Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

El Nyquist-Shannon teorema de muestreo es un teorema en el campo de procesamiento de la señal que sirve como un puente fundamental entre las señales de tiempo continuo y las señales de tiempo discreto . Establece una condición suficiente para una frecuencia de muestreo que permite que una secuencia discreta de muestras capture toda la información de una señal de tiempo continuo de ancho de banda finito .

Ejemplo de magnitud de la transformada de Fourier de una función de banda limitada

Estrictamente hablando, el teorema solo se aplica a una clase de funciones matemáticas que tienen una transformada de Fourier que es cero fuera de una región finita de frecuencias. Intuitivamente, esperamos que cuando se reduce una función continua a una secuencia discreta y se vuelve a interpolar a una función continua, la fidelidad del resultado depende de la densidad (o frecuencia de muestreo ) de las muestras originales. El teorema de muestreo introduce el concepto de una frecuencia de muestreo que es suficiente para una fidelidad perfecta para la clase de funciones que están limitadas por banda.a un ancho de banda dado, de modo que no se pierda información real en el proceso de muestreo. Expresa la frecuencia de muestreo suficiente en términos de ancho de banda para la clase de funciones. El teorema también conduce a una fórmula para reconstruir perfectamente la función de tiempo continuo original a partir de las muestras.

La reconstrucción perfecta aún puede ser posible cuando no se satisface el criterio de la frecuencia de muestreo, siempre que se conozcan otras limitaciones de la señal (véase el § Muestreo de señales que no son de banda base más abajo y detección comprimida ). En algunos casos (cuando no se satisface el criterio de frecuencia de muestreo), la utilización de restricciones adicionales permite reconstrucciones aproximadas. La fidelidad de estas reconstrucciones se puede verificar y cuantificar utilizando el teorema de Bochner . ^[1]

El nombre de teorema de muestreo de Nyquist-Shannon honra a Harry Nyquist y Claude Shannon , pero el teorema también fue descubierto previamente por ET Whittaker (publicado en 1915) y Shannon citó el artículo de Whittaker en su trabajo. También fue descubierto en 1933 por Vladimir Kotelnikov . Por tanto, el teorema también se conoce con los nombres de teorema de muestreo de Whittaker-Shannon , Nyquist-Shannon-Kotelnikov , Whittaker-Shannon-Kotelnikov y Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon , y también puede denominarse teorema cardinal de interpolación .

Introducción

El muestreo es un proceso de conversión de una señal (por ejemplo, una función de tiempo o espacio continuo) en una secuencia de valores (una función de tiempo o espacio discreto). La versión de Shannon del teorema establece: ^[2]

Si una función ${\displaystyle x(t)}$no contiene frecuencias superiores a B  hertz , está completamente determinado dando sus ordenadas en una serie de puntos espaciados${\displaystyle 1/(2B)}$ segundos de diferencia.

Por lo tanto, una frecuencia de muestreo suficiente es algo mayor que ${\displaystyle 2B}$muestras por segundo. De manera equivalente, para una frecuencia de muestreo determinada${\displaystyle f_{s}}$, la reconstrucción perfecta está garantizada posible para un límite de banda ${\displaystyle B<f_{s}/2}$.

Cuando el límite de banda es demasiado alto (o no hay límite de banda), la reconstrucción presenta imperfecciones conocidas como aliasing . Los enunciados modernos del teorema a veces tienen cuidado de afirmar explícitamente que${\displaystyle x(t)}$no debe contener ningún componente sinusoidal a una frecuencia exacta${\displaystyle B,}$ o eso ${\displaystyle B}$debe ser estrictamente inferior a la mitad de la frecuencia de muestreo. El umbral${\displaystyle 2B}$se llama tasa de Nyquist y es un atributo de la entrada de tiempo continuo${\displaystyle x(t)}$para ser muestreado. La frecuencia de muestreo debe exceder la frecuencia de Nyquist para que las muestras sean suficientes para representar${\displaystyle x(t).}$  El umbral ${\displaystyle f_{s}/2}$se llama frecuencia de Nyquist y es un atributo del equipo de muestreo . Todos los componentes de frecuencia significativos del muestreo apropiado${\displaystyle x(t)}$existen por debajo de la frecuencia de Nyquist. La condición descrita por estas desigualdades se denomina criterio de Nyquist o, a veces, condición de Raabe . El teorema también es aplicable a funciones de otros dominios, como el espacio, en el caso de una imagen digitalizada. El único cambio, en el caso de otros dominios, son las unidades de medida atribuidas a${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle f_{s},}$ y ${\displaystyle B.}$

La función sinc normalizada : sin (π x ) / (π x ) ... mostrando el pico central en x = 0 , y cruces por cero en los otros valores enteros de x .

