Teorema de Hurwitz (álgebras de composición)

En matemáticas , el teorema de Hurwitz es un teorema de Adolf Hurwitz (1859-1919), publicado póstumamente en 1923, que resuelve el problema de Hurwitz para álgebras no asociativas reales unitales de dimensión finita dotadas de una forma cuadrática definida positiva . El teorema establece que si la forma cuadrática define un homomorfismo en los números reales positivos en la parte distinta de cero del álgebra, entonces el álgebra debe ser isomorfa a los números reales , los números complejos , los cuaterniones o el octoniones . Tales álgebras, a veces llamadas álgebras de Hurwitz , son ejemplos de álgebras de composición .

La teoría de las álgebras de composición se ha generalizado posteriormente a formas cuadráticas arbitrarias y campos arbitrarios . ^[1] El teorema de Hurwitz implica que las fórmulas multiplicativas para sumas de cuadrados solo pueden ocurrir en 1, 2, 4 y 8 dimensiones, un resultado originalmente probado por Hurwitz en 1898. Es un caso especial del problema de Hurwitz , resuelto también en Radon ( 1922) . Eckmann (1943) ha dado pruebas posteriores de las restricciones sobre la dimensión utilizando la teoría de la representación de grupos finitos y por Lee (1948) y Chevalley (1954) utilizando álgebras de Clifford . El teorema de Hurwitz se ha aplicado entopología algebraica a problemas sobre campos vectoriales en esferas y los grupos de homotopía de los grupos clásicos ^[2] y en mecánica cuántica a la clasificación de álgebras simples de Jordan . ^[3]

Álgebras euclidianas de Hurwitz

Definición

Un álgebra de Hurwitz o álgebra de composición es un álgebra $A de$ dimensión finita no necesariamente asociativa con identidad dotada de una forma cuadrática no degenerada $q$ tal que $q (a b) = q (a) q (b)$ . Si el campo coeficiente subyacente es los reales y $q$ es-definida positiva, de modo que $(a, b) = 1 / 2 [q (un + b) - q (a) - q (b)]$ es un producto interno , entonces $A$ se llama álgebra euclidiana de Hurwitz o álgebra de división normalizada (de dimensión finita) . ^[4]

Si $A$ es un álgebra euclidiana de Hurwitz y $a$ está en $A$ , defina la involución y los operadores de multiplicación derecho e izquierdo por

{\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {*} = - a + 2 (a, 1) 1, \, \, \, L (a) b = ab, \, \, \, R (a) b = ba .}}

Evidentemente, la involución tiene un período dos y conserva el producto interno y la norma. Estos operadores tienen las siguientes propiedades:

la involución es un antiautomorfismo, es decir $(a b) * = b * a *$
$a a * = ‖ a ‖ 2 1 = a * a$
$L (a *) = L (a) *$ , $R (a *) = R (a) *$ , de modo que la involución en el álgebra corresponde a tomar adjuntos
$Re (a b) = Re (b a)$ si $Re x = (x + x *) / 2 = (x, 1) 1$
$Re (a b) c = Re a (b c)$
$L (a 2) = L (a) 2$ , $R (a 2) = R (a) 2$ , de modo que $A$ es un álgebra alternativa .

Estas propiedades se prueban a partir de la versión polarizada de la identidad $(a b, a b) = (a, a) (b, b)$ :

{\ Displaystyle \ Displaystyle {2 (a, b) (c, d) = (ac, bd) + (ad, bc).}}

Establecer $b = 1$ o $d = 1$ produce $L (a *) = L (a) *$ y $R (c *) = R (c) *$ .

Por tanto, $Re (a b) = (a b, 1) 1 = (a, b *) 1 = (b a, 1) 1 = Re (b a)$ .

De manera similar $Re (a b) c = ((a b) c, 1) 1 = (a b, c *) 1 = (b, a * c *) 1 = (bc, a *) 1 = (a (bc), 1 ) 1 = Re a (b c)$ .

