En álgebra abstracta , un subgrupo normal (también conocido como subgrupo invariante o subgrupo autoconjugado ) [1] es un subgrupo que es invariante bajo la conjugación de los miembros del grupo del que forma parte. En otras palabras, un subgrupo N del grupo G es normal en G si y sólo si GNG -1 ∈ N para todos g ∈ G y n ∈ N . La notación habitual para esta relación es.
Los subgrupos normales son importantes porque ellos (y solo ellos) pueden usarse para construir grupos de cocientes del grupo dado. Además, los subgrupos normales de G son precisamente los núcleos de homomorfismos de grupo con dominio G , lo que significa que pueden usarse para clasificar internamente esos homomorfismos.
Évariste Galois fue el primero en darse cuenta de la importancia de la existencia de subgrupos normales. [2]
Definiciones
Un subgrupo N de un grupo G se denomina subgrupo normal de G si es invariante bajo conjugación ; es decir, la conjugación de un elemento de N por un elemento de G está siempre en N . [3] La notación habitual para esta relación es.
Condiciones equivalentes
Para cualquier subgrupo N de G , las siguientes condiciones son equivalentes a N ser un subgrupo normal de G . Por tanto, cualquiera de ellos puede tomarse como definición:
- La imagen de la conjugación de N por cualquier elemento de G es un subconjunto de N . [4]
- La imagen de la conjugación de N por cualquier elemento de G es igual a N . [4]
- Para todo g en G , las clases laterales izquierda y derecha gN y Ng son iguales. [4]
- Los conjuntos de clases laterales izquierda y derecha de N en G coinciden. [4]
- El producto de un elemento de la clase lateral izquierda de N respecto a gy un elemento de la clase lateral izquierda de N respecto a h es un elemento de la clase lateral izquierda de N respecto a gh : ∀ x , y , g , h ∈ G , si x ∈ gN y y ∈ hN entonces xy ∈ ( gh ) N .
- N es una unión de clases de conjugación de G . [2]
- N se conserva por los automorfismos interiores de G . [5]
- Hay una cierta grupo homomorfismo G → H cuyo núcleo es N . [2]
- Para todos y , el conmutador está en N . [ cita requerida ]
- Cualquiera de los dos elementos conmutan con respecto a la relación normal de miembros del subgrupo: ∀ g , h ∈ G , gh ∈ N ⇔ hg ∈ N . [ cita requerida ]
Ejemplos de
Para cualquier grupo G , el subgrupo trivial { e } que consiste en sólo el elemento identidad de G es siempre un subgrupo normal de G . Del mismo modo, G en sí es siempre un subgrupo normal de G . (Si estos son los únicos subgrupos normales, entonces se dice que G es simple ). [6] Otros subgrupos normales nombrados de un grupo arbitrario incluyen el centro del grupo (el conjunto de elementos que conmuta con todos los demás elementos) y el conmutador subgrupo . [7] [8] De manera más general, dado que la conjugación es un isomorfismo, cualquier subgrupo característico es un subgrupo normal. [9]
Si G es un grupo abeliano, entonces cada subgrupo N de G es normal, porqueUn grupo que no es abeliano pero para el que todos los subgrupos son normales se denomina grupo hamiltoniano . [10]
Un ejemplo concreto de un subgrupo normal es el subgrupo del grupo simétrico , que consta de la identidad y ambos tres ciclos. En particular, se puede comprobar que todas las clases laterales de es igual a sí mismo o es igual a . Por otro lado, el subgrupo no es normal en desde . [11]
En el grupo del Cubo de Rubik , los subgrupos que consisten en operaciones que solo afectan las orientaciones de las piezas de esquina o de las piezas de borde son normales. [12]
El grupo de traducción es un subgrupo normal del grupo euclidiano en cualquier dimensión. [13] Esto significa: aplicar una transformación rígida, seguida de una traslación y luego la transformación rígida inversa, tiene el mismo efecto que una sola traslación. Por el contrario, el subgrupo de todas las rotaciones sobre el origen no es un subgrupo normal del grupo euclidiano, siempre que la dimensión sea al menos 2: primero traducir, luego rotar sobre el origen y luego traducir hacia atrás normalmente no arreglará el origen y por lo tanto no tendrá el mismo efecto que una sola rotación sobre el origen.