El símbolo ${\displaystyle T\triangleq 1/f_{s}}$se utiliza habitualmente para representar el intervalo entre muestras y se denomina período de muestreo o intervalo de muestreo . Las muestras de función${\displaystyle x(t)}$ se denotan comúnmente por ${\displaystyle x[n]\triangleq x(nT)}$ (alternativamente ${\displaystyle x_{n}}$ en la literatura de procesamiento de señales más antigua), para todos los valores enteros de ${\displaystyle n.}$  Otra definición conveniente es ${\displaystyle x[n]\triangleq T\cdot x(nT),}$ que conserva la energía de la señal como ${\displaystyle T}$varía. ^[3]

Una forma matemáticamente ideal de interpolar la secuencia implica el uso de funciones sinc . Cada muestra de la secuencia se reemplaza por una función sinc, centrada en el eje del tiempo en la ubicación original de la muestra.${\displaystyle nT,}$ con la amplitud de la función sinc escalada al valor de muestra, ${\displaystyle x[n].}$Posteriormente, las funciones sinc se suman en una función continua. Un método matemáticamente equivalente consiste en convolucionar una función sinc con una serie de pulsos delta de Dirac , ponderados por los valores de la muestra. Ninguno de los métodos es práctico numéricamente. En cambio, se utiliza algún tipo de aproximación de las funciones sinc, de longitud finita. Las imperfecciones atribuibles a la aproximación se conocen como error de interpolación .

Los prácticos convertidores de digital a analógico no producen funciones sinc escaladas ni retardadas , ni pulsos de Dirac ideales . En su lugar, producen una secuencia constante por partes de pulsos rectangulares escalados y retardados (la retención de orden cero ), generalmente seguida de un filtro de paso bajo (llamado "filtro anti-imagen") para eliminar réplicas (imágenes) de alta frecuencia falsas de la señal de banda base original.

Aliasing

Las muestras de dos ondas sinusoidales pueden ser idénticas cuando al menos una de ellas tiene una frecuencia superior a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Cuándo ${\displaystyle x(t)}$es una función con una transformada de Fourier ${\displaystyle X(f)}$:

${\displaystyle X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,}$

la fórmula de suma de Poisson indica que las muestras,${\displaystyle x(nT)}$, de ${\displaystyle x(t)}$son suficientes para crear una suma periódica de${\displaystyle X(f)}$. El resultado es :

${\displaystyle X_{s}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-kf_{s}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf},}$

( Ecuación 1 )

X ( f ) (arriba azul) y X _A ( f ) (abajo azul) son transformadas continuas de Fourier de dos funciones diferentes , ${\displaystyle x(t)}$ y ${\displaystyle x_{A}(t)}$(no mostrado). Cuando las funciones se muestrean al ritmo ${\displaystyle f_{s}}$, las imágenes (verde) se agregan a las transformadas originales (azul) cuando se examinan las transformadas de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de las secuencias. En este ejemplo hipotético, las DTFT son idénticas, lo que significa que las secuencias muestreadas son idénticas , aunque las funciones continuas pre-muestreadas originales no lo son. Si estas fueran señales de audio, ${\displaystyle x(t)}$ y ${\displaystyle x_{A}(t)}$puede que no suene igual. Pero sus muestras (tomadas a una tasa f _s ) son idénticas y darían lugar a sonidos reproducidos idénticos; por tanto, x _A ( t ) es un alias de x ( t ) a esta frecuencia de muestreo.

que es una función periódica y su representación equivalente como una serie de Fourier , cuyos coeficientes son${\displaystyle T\cdot x(nT).}$Esta función también se conoce como la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de la secuencia de muestra.

Como se muestra, copias de ${\displaystyle X(f)}$ se desplazan en múltiplos de la frecuencia de muestreo ${\displaystyle f_{s}}$y combinado por adición. Para una función de banda limitada  ${\displaystyle (X(f)=0,{\text{ for all }}|f|\geq B)}$  y suficientemente grande ${\displaystyle f_{s},}$es posible que las copias sigan siendo distintas entre sí. Pero si no se satisface el criterio de Nyquist, las copias adyacentes se superponen y, en general, no es posible discernir un${\displaystyle X(f).}$ Cualquier componente de frecuencia anterior ${\displaystyle f_{s}/2}$es indistinguible de un componente de frecuencia más baja, llamado alias , asociado con una de las copias. En tales casos, las técnicas de interpolación habituales producen el alias, en lugar del componente original. Cuando la frecuencia de muestreo está predeterminada por otras consideraciones (como un estándar de la industria),${\displaystyle x(t)}$generalmente se filtra para reducir sus altas frecuencias a niveles aceptables antes de muestrearlo. El tipo de filtro requerido es un filtro de paso bajo , y en esta aplicación se le llama filtro anti-aliasing .

Espectro, X _s ( f ), de una señal de banda limitada muestreada correctamente (azul) y las imágenes DTFT adyacentes (verde) que no se superponen. Un filtro de paso bajo de pared de ladrillos , H ( f ), elimina las imágenes, deja el espectro original, X ( f ), y recupera la señal original de sus muestras.

La figura de la izquierda muestra una función (en gris / negro) que se muestrea y reconstruye (en oro) con densidades de muestra en constante aumento, mientras que la figura de la derecha muestra el espectro de frecuencia de la función gris / negro, que no cambia. . La frecuencia más alta del espectro es la mitad del ancho de todo el espectro. El ancho del sombreado rosa que aumenta constantemente es igual a la frecuencia de muestreo. Cuando abarca todo el espectro de frecuencias, es dos veces mayor que la frecuencia más alta, y es entonces cuando la forma de onda reconstruida coincide con la muestreada.