Por lo tanto $((ab) *, c) = (ab, c *) = (b, a * c *) = (1, b * (a * c *)) = (1, (b * a *) c * ) = (b * a *, c)$ , de modo que $(ab) * = b * a *$ .

Por la identidad polarizada $‖ a ‖ 2 (c, d) = (a c, a d) = (a * a c, d)$ entonces $L (a *) L (a) = ‖ a ‖ 2$ . Si se aplica a 1, se obtiene $a * a = ‖ a ‖ 2$ . Reemplazar $a$ por $a *$ da la otra identidad.

Sustituyendo la fórmula por $a *$ en $L (a *) L (a) = L (a * a)$ da $L (a) 2 = L (a 2)$ .

Clasificación

Es rutinario comprobar que los números reales $R$ , los números complejos $C$ y los cuaterniones $H$ son ejemplos de álgebras asociativas euclidianas de Hurwitz con sus normas e involuciones estándar. Hay además inclusiones naturales $R \subset C \subset H$ .

El análisis de tal inclusión conduce a la construcción Cayley-Dickson , formalizada por AA Albert . Sea $A$ un álgebra euclidiana de Hurwitz y $B$ una subálgebra unital adecuada, por lo tanto, un álgebra euclidiana de Hurwitz por derecho propio. Elija una unidad de vector $j$ en $A$ ortogonal a $B$ . Como $(j, 1) = 0$ , se sigue que $j * = - j$ y, por tanto, $j 2 = -1$ . Sea $C$ subálgebra generada por $B$ y $j$ . Es unital y nuevamente es un álgebra euclidiana de Hurwitz. Cumple las siguientes leyes de multiplicación de Cayley-Dickson :

\displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}

$B$ y $B j$ son ortogonales, ya que $j$ es ortogonal a $B$ . Si $a$ está en $B$ , entonces $j a = a * j$ , ya que por ortogonal $0 = 2 (j, a *) = j a - a * j$ . La fórmula de la involución es la siguiente. Para mostrar que $B \oplus B j$ es cerrado bajo la multiplicación $Bj = j B$ . Dado que $B j$ es ortogonal a 1, $(b j) * = - b j$ .

$b (c j) = (c b) j$ ya que $(b, j) = 0 de$ modo que, para $x$ en $A$ , $(b (c j), x) = (b (j x), j (c j)) = - (b (jx), c *) = - (do segundo, (j x) *) = - ((do segundo) j, x *) = ((do segundo) j, x)$ .
$(j c) b = j (b c)$ tomando los adjuntos de arriba.
$(b j) (c j) = - c * b$ ya que $(b, c j)$ = 0, de modo que, para $x$ en $A$ , $((b j) (c j), x) = - ((c j) x *, b j) = (segundo x *, (do j) j) = - (c * segundo, x)$ .

La imposición de la multiplicatividad de la norma en $C$ para $a + b j$ y $c + d j$ da:

\displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}

lo que lleva a

\displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}

Por tanto, $d (a c) = (d a) c$ , de modo que $B$ debe ser asociativo .

Este análisis se aplica a la inclusión de $R$ en $C$ y $C$ en $H$ . Si se toma $O = H \oplus H$ con el producto y el producto interno anteriores, se obtiene un álgebra no asociativa no conmutativa generada por $J = (0, 1)$ . Esto recupera la definición habitual de los octoniones o números de Cayley . Si $A$ es un álgebra de Euclides, debe contener $R$ . Si es estrictamente mayor que $R$ , el argumento anterior muestra que contiene $C$ . Si es mayor que $C$ , contiene $H$ . Si es mayor aún, debe contener $O$ . Pero ahí el proceso debe detenerse, porque $O$ no es asociativo. De hecho $H$ no es conmutativa y $una (b j) = (b a) j \neq (a b) j$ en $O$ . ^[5]

Teorema. Las únicas álgebras euclidianas de Hurwitz son los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones.