Propiedades
- Si H es un subgrupo normal de G , y K es un subgrupo de G que contiene H , entonces H es un subgrupo normal de K . [14]
- Un subgrupo normal de un subgrupo normal de un grupo no necesita ser normal en el grupo. Es decir, la normalidad no es una relación transitiva . El grupo más pequeño que exhibe este fenómeno es el grupo diedro de orden 8. [15] Sin embargo, un subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. [16] el grupo A en el que la normalidad es transitivo se llama un grupo-T . [17]
- Los dos grupos G y H son subgrupos normales de su producto directo G × H .
- Si el grupo G es un producto semidirecto entonces N es normal en G , aunque H no necesita ser normales en G .
- La normalidad se conserva bajo homomorfismos suprayectivos, [18] es decir, si G → H es un homomorfismo grupo sobreyectiva y N es normal en G , entonces la imagen f ( N ) es normal en H .
- La normalidad se conserva tomando inversa imágenes , [18] es decir, si G → H es un homomorfismo de grupo y N es normal en H , a continuación, la imagen inversa f -1 ( N ) es normal en G .
- Se conserva la normalidad al tomar productos directos , [19] es decir, si y , luego .
- Cada subgrupo del índice 2 es normal. Más generalmente, un subgrupo, H , de índice finito, n , en G contiene un subgrupo, K , normal en G y de índice que divide n ! llamado núcleo normal . En particular, si p es el número primo más pequeño que divide el orden de G , entonces cada subgrupo del índice p es normal. [20]
- El hecho de que los subgrupos normales de G sean precisamente los núcleos de los homomorfismos de grupo definidos en G explica parte de la importancia de los subgrupos normales; son una forma de clasificar internamente todos los homomorfismos definidos en un grupo. Por ejemplo, un grupo finito sin identidad es simple si y solo si es isomórfico a todas sus imágenes homomórficas sin identidad, [21] un grupo finito es perfecto si y solo si no tiene subgrupos normales de índice primo , y un grupo es imperfecto si y solo si el subgrupo derivado no se complementa con ningún subgrupo normal adecuado.
Celosía de subgrupos normales
Dados dos subgrupos normales, N y M , de G , su interseccióny su producto también son subgrupos normales de G .
Los subgrupos normales de G forman una celosía bajo inclusión subconjunto con menos elemento , { e } , y mayor elemento , G . El encuentro de dos subgrupos normales, N y M , en esta red es su intersección y la unión es su producto.
La celosía es completa y modular . [19]
Subgrupos normales, grupos cocientes y homomorfismos
Si N es un subgrupo normal, podemos definir una multiplicación en las clases laterales de la siguiente manera:
Con esta operación, el conjunto de clases laterales es en sí mismo un grupo, llamado el grupo cociente y denotado con G / N . Hay un homomorfismo natural , f : G → G / N , dado por f ( a ) = aN . Este homomorfismo mapeaen el elemento de identidad de G / N , que es la clase lateral eN = N , [22] es decir,.