Derivación como caso especial de suma de Poisson

Cuando no hay superposición de las copias (también conocidas como "imágenes") de ${\displaystyle X(f)}$, la ${\displaystyle k=0}$El término de la ecuación 1 puede recuperarse mediante el producto :

${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{s}(f),}$      donde :

${\displaystyle H(f)\ \triangleq \ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}}$ f_ {s} -B. \ end {cases}}}

El teorema de muestreo se demuestra ya que ${\displaystyle X(f)}$ determina de forma única ${\displaystyle x(t).}$

Todo lo que queda es derivar la fórmula para la reconstrucción. ${\displaystyle H(f)}$ no es necesario definir con precisión en la región ${\displaystyle [B,\ f_{s}-B]}$ porque ${\displaystyle X_{s}(f)}$es cero en esa región. Sin embargo, el peor de los casos es cuando${\displaystyle B=f_{s}/2,}$la frecuencia de Nyquist. Una función que es suficiente para eso y todos los casos menos graves es :

${\displaystyle H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}}$

donde rect (•) es la función rectangular . Por tanto :

${\displaystyle X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{s}(f)}$

${\displaystyle =\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$      (de la   ecuación 1 , arriba).

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.}$      ^[A]

La transformada inversa de ambos lados produce la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon :

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

que muestra cómo las muestras, ${\displaystyle x(nT),}$ se puede combinar para reconstruir ${\displaystyle x(t).}$

• Los valores de f _s más grandes de lo necesario (valores más pequeños de T ), llamados sobremuestreo , no tienen ningún efecto sobre el resultado de la reconstrucción y tienen la ventaja de dejar espacio para una banda de transición en la que H ( f ) es libre de tomar intermedios. valores. El submuestreo , que provoca el aliasing, no es en general una operación reversible.
• Teóricamente, la fórmula de interpolación se puede implementar como un filtro de paso bajo , cuya respuesta al impulso es sinc ( t / T ) y cuya entrada es${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),}$que es una función de peine de Dirac modulada por las muestras de señal. Los prácticos convertidores de digital a analógico (DAC) implementan una aproximación como la retención de orden cero . En ese caso, el sobremuestreo puede reducir el error de aproximación.

Prueba original de Shannon

Poisson muestra que la serie de Fourier en la ecuación 1 produce la suma periódica de${\displaystyle X(f)}$, a pesar de ${\displaystyle f_{s}}$ y ${\displaystyle B}$. Shannon, sin embargo, solo deriva los coeficientes de la serie para el caso${\displaystyle f_{s}=2B}$. Citando virtualmente el artículo original de Shannon:

Dejar ${\displaystyle X(\omega )}$ ser el espectro de ${\displaystyle x(t).}$  Luego

${\displaystyle x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ,}$

porque ${\displaystyle X(\omega )}$ se supone que es cero fuera de la banda ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega }{2\pi }}\right|<B.}$  Si dejamos ${\displaystyle t={\tfrac {n}{2B}},}$ dónde ${\displaystyle n}$ es cualquier número entero positivo o negativo, obtenemos:

${\displaystyle x\left({\tfrac {n}{2B}}\right)={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega {n \over {2B}}}\;{\rm {d}}\omega .}$

( Ecuación 2 )

A la izquierda están los valores de ${\displaystyle x(t)}$en los puntos de muestreo. La integral de la derecha será reconocido como esencialmente ^[a] el n ^º coeficiente en un desarrollo de Fourier de la serie de la función de ${\displaystyle X(\omega ),}$ tomando el intervalo ${\displaystyle -B}$ a ${\displaystyle B}$como período fundamental. Esto significa que los valores de las muestras ${\displaystyle x(n/2B)}$ Determinar los coeficientes de Fourier en la expansión en serie de ${\displaystyle X(\omega ).}$  Así ellos determinan ${\displaystyle X(\omega ),}$ desde ${\displaystyle X(\omega )}$es cero para frecuencias mayores que B y para frecuencias más bajas ${\displaystyle X(\omega )}$se determina si se determinan sus coeficientes de Fourier. Pero ${\displaystyle X(\omega )}$ determina la función original ${\displaystyle x(t)}$completamente, ya que una función se determina si se conoce su espectro. Por lo tanto, las muestras originales determinan la función ${\displaystyle x(t)}$ completamente.

La demostración del teorema de Shannon está completa en ese punto, pero continúa discutiendo la reconstrucción a través de funciones sinc , lo que ahora llamamos la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon como se discutió anteriormente. No deriva ni prueba las propiedades de la función sinc, pero estas habrían sido ^{[ palabras comadrejas ]} familiares para los ingenieros que leyeran sus trabajos en ese momento, ya que la relación del par de Fourier entre rect (la función rectangular) y sinc era bien conocida.

Dejar ${\displaystyle x_{n}}$ser el n ^º muestra. Entonces la función ${\displaystyle x(t)}$ está representado por:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin \pi (2Bt-n) \over \pi (2Bt-n)}.}$

Como en la otra prueba, se supone la existencia de la transformada de Fourier de la señal original, por lo que la prueba no dice si el teorema de muestreo se extiende a procesos aleatorios estacionarios limitados en banda.

