla de Leibniz ):
- regla de la cadena : si g es diferenciable en p y h es diferenciable en g ( p ), entonces
En geometría diferencial
Deje que M sea un diferenciable colector y p un punto de M . Suponga que f es una función definida en una vecindad de p , y diferenciable en p . Si v es un vector tangente a M en p , entonces la derivada direccional de f a lo largo de v , denotada de diversas formas como df ( v ) (ver Derivada exterior ),(ver derivada covariante ),(ver derivada de Lie ), o(ver Espacio tangente § Definición vía derivaciones ), se puede definir de la siguiente manera. Let γ : [-1, 1] → M ser una curva diferenciable con γ (0) = p y γ '(0) = v . Entonces la derivada direccional se define por
Esta definición puede probarse independientemente de la elección de γ , siempre que γ se seleccione de la manera prescrita de modo que γ ′ (0) = v .
La derivada de la mentira
La derivada de Lie de un campo vectorial a lo largo de un campo vectorial viene dada por la diferencia de dos derivadas direccionales (con torsión evanescente):
En particular, para un campo escalar , la derivada de Lie se reduce a la derivada direccional estándar:
El tensor de Riemann
Las derivadas direccionales se utilizan a menudo en las derivaciones introductorias del tensor de curvatura de Riemann . Considere un rectángulo curvo con un vector infinitesimal δ a lo largo de un borde y δ ′ a lo largo del otro. Traducimos un covector S a lo largo de δ, luego δ ′ y luego restamos la traslación a lo largo de δ ′ y luego δ . En lugar de construir la derivada direccional usando derivadas parciales, usamos la derivada covariante . El operador de traducción para δ es entonces
y para δ ′,
La diferencia entre los dos caminos es entonces
Se puede argumentar [7] que la no conmutatividad de las derivadas covariantes mide la curvatura de la variedad:
donde R es el tensor de curvatura de Riemann y el signo depende de la convención de signos del autor.
En teoría de grupos
Traducciones
En el álgebra de Poincaré , podemos definir un operador de traslación infinitesimal P como
(la i asegura que P es un operador autoadjunto ) Para un desplazamiento finito λ , la representación unitaria del espacio de Hilbert para traslaciones es [8]
Al usar la definición anterior del operador de traducción infinitesimal, vemos que el operador de traducción finito es una derivada direccional exponenciada:
Este es un operador de traducción en el sentido de que actúa sobre funciones multivariables f ( x ) como
Prueba de la última ecuación |
---|
En el cálculo estándar de una sola variable, la derivada de una función suave f (x) se define por (para ε pequeño) Esto se puede reorganizar para encontrar f (x + ε): Resulta que es un operador de traducción. Esto se generaliza instantáneamente [9] a funciones multivariables f ( x ) Aquí es la derivada direccional a lo largo del desplazamiento infinitesimal ε . Hemos encontrado la versión infinitesimal del operador de traducción: Es evidente que la ley de multiplicación de grupos [10] U (g) U (f) = U (gf) toma la forma Entonces, suponga que tomamos el desplazamiento finito λ y lo dividimos en N partes (N → ∞ está implícito en todas partes), de modo que λ / N = ε . En otras palabras, Luego, aplicando U ( ε ) N veces, podemos construir U ( λ ): Ahora podemos conectar nuestra expresión anterior para U ( ε ): Usando la identidad [11] tenemos Y como U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ) tenemos QED Como nota técnica, este procedimiento solo es posible porque el grupo de traducción forma un subgrupo abeliano ( subálgebra de Cartan ) en el álgebra de Poincaré. En particular, la ley de multiplicación de grupos U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) no debe darse por sentada. También notamos que Poincaré es un grupo de Lie conectado. Es un grupo de transformaciones T (ξ) que se describen mediante un conjunto continuo de parámetros reales. La ley de multiplicación de grupos toma la forma Tomando como las coordenadas de la identidad, debemos tener Los operadores reales en el espacio de Hilbert están representados por operadores unitarios U (T (ξ)). En la notación anterior suprimimos la T; ahora escribimos U ( λ ) como U ( P ( λ )). Para un pequeño vecindario alrededor de la identidad, la representación de la serie de poder es bastante bueno. Supongamos que U (T (ξ)) forman una representación no proyectiva, es decir, que La expansión de f a la segunda potencia es Después de expandir la ecuación de multiplicación de representación e igualar coeficientes, tenemos la condición no trivial Desde es por definición simétrico en sus índices, tenemos el conmutador estándar de álgebra de Lie : con C la estructura constante . Los generadores de traducciones son operadores de derivadas parciales, que conmutan: Esto implica que las constantes de estructura desaparecen y, por lo tanto, los coeficientes cuadráticos en la expansión f también desaparecen. Esto significa que f es simplemente aditivo: y así para los grupos abelianos, QED |
Rotaciones
El operador de rotación también contiene una derivada direccional. El operador de rotación para un ángulo θ , es decir, por una cantidad θ = | θ | sobre un eje paralelo a es
Aquí L es el operador vectorial que genera SO (3) :
Puede mostrarse geométricamente que una rotación infinitesimal a la derecha cambia el vector de posición x por
Entonces esperaríamos bajo rotación infinitesimal:
Resulta que
Siguiendo el mismo procedimiento de exponenciación anterior, llegamos al operador de rotación en la base de la posición, que es una derivada direccional exponenciada: [12]
Derivada normal
Una derivada normal es una derivada direccional tomada en la dirección normal (es decir, ortogonal ) a alguna superficie en el espacio, o más generalmente a lo largo de un campo vectorial normal ortogonal a alguna hipersuperficie . Véase, por ejemplo, la condición de contorno de Neumann . Si la dirección normal se denota por, entonces la derivada direccional de una función f a veces se denota como. En otras notaciones,
En la mecánica continua de sólidos
Varios resultados importantes en la mecánica del continuo requieren las derivadas de vectores con respecto a vectores y de tensores con respecto a vectores y tensores. [13] La directiva direccional proporciona una forma sistemática de encontrar estas derivadas.