En general, un homomorfismo de grupos, f : G → H envía subgrupos de G a subgrupos de H . Además, la imagen inversa de cualquier subgrupo de H es un subgrupo de G . Llamamos a la preimagen del grupo trivial { e } en H el núcleo del homomorfismo y lo denotamos por ker ( f ) . Resulta que el núcleo siempre es normal y la imagen de G , f ( G ) , siempre es isomorfa a G / ker ( f ) (el primer teorema de isomorfismo ). [23] De hecho, esta correspondencia es una biyección entre el conjunto de todos los grupos cocientes de G , G / N y el conjunto de todas las imágenes homomórficas de G ( hasta el isomorfismo). [24] También es fácil ver que el núcleo de la hoja de cociente, f : G → G / N , es N en sí, por lo que los subgrupos normales son precisamente los núcleos de homomorfismos con dominio G . [25]
Ver también
Operaciones que llevan subgrupos a subgrupos
- Normalizador
- Cierre conjugado
- Núcleo normal
Propiedades de subgrupo complementarias (u opuestas) a la normalidad
- Subgrupo anormal
- Subgrupo contranormal
- Subgrupo anormal
- Subgrupo autonormalizado
Propiedades de subgrupo más fuertes que la normalidad
- Subgrupo característico
- Subgrupo completamente característico
Propiedades del subgrupo más débiles de lo normal
- Subgrupo subnormal
- Subgrupo ascendente
- Subgrupo descendiente
- Subgrupo cuasinormal
- Subgrupo seminormal
- Subgrupo permutable conjugado
- Subgrupo modular
- Subgrupo pronormal
- Subgrupo paranormal
- Subgrupo polinormal
- Subgrupo C-normal
Nociones relacionadas en álgebra
- Ideal (teoría del anillo)
Notas
- ^ Bradley 2010 , p. 12.
- ↑ a b c Cantrell , 2000 , p. 160.
- ^ Dummit y Foote 2004 .
- ↑ a b c d Hungerford , 2003 , p. 41.
- ^ Fraleigh 2003 , p. 141.
- ^ Robinson 1996 , p. dieciséis.
- ^ Hungerford , 2003 , p. 45.
- ↑ Hall 1999 , p. 138.
- ↑ Hall 1999 , p. 32.
- ↑ Hall 1999 , p. 190.
- ^ Judson 2020 , sección 10.1.
- ^ Bergvall y col. 2010 , pág. 96.
- ^ Thurston 1997 , p. 218.
- ^ Hungerford , 2003 , p. 42.
- ^ Robinson 1996 , p. 17.
- ^ Robinson 1996 , p. 28.
- ^ Robinson 1996 , p. 402.
- ↑ a b Hall , 1999 , p. 29.
- ↑ a b Hungerford , 2003 , p. 46.
- ^ Robinson 1996 , p. 36.
- ^ Dõmõsi y Nehaniv 2004 , p. 7.
- ^ Hungerford 2003 , págs. 42–43.
- ^ Hungerford , 2003 , p. 44.
- ^ Robinson 1996 , p. 20.
- ↑ Hall 1999 , p. 27.
Referencias
- Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 de mayo de 2010). "En el cubo de Rubik" (PDF) . KTH . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Cantrell, CD (2000). Métodos matemáticos modernos para físicos e ingenieros . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-59180-5.
- Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Teoría algebraica de las redes de autómatas . Monografías SIAM sobre Matemática Discreta y Aplicaciones. SIAM.
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-43334-9.
- Fraleigh, John B. (2003). Un primer curso de álgebra abstracta (7ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
- Hall, Marshall (1999). La teoría de los grupos . Providencia: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
- Hungerford, Thomas (2003). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. Saltador.
- Judson, Thomas W. (2020). Álgebra abstracta: teoría y aplicaciones .
- Robinson, Derek JS (1996). Un curso de teoría de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 80 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001 .
- Thurston, William (1997). Levy, Silvio (ed.). Geometría y topología tridimensionales, vol. 1 . Serie matemática de Princeton. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-08304-9.
- Bradley, CJ (2010). La teoría matemática de la simetría en sólidos: teoría de la representación para grupos puntuales y grupos espaciales . Oxford Nueva York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300 .
Otras lecturas
- EN Herstein , Temas de álgebra. Segunda edicion. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ontario, 1975. xi + 388 págs.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "subgrupo normal" . MathWorld .
- Subgrupo normal en la Enciclopedia de matemáticas de Springer
- Robert Ash: Fundamentos de grupo en álgebra abstracta. El año de posgrado básico
- Timothy Gowers, subgrupos normales y grupos de cocientes
- John Baez, ¿Qué es un subgrupo normal?