Notas

1. Multiplicando ambos lados de la Ec. 2 por${\displaystyle T=1/2B}$ produce, a la izquierda, los valores de muestra escalados ${\displaystyle (T\cdot x(nT))}$en la fórmula de Poisson ( ecuación 1 ) y, a la derecha, la fórmula real para los coeficientes de expansión de Fourier.

Aplicación a señales e imágenes multivariables

Imagen submuestreada que muestra un patrón de Moiré

Imagen muestreada correctamente

El teorema de muestreo generalmente se formula para funciones de una sola variable. En consecuencia, el teorema es directamente aplicable a señales dependientes del tiempo y normalmente se formula en ese contexto. Sin embargo, el teorema de muestreo puede extenderse de manera sencilla a funciones de muchas variables arbitrariamente. Las imágenes en escala de grises, por ejemplo, a menudo se representan como arreglos (o matrices) bidimensionales de números reales que representan las intensidades relativas de píxeles (elementos de imagen) ubicados en las intersecciones de ubicaciones de muestra de filas y columnas. Como resultado, las imágenes requieren dos variables independientes, o índices, para especificar cada píxel de forma única: una para la fila y otra para la columna.

Las imágenes en color suelen constar de una combinación de tres imágenes en escala de grises independientes, una para representar cada uno de los tres colores primarios: rojo, verde y azul, o RGB para abreviar. Otros espacios de color que utilizan 3 vectores para los colores incluyen HSV, CIELAB, XYZ, etc. Algunos espacios de color como cian, magenta, amarillo y negro (CMYK) pueden representar el color en cuatro dimensiones. Todos estos se tratan como funciones con valores vectoriales en un dominio muestreado bidimensional.

Al igual que las señales unidimensionales de tiempo discreto, las imágenes también pueden sufrir alias si la resolución de muestreo o la densidad de píxeles es inadecuada. Por ejemplo, una fotografía digital de una camisa a rayas con altas frecuencias (en otras palabras, la distancia entre las rayas es pequeña), puede causar un alias de la camisa cuando es muestreada por el sensor de imagen de la cámara . El alias aparece como un patrón muaré . La "solución" para un muestreo más alto en el dominio espacial para este caso sería acercarse a la camiseta, usar un sensor de mayor resolución o desenfocar ópticamente la imagen antes de adquirirla con el sensor usando un filtro óptico de paso bajo .

Otro ejemplo se muestra a la derecha en los patrones de ladrillos. La imagen superior muestra los efectos cuando no se cumple la condición del teorema de muestreo. Cuando el software cambia la escala de una imagen (el mismo proceso que crea la miniatura que se muestra en la imagen inferior), en efecto, ejecuta la imagen a través de un filtro de paso bajo primero y luego reduce la resolución de la imagen para dar como resultado una imagen más pequeña que no exhibe el patrón de muaré . La imagen superior es lo que sucede cuando se reduce la resolución de la imagen sin filtrado de paso bajo: resultados de alias.

El teorema de muestreo se aplica a los sistemas de cámaras, donde la escena y la lente constituyen una fuente de señal espacial analógica y el sensor de imagen es un dispositivo de muestreo espacial. Cada uno de estos componentes se caracteriza por una función de transferencia de modulación (MTF), que representa la resolución precisa (ancho de banda espacial) disponible en ese componente. Los efectos de alias o desenfoque pueden ocurrir cuando el MTF de la lente y el MTF del sensor no coinciden. Cuando la imagen óptica que es muestreada por el dispositivo sensor contiene frecuencias espaciales más altas que el sensor, el submuestreo actúa como un filtro de paso bajo para reducir o eliminar el aliasing. Cuando el área del punto de muestreo (el tamaño del sensor de píxeles) no es lo suficientemente grande para proporcionar suficiente suavizado espacial , se puede incluir un filtro de suavizado separado (filtro óptico de paso bajo) en un sistema de cámara para reducir el MTF de la imagen óptica. En lugar de requerir un filtro óptico, la unidad de procesamiento de gráficos de las cámaras de los teléfonos inteligentes realiza un procesamiento de señal digital para eliminar el alias con un filtro digital. Los filtros digitales también aplican nitidez para amplificar el contraste de la lente a altas frecuencias espaciales, que de lo contrario se reduce rápidamente en los límites de difracción.

El teorema de muestreo también se aplica al procesamiento posterior de imágenes digitales, como al muestreo ascendente o descendente. Los efectos de alias, desenfoque y nitidez se pueden ajustar con el filtrado digital implementado en el software, que necesariamente sigue los principios teóricos.

Frecuencia critica

Para ilustrar la necesidad de ${\displaystyle f_{s}>2B}$, considere la familia de sinusoides generada por diferentes valores de ${\displaystyle \theta }$en esta fórmula :

${\displaystyle x(t)={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}}\ =\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ),\quad -\pi /2<\theta <\pi /2.}$

Una familia de sinusoides en la frecuencia crítica, todas con las mismas secuencias de muestra de alternancia +1 y –1. Es decir, todos son alias entre sí, aunque su frecuencia no supere la mitad de la frecuencia de muestreo.