Otras pruebas

Las demostraciones de Lee (1948) y Chevalley (1954) usan álgebras de Clifford para mostrar que la dimensión $N$ de $A$ debe ser 1, 2, 4 u 8. De hecho, los operadores $L (a)$ con $(a, 1) = 0$ satisfacen $L (a) 2 = -‖ a ‖ 2$ y así formar un álgebra de Clifford real. Si $una$ es un vector unitario, entonces $L (un)$ es skew-adjoint con el cuadrado $- I$ . Entonces $N$ debe serpar o 1 (en cuyo caso $A$ no contiene vectores unitarios ortogonales a 1). El álgebra de Clifford real y su complexificación actúan sobre la complexificación de $A$ , un espacio complejo $N$ -dimensional. Si $N$ es par, $N - 1$ es impar, por lo que el álgebra de Clifford tiene exactamente dos representaciones complejas irreducibles de dimensión $2 N / 2 - 1$ . Así que esta potencia de 2 debe dividir $N$ . Es fácil ver que esto implica que $N$ solo puede ser 1, 2, 4 u 8.

La demostración de Eckmann (1954) utiliza la teoría de representación de grupos finitos, o la teoría de representación proyectiva de 2 grupos abelianos elementales, conocida por ser equivalente a la teoría de representación de álgebras de Clifford reales. De hecho, tomar una base ortonormal $e$ $i$ del complemento ortogonal de 1 da lugar a operadores $U$ $i$ $=$ $L$ $($ $e$ $i$ $) que$ satisfacen

\displaystyle {U_{i}^{2}=-I,\,\,\,U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}

Ésta es una representación proyectiva de un producto directo de $N - 1$ grupos de orden 2. ( Se supone que $N$ es mayor que 1.) Los operadores $U i$ por construcción son asimétricos y ortogonales. De hecho, Eckmann construyó operadores de este tipo de una manera ligeramente diferente pero equivalente. De hecho, es el método que se siguió originalmente en Hurwitz (1923) . ^[6] Suponga que existe una ley de composición para dos formas.

\displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}

donde $z i$ es bilineal en $x$ y $y$ . Por lo tanto

\displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}

donde la matriz $T (x) = (a ij)$ es lineal en $x$ . Las relaciones anteriores son equivalentes a

\displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}

Escribiendo

\displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}

las relaciones se vuelven

\displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}

Ahora establezca $V i = (T N) t T i$ . Por lo tanto, $V N = I$ y $V 1, ..., V N - 1$ son adjuntos oblicuos, ortogonales que satisfacen exactamente las mismas relaciones que las $U i$ :

\displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\,\,\,V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}

Dado que $V i$ es una matriz ortogonal con cuadrado $- I$ en un espacio vectorial real, $N$ es par.

Sea $G$ el grupo finito generado por elementos $v i$ tales que

\displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\,\,\,v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}

donde $ε$ es central de orden 2. El subgrupo del conmutador $[G, G]$ está formado por 1 y $ε$ . Si $N$ es impar, esto coincide con el centro, mientras que si $N$ es par, el centro tiene orden 4 con elementos adicionales $γ = v 1 ... v N - 1$ y $ε γ$ . Si $g$ en $G$ no está en el centro de su clase de conjugación es exactamente $g$ y $ε g$ . Por tanto, hay $2$ clases de conjugación $N$ $- 1$ $+ 1$ para $N$ impar y $2 N - 1 + 2$ para $N$ par. $G$ tiene $| G / [G, G] | = 2 N - 1$ representaciones complejas unidimensionales. El número total de representaciones complejas irreducibles es el número de clases de conjugación. Entonces, dado que $N$ es par, hay otras dos representaciones complejas irreducibles. Dado que la suma de los cuadrados de las dimensiones es igual a $| G |$ y las dimensiones se dividen $| G |$ , los dos irreducibles deben tener dimensión $2 (N - 2) / 2$ . Cuando $N$ es par, hay dos y su dimensión debe dividir el orden del grupo, por lo que es una potencia de dos, por lo que ambos deben tener dimensión $2 (N - 2) / 2$ . El espacio en el que el $V i$ puede ser complejizado 's acto. Tendrá una dimensión $N$ compleja. Se divide en algunas representaciones complejas e irreducibles de $G$ , todas con dimensión $2 (N - 2) / 2$ . En particular, esta dimensión es $\leq N$ , por lo que $N$ es menor o igual que 8. Si $N = 6$ , la dimensión es 4, que no divide 6. EntoncesN solo puede ser 1, 2, 4 u 8.

