n º raíz

Operación aritmética

Este artículo trata sobre las raíces enésimas de números reales y complejos. Para otros usos, consulte Raíz (desambiguación) § Matemáticas .

En matemáticas , un n º raíz de un número x es un número r que, cuando se elevado a la potencia n , los rendimientos de  x :

${\displaystyle r^{n}=x,}$

donde n es un número entero positivo , a veces llamado el grado de la raíz. Una raíz de grado 2 se llama raíz cuadrada y una raíz de grado 3, raíz cúbica . Raíces de un grado más alto se denominan mediante el uso de números ordinales, como en la cuarta raíz , raíz vigésimo , etc. El cálculo de un n º raíz es una extracción de raíz .

Por ejemplo, 3 es una raíz cuadrada de 9, ya que 3 ² = 9, y −3 también es una raíz cuadrada de 9, ya que (−3) ² = 9.

Cualquier número distinto de cero considerado como un número complejo tiene n raíces n- ésimas complejas diferentes , incluidas las reales (como máximo dos). La raíz n -ésima de 0 es cero para todos los enteros positivos n , ya que 0 ⁿ = 0 . En particular, si n es par yx es un número real positivo, una de sus n- ésimas raíces es real y positiva, una es negativa y las otras (cuando n > 2 ) son números complejos no reales ; si n es par y x es un número real negativo, ninguno de losn th raíces es real. Si n es impar y x es real, uno n º raíz es real y tiene el mismo signo que x , mientras que los otros ( n - 1 ) raíces no son reales. Finalmente, si x no es real, entonces ninguna de sus n- ésimas raíces es real.

Las raíces de números reales generalmente se escriben usando el símbolo radical o la base , denotando la raíz cuadrada positiva de x si x es positivo; para raíces superiores, denota la raíz n- ésima real si n es impar, y la raíz n- ésima positiva si n es par y x es positiva. En los otros casos, el símbolo no se usa comúnmente por ser ambiguo. En la expresión , el número entero n se llama índice y x se llama radicando . ${\displaystyle {\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Cuando se consideran raíces n- ésimas complejas , a menudo es útil elegir una de las raíces como valor principal . La opción común es la que hace que la raíz n sea una función continua que es real y positiva para x real y positiva. Más precisamente, la raíz n- ésima principal de x es la raíz n -ésima, con la mayor parte real y, cuando hay dos (para x real y negativa), la que tiene una parte imaginaria positiva .

Una dificultad con esta elección es que, para un número real negativo y un índice impar, la raíz n- ésima principal no es la real. Por ejemplo, tiene tres raíces cúbicas, , y la raíz cúbica real es y la raíz cúbica principal es${\displaystyle -8}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}.}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}$

Una raíz no resuelta, especialmente una que usa el símbolo de radical, a veces se denomina surd ^[1] o radical . ^[2] Cualquier expresión que contenga un radical, ya sea una raíz cuadrada, una raíz cúbica o una raíz superior, se llama expresión radical , y si no contiene funciones trascendentales o números trascendentales , se llama expresión algebraica .

Las raíces también se pueden definir como casos especiales de exponenciación , donde el exponente es una fracción :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$

Las raíces se utilizan para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias con la prueba de la raíz . Las raíces n -ésimas de 1 se denominan raíces de unidad y desempeñan un papel fundamental en diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de ecuaciones y la transformada de Fourier .