Con ${\displaystyle f_{s}=2B}$ o equivalente ${\displaystyle T=1/2B}$, las muestras vienen dadas por :

${\displaystyle x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}}$

independientemente del valor de ${\displaystyle \theta }$. Ese tipo de ambigüedad es la razón de la estricta desigualdad de la condición del teorema de muestreo.

Muestreo de señales que no son de banda base

Como lo discutió Shannon: ^[2]

Un resultado similar es cierto si la banda no comienza en una frecuencia cero sino en un valor más alto, y puede demostrarse mediante una traducción lineal (que corresponde físicamente a la modulación de banda lateral única ) del caso de frecuencia cero. En este caso, el pulso elemental se obtiene a partir de sin ( x ) / x mediante modulación de banda lateral única.

Es decir, existe una condición sin pérdidas suficiente para el muestreo de señales que no tienen componentes de banda base que implica el ancho del intervalo de frecuencia distinto de cero en oposición a su componente de frecuencia más alta. Consulte Muestreo (procesamiento de señales) para obtener más detalles y ejemplos.

Por ejemplo, para muestrear las señales de radio FM en el rango de frecuencia de 100-102  MHz , no es necesario muestrear a 204 MHz (el doble de la frecuencia superior), sino que es suficiente muestrear a 4 MHz (el doble de la frecuencia superior). ancho del intervalo de frecuencia).

Una condición de paso de banda es que X ( f ) = 0, para todas las f no negativas fuera de la banda abierta de frecuencias:

${\displaystyle \left({\frac {N}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {N+1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

para algún entero no negativo N . Esta formulación incluye la condición de banda base normal como el caso N = 0.

La función de interpolación correspondiente es la respuesta de impulso de un filtro de paso de banda de pared de ladrillo ideal (a diferencia del filtro de paso bajo de pared de ladrillo ideal utilizado anteriormente) con cortes en los bordes superior e inferior de la banda especificada, que es la diferencia entre un par de respuestas de impulso de paso bajo:

${\displaystyle (N+1)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {(N+1)t}{T}}\right)-N\,\operatorname {sinc} \left({\frac {Nt}{T}}\right).}$

También son posibles otras generalizaciones, por ejemplo a señales que ocupan múltiples bandas no contiguas. Incluso la forma más generalizada del teorema de muestreo no tiene un recíproco comprobable. Es decir, no se puede concluir que la información se pierde necesariamente solo porque no se satisfacen las condiciones del teorema de muestreo; Sin embargo, desde una perspectiva de ingeniería, generalmente es seguro asumir que si no se cumple el teorema de muestreo, lo más probable es que se pierda información.

Muestreo no uniforme

La teoría de muestreo de Shannon se puede generalizar para el caso de muestreo no uniforme , es decir, muestras que no se toman igualmente espaciadas en el tiempo. La teoría de muestreo de Shannon para muestreo no uniforme establece que una señal de banda limitada se puede reconstruir perfectamente a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo promedio satisface la condición de Nyquist. ^[4] Por lo tanto, aunque las muestras uniformemente espaciadas pueden resultar en algoritmos de reconstrucción más fáciles, no es una condición necesaria para una reconstrucción perfecta.

La teoría general para muestras no uniformes y de banda base fue desarrollada en 1967 por Henry Landau . ^[5] Demostró que la tasa de muestreo promedio (uniforme o no) debe ser el doble del ancho de banda ocupado de la señal, asumiendo que se sabe a priori qué porción del espectro estaba ocupada. A finales de la década de 1990, este trabajo se amplió parcialmente para cubrir las señales de cuándo se conocía la cantidad de ancho de banda ocupado, pero se desconocía la porción real ocupada del espectro. ^[6] En la década de 2000, se desarrolló una teoría completa (consulte la sección Muestreo debajo de la tasa de Nyquist bajo restricciones adicionales a continuación) utilizando sensores comprimidos . En particular, la teoría, que utiliza el lenguaje de procesamiento de señales, se describe en este artículo de 2009. ^[7] Muestran, entre otras cosas, que si se desconocen las ubicaciones de frecuencia, entonces es necesario muestrear al menos al doble de los criterios de Nyquist; en otras palabras, debe pagar al menos un factor de 2 por no conocer la ubicación del espectro . Tenga en cuenta que los requisitos mínimos de muestreo no garantizan necesariamente la estabilidad .

Muestreo por debajo de la tasa de Nyquist con restricciones adicionales

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon proporciona una condición suficiente para el muestreo y la reconstrucción de una señal de banda limitada. Cuando la reconstrucción se realiza mediante la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon , el criterio de Nyquist también es una condición necesaria para evitar el aliasing, en el sentido de que si las muestras se toman a una velocidad inferior al doble del límite de la banda, entonces hay algunas señales que no lo harán. ser reconstruido correctamente. Sin embargo, si se imponen más restricciones a la señal, es posible que el criterio de Nyquist ya no sea una condición necesaria .