Aplicaciones a las álgebras de Jordania

Deje que $A$ sea un álgebra euclidiana Hurwitz y dejar que $M n (A)$ sea el álgebra de $n$ -by- $n$ matrices más de $A$ . Es un álgebra unital no asociativa con una involución dada por

\displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}

La traza $Tr (X)$ se define como la suma de los elementos diagonales de $X$ y la traza de valor real por $Tr R (X) = Re Tr (X)$ . La traza de valor real satisface:

\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).

Estas son consecuencias inmediatas de las identidades conocidas para $n = 1$ .

En $A$ defina el asociador por

\displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}

Es trilineal y desaparece de forma idéntica si $A$ es asociativo. Dado que $A$ es un álgebra alternativa $[a, a, b] = 0$ y $[b, a, a] = 0$ . Polarizando se deduce que el asociador es antisimétrico en sus tres entradas. Además, si $a$ , $b$ o $c se$ encuentran en $R,$ entonces $[a, b, c] = 0$ . Estos hechos implican que $M 3 (A)$ tiene ciertas propiedades de conmutación. De hecho, si $X$ es una matriz en $M 3 (A)$ con entradas reales en la diagonal, entonces

\displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}

con $una$ en $una$ . De hecho, si $Y = [X, X 2]$ , entonces

\displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}

Dado que las entradas diagonales de $X$ son reales, las entradas fuera de la diagonal de $Y$ desaparecen. Cada entrada diagonal de $Y$ es una suma de dos associators que sólo afecten off términos diagonales de $X$ . Dado que los asociadores son invariantes bajo permutaciones cíclicas, las entradas diagonales de $Y$ son todas iguales.

Deje $H n (A)$ ser el espacio de elementos autoadjuntos en $M n (A)$ con el producto $X \circ Y = 1 / 2 (X Y + Y X)$ y el producto interior $(X, Y) = Tr R (X Y)$ .

Teorema. $H n (A)$ es un álgebra de Jordan euclidiana si $A$ es asociativo (los números reales, números complejos o cuaterniones) $yn \geq 3$ o si $A$ no es asociativo (los octoniones) y $n = 3$ .

El álgebra de Jordan excepcional $H 3 (O)$ se llama álgebra de Albert en honor a AA Albert .

Para comprobar que $H n (A)$ satisface los axiomas de un álgebra de Jordan euclidiana, la traza real define una forma bilineal simétrica con $(X, X) = \sum ‖ x ij ‖ 2$ . Entonces es un producto interno. Satisface la propiedad de asociatividad $(Z \circ X, Y) = (X, Z \circ Y)$ debido a las propiedades de la traza real. El axioma principal a verificar es la condición de Jordan para los operadores $L (X)$ definida por $L (X) Y = X \circ Y$ :

\displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}

Esto es fácil de comprobar cuando $A$ es asociativa, ya que $M n (A)$ es un álgebra asociativa así un álgebra de Jordan con $X \circ Y = 1 / 2 (X Y + Y X)$ . Cuando $A = O$ y $n = 3$ se requiere un argumento especial, uno del ser más corto debido a Freudenthal (1951) . ^[7]

De hecho, si $T$ está en $H 3 (O)$ con $Tr T = 0$ , entonces

\displaystyle {D(X)=TX-XT}

define una derivación sesgada-adjunta de $H 3 (O)$ . Por supuesto,

\operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,

así que eso

(D(X),X^{2})=0.

Rendimientos polarizantes:

(D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.

Al establecer $Z = 1$ , se muestra que $D$ es adjunto sesgado. La propiedad de derivación $D (X \circ Y) = D (X) \circ Y + X \circ D (Y)$ sigue esto y la propiedad de asociatividad del producto interno en la identidad anterior.