Historia

Artículos principales: Raíz cuadrada § Historia y Raíz cúbica § Historia

Un término arcaico para la operación de echar raíces n es radicación . ^{[3] [4]}

Definición y notación

Las cuatro 4tas raíces de -1,
ninguna de las cuales es real

Las tres terceras raíces de −1,
una de las cuales es un real negativo

Una raíz n -ésima de un número x , donde n es un entero positivo, es cualquiera de los n números reales o complejos r cuya n- ésima potencia es x :

${\displaystyle r^{n}=x.}$

Todo número real positivo x tiene una única raíz n- ésima positiva , llamada raíz principal n -ésima , que se escribe . Para n igual a 2, esto se llama raíz cuadrada principal y se omite la n . La raíz n -ésima también se puede representar usando exponenciación como x ^{1 / n} .${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Para valores pares de n , los números positivos también tienen una raíz n- ésima negativa, mientras que los números negativos no tienen una raíz n- ésima real . Para valores impares de n , todo número negativo x tiene una raíz n- ésima negativa real . Por ejemplo, −2 tiene una quinta raíz real, pero −2 no tiene ninguna sexta raíz real.${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

Todo número x distinto de cero , real o complejo , tiene n números complejos n- ésimas raíces diferentes. (En el caso de que x sea ​​real, este recuento incluye cualquier raíz n- ésima real ). La única raíz compleja de 0 es 0.

Las raíces n -ésimas de casi todos los números (todos los enteros excepto las potencias n- ésimas y todos los racionales excepto los cocientes de dos potencias n- ésimas) son irracionales . Por ejemplo,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$

Todas las raíces n -ésimas de números enteros son números algebraicos .

El término surd se remonta a al-Khwārizmī (c. 825), quien se refirió a los números racionales e irracionales como audibles e inaudibles , respectivamente. Esto más tarde llevó a que la palabra árabe " أصم " ( asamm , que significa "sordo" o "mudo") para número irracional se tradujera al latín como "surdus" (que significa "sordo" o "mudo"). Gerard de Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202) y luego Robert Recorde (1551) usaron el término para referirse a raíces irracionales no resueltas , es decir, expresiones de la forma en que y${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i}},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$son números enteros y la expresión completa denota un número irracional. ^[5] Los números irracionales cuadráticos , es decir, los números irracionales de la forma también se conocen como "surds cuadráticos".${\displaystyle {\sqrt {i}},}$

Raíces cuadradas

El gráfico .${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}$

Artículo principal: raíz cuadrada

Una raíz cuadrada de un número x es un número r que, cuando se eleva al cuadrado , se convierte en x :

${\displaystyle r^{2}=x.}$

Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y −5. La raíz cuadrada positiva también se conoce como raíz cuadrada principal y se denota con un signo de radical:

${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$

Dado que el cuadrado de cada número real no es negativo, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. Sin embargo, por cada número real negativo hay dos raíces cuadradas imaginarias . Por ejemplo, las raíces cuadradas de −25 son 5 i y −5 i , donde i representa un número cuyo cuadrado es −1 .

Raíces cúbicas

El gráfico .${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

Artículo principal: raíz cúbica

Una raíz cúbica de un número x es un número r cuyo cubo es x :

${\displaystyle r^{3}=x.}$

Cada número real x tiene exactamente una raíz cúbica real, escrita . Por ejemplo,${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$ y ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.}$

Cada número real tiene dos raíces cúbicas complejas adicionales .

Identidades y propiedades

Que expresa el grado de un n º de raíz en su forma exponencial, al igual que en , hace que sea más fácil de manipular potencias y raíces. Si es un número real no negativo ,${\displaystyle x^{1/n}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$

Cada número no negativo tiene exactamente un verdadero no negativo n º raíz, por lo que las reglas para las operaciones con irracionales que implican radicandos no negativos y son sencillos dentro de los números reales:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$

Las sutilezas pueden ocurrir al tomar las raíces n de números negativos o complejos . Por ejemplo:

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$ sino, más bien, ${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$

Dado que la regla es estrictamente válida solo para radicandos reales no negativos, su aplicación conduce a la desigualdad en el primer paso anterior.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

Forma simplificada de una expresión radical

Se dice que una expresión radical no anidada está en forma simplificada si ^[6]

1. No hay ningún factor del radicando que pueda escribirse como una potencia mayor o igual que el índice.
2. No hay fracciones bajo el signo de radical.
3. No hay radicales en el denominador.