Un ejemplo no trivial de explotación de supuestos adicionales sobre la señal lo da el campo reciente de detección comprimida , que permite una reconstrucción completa con una frecuencia de muestreo inferior a Nyquist. Específicamente, esto se aplica a señales que son escasas (o comprimibles) en algún dominio. Por ejemplo, la detección comprimida se ocupa de señales que pueden tener un ancho de banda general bajo (por ejemplo, el ancho de banda efectivo EB ), pero las ubicaciones de frecuencia son desconocidas, en lugar de todas juntas en una sola banda, por lo que la técnica de banda de paso no lo hace. solicitar. En otras palabras, el espectro de frecuencias es escaso. Tradicionalmente, la tasa de muestreo necesario es, pues, 2 B . Utilizando técnicas de detección comprimida, la señal podría reconstruirse perfectamente si se muestrea a una velocidad ligeramente inferior a 2 EB . Con este enfoque, la reconstrucción ya no está dada por una fórmula, sino por la solución a un programa de optimización lineal .

Otro ejemplo en el que el muestreo sub-Nyquist es óptimo surge bajo la restricción adicional de que las muestras se cuantifican de manera óptima, como en un sistema combinado de muestreo y compresión con pérdida óptima . ^[8] Esta configuración es relevante en los casos en los que se debe considerar el efecto conjunto del muestreo y la cuantificación , y puede proporcionar un límite inferior para el error de reconstrucción mínimo que se puede lograr al muestrear y cuantificar una señal aleatoria . Para señales aleatorias gaussianas estacionarias, este límite inferior generalmente se alcanza a una frecuencia de muestreo por debajo de Nyquist, lo que indica que el muestreo por debajo de Nyquist es óptimo para este modelo de señal con una cuantificación óptima . ^[9]

Antecedentes históricos

El teorema de muestreo estaba implícito en el trabajo de Harry Nyquist en 1928, ^[10] en el que demostró que se podían enviar hasta 2 B muestras de pulsos independientes a través de un sistema de ancho de banda B ; pero no consideró explícitamente el problema del muestreo y la reconstrucción de señales continuas. Casi al mismo tiempo, Karl Küpfmüller mostró un resultado similar ^[11] y discutió la respuesta al impulso de función sinc de un filtro limitador de banda, a través de su integral, la integral sinusoidal de respuesta escalonada ; Este filtro de reconstrucción y limitación de banda, que es tan fundamental para el teorema de muestreo, a veces se denomina filtro de Küpfmüller (pero rara vez en inglés).

El teorema de muestreo, esencialmente un resultado dual de Nyquist, fue probado por Claude E. Shannon . ^[2] VA Kotelnikov publicó resultados similares en 1933, ^[12] al igual que el matemático ET Whittaker en 1915, ^[13] JM Whittaker en 1935, ^[14] y Gabor en 1946 ("Teoría de la comunicación"). En 1999, la Fundación Eduard Rhein otorgó a Kotelnikov su Premio de Investigación Básica "por la primera formulación teóricamente exacta del teorema de muestreo".

En 1948 y 1949, Claude E. Shannon publicó, 16 años después de Vladimir Kotelnikov , los dos artículos revolucionarios en los que fundó la teoría de la información. ^{[15] [16] [2]} En Shannon 1948 el teorema de muestreo se formula como "Teorema 13": Sea f ( t ) no contiene frecuencias sobre W. Entonces

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\frac {\sin \pi (2Wt-n)}{\pi (2Wt-n)}},}$ dónde ${\displaystyle X_{n}=f\left({\frac {n}{2W}}\right)}$.

No fue hasta que se publicaron estos artículos que el teorema conocido como “teorema de muestreo de Shannon” se convirtió en propiedad común entre los ingenieros de comunicación, aunque el propio Shannon escribe que este es un hecho de conocimiento común en el arte de la comunicación. ^[B] Unas líneas más adelante, sin embargo, agrega: "pero a pesar de su evidente importancia, [parece] no haber aparecido explícitamente en la literatura de la teoría de la comunicación".

Otros descubridores

Otros que han descubierto de forma independiente o desempeñado un papel en el desarrollo del teorema de muestreo han sido discutidos en varios artículos históricos, por ejemplo, por Jerri ^[17] y por Lüke. ^[18] Por ejemplo, Lüke señala que H. Raabe, un asistente de Küpfmüller, demostró el teorema en su Ph.D. de 1939. disertación; el término condición de Raabe se asoció con el criterio de representación inequívoca (frecuencia de muestreo superior al doble del ancho de banda). Meijering ^[19] menciona varios otros descubridores y nombres en un párrafo y un par de notas al pie:

Como señaló Higgins [135], el teorema de muestreo realmente debería considerarse en dos partes, como se hizo anteriormente: la primera indica el hecho de que una función de banda limitada está completamente determinada por sus muestras, la segunda describe cómo reconstruir la función utilizando su muestras. Ambas partes del teorema de muestreo fueron dadas en una forma algo diferente por JM Whittaker [350, 351, 353] y antes de él también por Ogura [241, 242]. Probablemente no eran conscientes del hecho de que la primera parte del teorema había sido enunciada ya en 1897 por Borel [25]. ²⁷ Como hemos visto, Borel también usó en esa época lo que se conoció como la serie cardinal. Sin embargo, parece que no hizo el vínculo [135]. En años posteriores se supo que el teorema de muestreo había sido presentado ante Shannon a la comunidad de comunicación rusa por Kotel'nikov [173]. En una forma verbal más implícita, también había sido descrito en la literatura alemana por Raabe [257]. Varios autores [33, 205] han mencionado que Someya [296] introdujo el teorema en la literatura japonesa en paralelo a Shannon. En la literatura inglesa, Weston [347] lo introdujo independientemente de Shannon por la misma época. ²⁸

²⁷ Varios autores, siguiendo a Black [16], han afirmado que esta primera parte del teorema de muestreo fue establecida incluso antes por Cauchy, en un artículo [41] publicado en 1841. Sin embargo, el artículo de Cauchy no contiene tal declaración, como ha señalado Higgins [135].