Con $A$ y $n$ como en el enunciado del teorema, sea $K$ el grupo de automorfismos de $E = H n (A)$ dejando invariante el producto interno. Es un subgrupo cerrado de $O (E)$ por lo que es un grupo de Lie compacto. Su álgebra de Lie consiste en derivaciones adjuntas sesgadas. Freudenthal (1951) demostró que dado $X$ en $E$ hay un automorfismo $k$ en $K$ tal que $k (X)$ es una matriz diagonal. (Por autoadjunción, las entradas diagonales serán reales.) El teorema de diagonalización de Freudenthal implica inmediatamente la condición de Jordan, ya que los productos de Jordan por matrices diagonales reales conmutan en $M n (A)$ para cualquier álgebra $A$ no asociativa .

Para demostrar el teorema de diagonalización, tomar $X$ en $E$ . Por compacidad $k$ puede elegirse en $K$ minimizando las sumas de los cuadrados de las normas de los términos fuera de la diagonal de $k (X)$ . Dado que $K$ conserva las sumas de todos los cuadrados, esto equivale a maximizar las sumas de los cuadrados de las normas de los términos diagonales de $k (X)$ . Sustitución de $X$ por $k X$ , se puede suponer que el máximo se alcanza a $X$ . Dado que el grupo simétrico $S n$ , actuando permutando las coordenadas, se encuentra en $K$ , si $X$ no es diagonal, se puede suponer que $x 12$ y su adjunto $x 21$ son distintos de cero. Deje que $T$ sea la matriz antisimétrica adjunto con $(2, 1)$ entrada de $una$ , $(1, 2)$ de entrada $- un *$ y 0 en otro lugar y dejar que $D$ sea la derivación ad $T$ de $E$ . Deje $k t = exp tD$ en $K$ . Entonces solo las dos primeras entradas diagonales en $X (t) = k t X$ difieren de los de $X$ . Las entradas diagonales son reales. La derivada de $x 11 (t)$ en $t = 0$ es lacoordenada $(1, 1)$ de $[T, X]$ , es decir, $a * x 21 + x 12 a = 2 (x 21, a)$ . Esta derivada es distinta de cero si $a = x 21$ . Por otro lado, el grupo $k t$ conserva el rastro de valor real. Dado que solo puede cambiar $x 11$ y $x 22$ , conserva su suma. Sin embargo, en la línea $x + y =$ constante, $x 2 + y 2$ no tiene un máximo local (solo un mínimo global), una contradicción. Por tanto, $X$ debe ser diagonal.

Ver también

Forma cuadrática multiplicativa
Número de radón-Hurwitz

Notas

^
Ver:
- Lam 2005
- Rajwade 1993
- Shapiro 2000
^
Ver:
- Eckmann 1989
- Eckmann 1999
^ Jordan, von Neumann y Wigner 1934
^ Faraut y Koranyi 1994 , p. 82
^ Faraut y Koranyi 1994 , págs. 81–86
^
Ver:
- Hurwitz , 1923 , pág. 11
- Herstein 1968 , págs. 141-144
^
Ver:
- Faraut y Koranyi 1994 , págs. 88–91
- Postnikov 1986

Referencias

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Otras lecturas

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[1] Ver:
Lam 2005
Rajwade 1993
Shapiro 2000

[2] Lam 2005

[3] Rajwade 1993

[4] Shapiro 2000

[2] Ver:
Eckmann 1989
Eckmann 1999

[6] Eckmann 1989

[7] Eckmann 1999

[3] Jordan, von Neumann y Wigner 1934

[4] Faraut y Koranyi 1994 , p. 82

[5] Faraut y Koranyi 1994 , págs. 81–86

[6] Ver:
Hurwitz , 1923 , pág. 11
Herstein 1968 , págs. 141-144

[12] Hurwitz , 1923 , pág. 11

[13] Herstein 1968 , págs. 141-144

[7] Ver:
Faraut y Koranyi 1994 , págs. 88–91
Postnikov 1986

[15] Faraut y Koranyi 1994 , págs. 88–91

[16] Postnikov 1986

[1]