Por ejemplo, para escribir la expresión radical en forma simplificada, podemos proceder de la siguiente manera. Primero, busque un cuadrado perfecto debajo del signo de raíz cuadrada y elimínelo:${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\times 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}}$

A continuación, hay una fracción debajo del signo de radical, que cambiamos de la siguiente manera:

${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$

Finalmente, eliminamos el radical del denominador de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$

Cuando hay un denominador que involucra surds, siempre es posible encontrar un factor por el cual multiplicar tanto el numerador como el denominador para simplificar la expresión. ^{[7] [8]} Por ejemplo, utilizando la factorización de la suma de dos cubos :

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$

Simplificar expresiones radicales que involucran radicales anidados puede ser bastante difícil. No es obvio, por ejemplo, que:

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}}$

Lo anterior se puede derivar a través de:

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$

Dejar que , con p y q primos entre sí y números enteros positivos. Entonces es racional si y solo si ambos y son números enteros, lo que significa que ambos y son n- ésimas potencias de algún número entero.${\displaystyle r=p/q}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Serie infinita

El radical o raíz puede estar representado por la serie infinita :

${\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}$

con . Esta expresión se puede derivar de la serie binomial .${\displaystyle |x|<1}$

Calcular las raíces principales

Usando el método de Newton

La raíz n -ésima de un número A se puede calcular con el método de Newton . Comience con una suposición inicial x ₀ y luego repita usando la relación de recurrencia

${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)}$

hasta alcanzar la precisión deseada.

Dependiendo de la aplicación, puede ser suficiente usar solo el primer aproximado de Newton:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.}$

Por ejemplo, para encontrar la quinta raíz de 34, tenga en cuenta que 2 ⁵ = 32 y, por lo tanto, tome x = 2, n = 5 e y = 2 en la fórmula anterior. Esto produce

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.}$

El error en la aproximación es solo del 0,03%.

El método de Newton se puede modificar para producir una fracción continua generalizada para la raíz n -ésima que se puede modificar de varias formas como se describe en ese artículo. Por ejemplo:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.}$

En el caso de la quinta raíz de 34 anterior (después de dividir los factores comunes seleccionados):

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}=2+{\cfrac {1}{40+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {6}{120+{\cfrac {9}{4+{\cfrac {11}{200+{\cfrac {14}{4+\ddots }}}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {4\cdot 1}{165-1-{\cfrac {4\cdot 6}{495-{\cfrac {9\cdot 11}{825-{\cfrac {14\cdot 16}{1155-\ddots }}}}}}}}.}$

Cálculo dígito por dígito de las raíces principales de números decimales (base 10)

Se muestra el triángulo de Pascal .${\displaystyle P(4,1)=4}$

Sobre la base del cálculo dígito por dígito de una raíz cuadrada , se puede ver que la fórmula utilizada allí , o sigue un patrón que involucra el triángulo de Pascal. Porque la raíz n -ésima de un número se define como el valor del elemento en la fila del Triángulo de Pascal de manera que podamos reescribir la expresión como . Por conveniencia, llame al resultado de esta expresión . Usando esta expresión más general, cualquier raíz principal positiva se puede calcular, dígito por dígito, de la siguiente manera.${\displaystyle x(20p+x)\leq c}$${\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}$${\displaystyle P(n,i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(4,1)=4}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$${\displaystyle y}$

Escribe el número original en forma decimal. Los números se escriben de forma similar al algoritmo de división larga y, como en la división larga, la raíz se escribirá en la línea anterior. Ahora separe los dígitos en grupos de dígitos que equivalgan a la raíz que se está tomando, comenzando desde el punto decimal y yendo tanto a la izquierda como a la derecha. El punto decimal de la raíz estará por encima del punto decimal del radicando. Un dígito de la raíz aparecerá sobre cada grupo de dígitos del número original.