²⁸ Como consecuencia del descubrimiento de varias introducciones independientes del teorema de muestreo, la gente comenzó a referirse al teorema al incluir los nombres de los autores antes mencionados, lo que resultó en frases como “el Whittaker – Kotel'nikov – Shannon (WKS) teorema de muestreo "[155] o incluso" el teorema de muestreo de Whittaker-Kotel'nikov-Raabe-Shannon-Someya "[33]. Para evitar confusiones, quizás lo mejor sea referirse a él como el teorema de muestreo", en lugar de que tratar de encontrar un título que haga justicia a todos los demandantes "[136].

¿Por qué Nyquist?

Exactamente cómo, cuándo o por qué Harry Nyquist tenía su nombre adjunto al teorema de muestreo sigue siendo oscuro. El término Teorema de muestreo de Nyquist (así capitalizado) apareció ya en 1959 en un libro de su antiguo empleador, Bell Labs , ^[20] y apareció nuevamente en 1963, ^[21] y no se capitalizó en 1965. ^[22] Se había llamado el Teorema de muestreo de Shannon ya en 1954, ^[23] pero también el teorema de muestreo de varios otros libros a principios de la década de 1950.

En 1958, Blackman y Tukey citaron el artículo de Nyquist de 1928 como referencia para el teorema de muestreo de la teoría de la información , ^[24] aunque ese artículo no trata el muestreo y la reconstrucción de señales continuas como lo hicieron otros. Su glosario de términos incluye estas entradas:

Teorema de muestreo (de la teoría de la información)

El resultado de Nyquist de que los datos equi-espaciados, con dos o más puntos por ciclo de frecuencia más alta, permiten la reconstrucción de funciones de banda limitada. (Ver teorema cardinal ).

Teorema cardinal (de la teoría de la interpolación)

Una declaración precisa de las condiciones bajo las cuales los valores dados en un conjunto doblemente infinito de puntos igualmente espaciados se pueden interpolar para producir una función continua limitada por banda con la ayuda de la función

${\displaystyle {\frac {\sin(x-x_{i})}{x-x_{i}}}.}$

Exactamente a qué "resultado de Nyquist" se refieren sigue siendo un misterio.

Cuando Shannon declaró y demostró el teorema de muestreo en su artículo de 1949, según Meijering, ^[19] "se refirió al intervalo de muestreo crítico${\displaystyle T={\frac {1}{2W}}}$como el intervalo de Nyquist correspondiente a la banda W , en reconocimiento del descubrimiento de Nyquist de la importancia fundamental de este intervalo en conexión con la telegrafía ". Esto explica el nombre de Nyquist en el intervalo crítico, pero no en el teorema.

De manera similar, el nombre de Nyquist fue agregado a Nyquist Rate en 1953 por Harold S. Black :

"Si el rango de frecuencia esencial se limita a B ciclos por segundo, Nyquist dio 2 B como el número máximo de elementos de código por segundo que podrían resolverse sin ambigüedades, asumiendo que la interferencia máxima es menos de la mitad de un paso cuántico. Esta tasa es generalmente referido como señalización a la tasa de Nyquist y${\displaystyle {\frac {1}{2B}}}$se ha denominado intervalo de Nyquist ". ^[25] (negrita añadida para enfatizar; cursiva como en el original)

Según el OED , este puede ser el origen del término tasa de Nyquist . En el uso de Black, no es una frecuencia de muestreo, sino una frecuencia de señalización.

Ver también

• 44,100 Hz , una frecuencia habitual utilizada para muestrear frecuencias audibles se basa en los límites de la audición humana y el teorema de muestreo
• Teorema de Balian-Low , un límite inferior teórico similar en las tasas de muestreo, pero que se aplica a las transformaciones de tiempo-frecuencia
• Teorema de Cheung-Marks , que especifica las condiciones en las que la restauración de una señal mediante el teorema de muestreo puede resultar mal planteada
• Ley de Hartley
• Criterio de Nyquist ISI
• Reconstrucción de pasos por cero
• Retención de orden cero