Las definiciones de derivadas direccionales para diversas situaciones se dan a continuación. Se supone que las funciones son lo suficientemente suaves como para poder tomar derivadas.
Derivadas de funciones de vectores con valores escalares
Dejar ser una función de valor real del vector . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección Se define como
para todos los vectores .
Propiedades:
- Si luego
- Si luego
- Si luego
Derivadas de funciones vectoriales de vectores
Dejar ser una función de valor vectorial del vector . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de segundo orden definido como
para todos los vectores .
Propiedades:
- Si luego
- Si luego
- Si luego
Derivadas de funciones escalares de tensores de segundo orden
Dejar ser una función de valor real del tensor de segundo orden . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de segundo orden definido como
para todos los tensores de segundo orden .
Propiedades:
- Si luego
- Si luego
- Si luego
Derivadas de funciones con valor tensorial de tensores de segundo orden
Dejar ser una función tensorial de segundo orden del tensor de segundo orden . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de cuarto orden definido como
para todos los tensores de segundo orden .
Propiedades:
- Si luego
- Si luego
- Si luego
- Si luego
Ver también
- Derivado de Fréchet
- Derivado de gateaux
- Derivado de Hadamard
- Derivado (generalizaciones)
- Derivada de la mentira
- Forma diferencial
- Tensor de estructura
- Derivada del tensor (mecánica del continuo)
- Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
Notas
- ^ R. Wrede; MR Spiegel (2010). Cálculo avanzado (3ª ed.). Serie de esquemas de Schaum. ISBN 978-0-07-162366-7.
- ^ La aplicabilidad se extiende a funciones sobre espacios sin métrica y a variedades diferenciables , como en la relatividad general .
- ^ Si el producto escalar no está definido, el degradado también lo es; sin embargo, para f diferenciable, la derivada direccional todavía está definida y existe una relación similar con la derivada exterior.
- ^ Thomas, George B. Jr .; y Finney, Ross L. (1979) Cálculo y geometría analítica , Addison-Wesley Publ. Co., quinta edición, pág. 593.
- ^ Esto normalmente supone un espacio euclidiano ; por ejemplo, una función de varias variables normalmente no tiene una definición de la magnitud de un vector y, por tanto, de un vector unitario.
- ^ Hughes-Hallet, Deborah; McCallum, William G .; Gleason, Andrew M. (1 de enero de 2012). Cálculo: Único y multivariable . John wiley. pag. 780. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .
- ^ Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 341. ISBN 9780691145587.
- ^ Weinberg, Steven (1999). La teoría cuántica de campos (reimpreso (con corr.). Ed.). Cambridge [ua]: Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 9780521550017.
- ^ Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691145587.
- ^ México, Kevin Cahill, Universidad de New (2013). Matemáticas físicas (Repr. Ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.
- ^ Edwards, Ron Larson, Robert, Bruce H. (2010). Cálculo de una sola variable (9ª ed.). Belmont: Brooks / Cole. ISBN 9780547209982.
- ^ Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Nueva York: Kluwer Academic / Plenum. pag. 318. ISBN 9780306447907.
- ^ JE Marsden y TJR Hughes, 2000, Fundamentos matemáticos de la elasticidad , Dover.
Referencias
- Hildebrand, FB (1976). Cálculo avanzado para aplicaciones . Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9.
- KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
- Shapiro, A. (1990). "Sobre conceptos de diferenciabilidad direccional". Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 66 (3): 477–487. doi : 10.1007 / BF00940933 .
enlaces externos
Medios relacionados con la derivada direccional en Wikimedia Commons
- Derivadas direccionales en MathWorld .
- Derivada direccional en PlanetMath .