Comenzando con el grupo de dígitos más a la izquierda, realice el siguiente procedimiento para cada grupo:

1. Comenzando por la izquierda, baje el grupo de dígitos más significativo (más a la izquierda) que aún no se haya usado (si se han usado todos los dígitos, escriba "0" la cantidad de veces requerida para formar un grupo) y escríbalos a la derecha del resto del paso anterior (en el primer paso, no habrá resto). En otras palabras, multiplique el resto por y agregue los dígitos del siguiente grupo. Este será el valor actual c .${\displaystyle 10^{n}}$
2. Encuentre p y x , como sigue:
   • Sea la parte de la raíz encontrada hasta ahora , ignorando cualquier punto decimal. (Para el primer paso ).${\displaystyle p}$${\displaystyle p=0}$
   • Determine el mayor dígito tal que .${\displaystyle x}$${\displaystyle y\leq c}$
   • Coloque el dígito como el siguiente dígito de la raíz, es decir, encima del grupo de dígitos que acaba de bajar. Por tanto, la siguiente p será la antigua p multiplicada por 10 más x .${\displaystyle x}$
3. Restar de para formar un nuevo resto.${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$
4. Si el resto es cero y no hay más dígitos para reducir, entonces el algoritmo ha terminado. De lo contrario, vuelva al paso 1 para otra iteración.

Ejemplos

Halla la raíz cuadrada de 152.2756.

  1 2. 3 4   / \ / 01 52,27 56

 01 10 0 · 1 · 0 0 · 1 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 1 1 ≤ 1 <10 0 · 1 · 0 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 2 1 x = 1 01 y = 10 0 · 1 · 0 0 · 1 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 1 2 = 1 + 0 = 1 00 52 10 0 · 1 · 1 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 2 1 ≤ 52 <10 0 · 1 · 1 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 3 1 x = 2 00 44 y = 10 0 · 1 · 1 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 2 1 = 4 + 40 = 44 08 27 10 0 · 1 · 12 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 3 1 ≤ 827 <10 0 · 1 · 12 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 4 1 x = 3 07 29 y = 10 0 · 1 · 12 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 3 1 = 9 + 720 = 729 98 56 10 0 · 1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 4 1 ≤ 9856 <10 0 · 1 · 123 0 · 5 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 5 1 x = 4 98 56 y = 10 0 · 1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 4 1 = 16 + 9840 = 9856 00 00 El algoritmo termina: la respuesta es 12,34

Halla la raíz cúbica de 4192 a la centésima más cercana.

  1 6. 1 2 4  3 / \ / 004 192.000 000 000

 004 10 0 · 1 · 0 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 1 2 + 10 2 · 3 · 0 2 · 1 1 ≤ 4 <10 0 · 1 · 0 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 0 2 · 2 1 x = 1 001 y = 10 0 · 1 · 0 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 12 + 10 2 · 3 · 0 2 · 1 1 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 10 0 · 1 · 1 0 · 6 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 6 2 + 10 2 · 3 · 1 2 · 6 1 ≤ 3192 <10 0 · 1 · 1 0 · 7 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 7 2 + 10 2 · 3 · 1 2 · 7 1 x = 6003096 y = 10 0 · 1 · 1 0 · 6 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 62 + 10 2 · 3 · 1 2 · 6 1 = 216 + 1,080 + 1,800 = 3,096 096 000 10 0 · 1 · 16 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 1 2 + 10 2 · 3 · 16 2 · 1 1 ≤ 96000 <10 0 · 1 · 16 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 16 2 · 2 1 x = 1077281 y = 10 0 · 1 · 16 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 12 + 10 2 · 3 · 16 2 · 1 1 = 1 + 480 + 76,800 = 77,281 018719 000 10 0 · 1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 161 2 · 2 1 ≤ 18719000 <10 0 · 1 · 161 0 · 3 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 3 2 + 10 2 · 3 · 161 2 · 3 1 x = 2015571928 y = 10 0 · 1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 22 + 10 2 · 3 · 161 2 · 2 1 = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928 003 147 072 000 10 0 · 1 · 1612 0 · 4 3 + 10 1 · 3 · 1612 1 · 4 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 4 1 ≤ 3147072000 <10 0 · 1 · 1612 0 · 5 3 + 10 1 · 3 · 1612 1 · 5 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 5 1 x = 4 Se logra la precisión deseada: La raíz cúbica de 4192 es aproximadamente 16,12