Notas

1. La función sinc sigue a las filas 202 y 102 de las tablas de transformación
2. Shannon , 1949 , pág. 448.

Referencias

1. Nemirovsky, Jonathan; Shimron, Efrat (2015). "Utilizando el teorema de Bochner para la evaluación restringida de los datos de Fourier que faltan". arXiv : 1506.03300 [ physics.med-ph ].
2. Shannon, Claude E. (enero de 1949). "Comunicación en presencia de ruido". Actas del Instituto de Ingenieros de Radio . 37 (1): 10-21. doi : 10.1109 / jrproc.1949.232969 . S2CID  52873253 . Reimpresión como papel clásico en: Proc. IEEE , vol. 86, No. 2, (febrero de 1998) Archivado el 8 de febrero de 2010 en la Wayback Machine.
3. Ahmed, N .; Rao, KR (10 de julio de 1975). Transformaciones ortogonales para el procesamiento de señales digitales (1 ed.). Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-642-45450-9 . ISBN 9783540065562.
4. Marvasti (ed.), F. (2000). Muestreo no uniforme, teoría y práctica . Nueva York: Kluwer Academic / Plenum Publishers.
5. Landau, HJ (1967). "Condiciones de densidad necesarias para el muestreo e interpolación de determinadas funciones completas" . Acta Math . 117 (1): 37–52. doi : 10.1007 / BF02395039 .
6. ver, por ejemplo, Feng, P. (1997). Muestreo de frecuencia mínima universal y reconstrucción ciega al espectro para señales multibanda . Doctor. disertación, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign.
7. Mishali, Moshe; Eldar, Yonina C. (marzo de 2009). "Reconstrucción ciega de señales multibanda: detección comprimida para señales analógicas". IEEE Trans. Proceso de señal . 57 (3): 993–1009. Código bibliográfico : 2009ITSP ... 57..993M . CiteSeerX  10.1.1.154.4255 . doi : 10.1109 / TSP.2009.2012791 . S2CID  2529543 .
8. Kipnis, Alon; Goldsmith, Andrea J .; Eldar, Yonina C .; Weissman, Tsachy (enero de 2016). "Función de tasa de distorsión de sub-Nyquist muestreó fuentes gaussianas". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 62 : 401–429. arXiv : 1405.5329 . doi : 10.1109 / tit.2015.2485271 .
9. Kipnis, Alon; Eldar, Yonina; Goldsmith, Andrea (26 de abril de 2018). "Compresión analógica a digital: un nuevo paradigma para convertir señales en bits". Revista de procesamiento de señales IEEE . 35 (3): 16–39. arXiv : 1801.06718 . Código bibliográfico : 2018ISPM ... 35 ... 16K . doi : 10.1109 / MSP.2017.2774249 . S2CID  13693437 .
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20. Miembros del equipo técnico de los laboratorios Bell Telephone (1959). Sistemas de transmisión para comunicaciones . AT&T. págs. 26–4 (Vol. 2).
21. Guillemin, Ernst Adolph (1963). Teoría de los sistemas físicos lineales . Wiley.
22. Roberts, Richard A .; Barton, Ben F. (1965). Teoría de la detectabilidad de la señal: teoría de la decisión diferida compuesta .
23. Gray, Truman S. (1954). "Electrónica aplicada: un primer curso en electrónica, tubos de electrones y circuitos asociados". La física hoy . 7 (11): 17. Bibcode : 1954PhT ..... 7k..17G . doi : 10.1063 / 1.3061438 . hdl : 2027 / mdp.39015002049487 .
24. Blackman, RB; Tukey, JW (1958). La medición de los espectros de potencia: desde el punto de vista de la ingeniería de comunicaciones (PDF) . Nueva York: Dover.^{[ enlace muerto permanente ]}
25. Negro, Harold S. (1953). Teoría de la modulación .

Otras lecturas

• Higgins, JR: Cinco cuentos sobre la serie cardinal , Boletín de la AMS 12 (1985)
• Küpfmüller, Karl , "Utjämningsförlopp inom Telegraf- och Telefontekniken", ("Transitorios en la ingeniería telegráfica y telefónica"), Teknisk Tidskrift , no. 9 págs. 153-160 y 10 págs. 178-182, 1931. [1] [2]
• Marks, RJ (II): Introducción a la teoría de muestreo e interpolación de Shannon , Springer-Verlag, 1991.
• Marks, RJ (II), Editor: Temas avanzados en la teoría de muestreo e interpolación de Shannon , Springer-Verlag, 1993.
• Marks, RJ (II), Manual de análisis de Fourier y sus aplicaciones, Oxford University Press, (2009), Capítulos 5-8. Libros de Google
• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 13.11. Uso numérico del teorema de muestreo" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Unser, Michael: Sampling-50 Years after Shannon , Proc. IEEE, vol. 88, no. 4, págs. 569–587, abril de 2000

enlaces externos

• Aprendizaje mediante simulaciones Simulación interactiva de los efectos de un muestreo inadecuado
• Presentación interactiva del muestreo y la reconstrucción en una demostración web del Instituto de Telecomunicaciones de la Universidad de Stuttgart
• Submuestreo y una aplicación del mismo
• Teoría de muestreo para audio digital
• Revista dedicada a la teoría del muestreo
• Teorema de muestreo con pulso de ancho variable de amplitud constante
• Lüke, Hans Dieter (abril de 1999). "Los orígenes del teorema de muestreo" (PDF) . Revista de comunicaciones IEEE . 37 (4): 106–108. CiteSeerX  10.1.1.163.2887 . doi : 10.1109 / 35.755459 .