Cálculo logarítmico

La raíz n- ésima principal de un número positivo se puede calcular usando logaritmos . Partiendo de la ecuación que define r como una raíz n -ésima de x , es decir, con x positivo y por lo tanto su raíz principal r también positiva, se toman logaritmos de ambos lados (cualquier base del logaritmo servirá) para obtener${\displaystyle r^{n}=x,}$

${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$

La raíz r se recupera de esto tomando el antilog :

${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$

(Nota: esa fórmula muestra b elevado a la potencia del resultado de la división, no b multiplicado por el resultado de la división).

Para el caso en el que x es negativo y n es impar, hay una raíz real r que también es negativa. Esto se puede encontrar multiplicando primero ambos lados de la ecuación definitoria por −1 para obtener y luego proceder como antes para encontrar | r |, y usando r = - | r | .${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

Constructibilidad geométrica

Los matemáticos griegos antiguos sabían cómo usar el compás y la regla para construir una longitud igual a la raíz cuadrada de una longitud dada, cuando se da una línea auxiliar de longitud unitaria. En 1837, Pierre Wantzel demostró que no se puede construir una raíz n -ésima de una longitud dada si n no es una potencia de 2. ^[9]

Raíces complejas

Todo número complejo que no sea 0 tiene n raíces n- ésimas diferentes .

Raíces cuadradas

Las raíces cuadradas de i

Las dos raíces cuadradas de un número complejo son siempre negativas entre sí. Por ejemplo, las raíces cuadradas de −4 son 2 i y −2 i , y las raíces cuadradas de i son

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$

Si expresamos un número complejo en forma polar, entonces la raíz cuadrada se puede obtener tomando la raíz cuadrada del radio y dividiendo el ángulo por la mitad:

${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$

Una raíz principal de un número complejo se puede elegir de varias formas, por ejemplo

${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$

que introduce un corte de rama en el plano complejo a lo largo del eje real positivo con la condición 0 ≤  θ  <2 π , oa lo largo del eje real negativo con - π  <  θ  ≤  π .

Usando la primera (última) rama, corte los mapas de raíz cuadrada principal al semiplano con una parte imaginaria (real) no negativa. El último corte de rama se presupone en software matemático como Matlab o Scilab .${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \scriptstyle z}$

Raíces de unidad

Las tres terceras raíces de 1

Artículo principal: Raíz de unidad

El número 1 tiene n raíces n- ésimas diferentes en el plano complejo, a saber

${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$

dónde

${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

Estas raíces están espaciadas uniformemente alrededor del círculo unitario en el plano complejo, en ángulos que son múltiplos de . Por ejemplo, las raíces cuadradas de la unidad son 1 y −1, y las cuartas raíces de la unidad son 1 ,, −1 y .${\displaystyle 2\pi /n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$

n th raíces

Representación geométrica de la segunda a la sexta raíces de un número complejo z , en forma polar re ^iφ  donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Cada número complejo tiene n raíces n- ésimas diferentes en el plano complejo. Estos son

${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$

donde η es una raíz n- ésima única , y 1,  ω ,  ω ² , ...  ω ^{n −1} son las raíces n -ésimas de la unidad. Por ejemplo, las cuatro cuartas raíces diferentes de 2 son

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$

En forma polar, una única raíz n se puede encontrar mediante la fórmula

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.}$

Aquí r es la magnitud (el módulo, también llamado valor absoluto ) del número cuya raíz se va a tomar; si el número se puede escribir como + bi, entonces . Además, ¿ se forma el ángulo cuando uno pivota sobre el origen en sentido antihorario desde el eje horizontal positivo hasta un rayo que va desde el origen hasta el número? tiene las propiedades que y${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta =a/r,}$ ${\displaystyle \sin \theta =b/r,}$${\displaystyle \tan \theta =b/a.}$

Por lo tanto, la búsqueda de raíces n en el plano complejo se puede segmentar en dos pasos. Primero, la magnitud de todas las raíces n es la raíz n ésima de la magnitud del número original. En segundo lugar, el ángulo entre el eje horizontal positivo y un rayo desde el origen a una de las raíces n es , donde es el ángulo definido de la misma manera para el número cuya raíz se está tomando. Además, todas las n de las n- ésimas raíces están en ángulos igualmente espaciados entre sí.${\displaystyle \theta /n}$${\displaystyle \theta }$

Si n es par, las raíces n de un número complejo , de las cuales hay un número par, vienen en pares inversos aditivos , de modo que si un número r ₁ es una de las raíces n , entonces r ₂ = - r ₁ es otra. Esto se debe a que elevar el coeficiente –1 de este último a la n- ésima potencia para n pares da 1: es decir, (- r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿ .

Al igual que con las raíces cuadradas, la fórmula anterior no define una función continua en todo el plano complejo, sino que tiene un corte de rama en los puntos donde θ  /  n es discontinua.

Resolver polinomios

Ver también: algoritmo de búsqueda de raíces

Una vez se conjeturó que todas las ecuaciones polinomiales podrían resolverse algebraicamente (es decir, que todas las raíces de un polinomio podrían expresarse en términos de un número finito de radicales y operaciones elementales ). Sin embargo, si bien esto es cierto para polinomios de tercer grado ( cúbicos ) y polinomios de cuarto grado ( cuarticos ), el teorema de Abel-Ruffini (1824) muestra que esto no es cierto en general cuando el grado es 5 o mayor. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación

${\displaystyle x^{5}=x+1}$

no se puede expresar en términos de radicales. ( cf. ecuación quíntica )

Prueba de irracionalidad para el n- ésimo poder no perfecto x

Suponga que es racional. Es decir, que puede reducirse a una fracción , donde un y b son números enteros sin un factor común.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Esto significa eso .${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Dado que x es un número entero, y debe compartir un factor común si . Esto significa que si , no está en la forma más simple. Por tanto, b debería ser igual a 1.${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Dado y , .${\displaystyle 1^{n}=1}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

Esto significa que y por lo tanto, . Esto implica que es un número entero. Dado que x no es una n- ésima potencia perfecta , esto es imposible. Por eso es irracional.${\displaystyle x=a^{n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Ver también

• Algoritmo de raíz enésima
• Cambio de algoritmo de raíz n
• Símbolo radical
• Número algebraico
• Radical anidado
• Duodécima raíz de dos
• Superraíz

Referencias

1. Bansal, RK (2006). Nuevo enfoque de CBSE Matemáticas IX . Publicaciones Laxmi. pag. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
2. Plata, Howard A. (1986). Álgebra y trigonometría . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-021270-2.
3. "Definición de RADICACIÓN" . www.merriam-webster.com .
4. "radicación - Definición de radicación en inglés por los diccionarios de Oxford" . Diccionarios de Oxford .
5. "Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas" . Páginas de matemáticas de Jeff Miller . Consultado el 30 de noviembre de 2008 .
6. McKeague, Charles P. (2011). Álgebra elemental . pag. 470. ISBN 978-0-8400-6421-9.
7. BF Caviness, RJ Fateman, "Simplificación de expresiones radicales" , Actas del Simposio ACM de 1976 sobre computación simbólica y algebraica , p. 329.
8. Richard Zippel, "Simplificación de expresiones que involucran radicales", Journal of Symbolic Computation 1 : 189-210 (1985) doi : 10.1016 / S0747-7171 (85) 80014-6 .
9. Wantzel, M. L. (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 (2): 366-372.

Enlaces externos

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