Octágono

En geometría , un octágono (del griego ὀκτάγωνον oktágōnon , "ocho ángulos") es un polígono de ocho lados u 8 gon.

Octágono regular
Un octágono regular
Tipo	Polígono regular
Aristas y vértices	8
Símbolo de Schläfli	{8}, t {4}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Diedro (D 8 ), orden 2 × 8
Ángulo interno ( grados )	135 °
Polígono dual	Uno mismo
Propiedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

A regular de octágono tiene símbolo Schläfli {8} ^[1] y también se puede construir como un quasiregular truncada cuadrada , t {4}, que alterna dos tipos de bordes. Un octágono truncado, t {8} es un hexadecágono , {16}. Un análogo 3D del octágono puede ser el rombicuboctaedro con las caras triangulares en él como los bordes reemplazados, si se considera que el octágono es un cuadrado truncado.

Propiedades del octágono general

Las diagonales del cuadrilátero verde tienen la misma longitud y forman ángulos rectos entre sí.

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octágono es 1080 °. Como ocurre con todos los polígonos, los ángulos externos suman un total de 360 ​​°.

Si cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados de un octágono, a continuación, los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos forman un cuadrilátero que es tanto equidiagonal y orthodiagonal (es decir, cuyas diagonales son iguales en longitud y a la derecha ángulos entre sí). ^{[2] : Prop. 9}

El octágono del punto medio de un octágono de referencia tiene sus ocho vértices en los puntos medios de los lados del octágono de referencia. Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados del octágono del punto medio, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de los cuadrados opuestos forman los vértices de un cuadrado. ^{[2] : Prop. 10}

Octágono regular

Un octágono regular es una figura cerrada con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene ocho líneas de simetría reflectante y simetría rotacional de orden 8. Un octágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {8}. El ángulo interno en cada vértice de un octágono regular es 135 ° (${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ radianes ). El ángulo central es de 45 ° (${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$ radianes).

Área

El área de un octágono regular de lado a está dada por

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828\,a^{2}.}$

En términos del circunradio R , el área es

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}$

En términos de la apotema r (véase también la figura inscrita ), el área es

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}$

Estos dos últimos coeficientes delimitan el valor de pi , el área del círculo unitario .

El área de un octágono regular se puede calcular como un cuadrado truncado .

El área también se puede expresar como

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

donde S es el espacio del octágono, o la segunda diagonal más corta; y una es la longitud de uno de los lados, o bases. Esto se prueba fácilmente si se toma un octágono, se dibuja un cuadrado alrededor del exterior (asegurándose de que cuatro de los ocho lados se superpongan con los cuatro lados del cuadrado) y luego se toman los triángulos de las esquinas (estos son 45-45-90 triángulos ) y los coloca con ángulos rectos apuntando hacia adentro, formando un cuadrado. Los bordes de este cuadrado son cada uno de la longitud de la base.

Dada la longitud de un lado a , el tramo S es

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

El lapso, entonces, es igual a la proporción de plata multiplicada por el lado, a.

El área es entonces como arriba:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

Expresado en términos del lapso, el área es

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

Otra fórmula simple para el área es

${\displaystyle \ A=2aS.}$

Más a menudo se conoce el tramo S , y la longitud de los lados, a , debe determinarse, como cuando se corta una pieza cuadrada de material en un octágono regular. De lo anterior,

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

Las dos longitudes de los extremos e en cada lado (las longitudes de las piernas de los triángulos (verde en la imagen) truncadas del cuadrado), además de ser${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$ puede calcularse como

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

Circumradius e inradius

El circunradio del octágono regular en términos de la longitud del lado a es ^[3]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a,}$

y el radio interno es

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a.}$

(que es la mitad de la proporción de plata multiplicada por el lado, a , o la mitad del tramo, S )

Diagonales

El octágono regular, en términos de la longitud del lado a , tiene tres tipos diferentes de diagonales :

• Diagonal corta;
• Diagonal media (también llamada envergadura o altura), que es el doble de la longitud del radio interno;
• Diagonal larga, que es el doble de la longitud del circunradio.

La fórmula para cada uno de ellos se deriva de los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para su extensión: ^{[ cita requerida ]}

• Diagonal corta: ${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ;
• Diagonal media: ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$ ; ( proporción de plata multiplicada por a)
• Diagonal larga: ${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$ .

Construcción y propiedades elementales

construyendo un octágono regular doblando una hoja de papel

Un octágono regular en una circunferencia determinada se puede construir de la siguiente manera:

1. Dibuja un círculo y un diámetro AOE, donde O es el centro y A, E son puntos en el círculo circunferencial.
2. Dibuja otro diámetro GOC, perpendicular al AOE.
3. (Tenga en cuenta de paso que A, C, E, G son vértices de un cuadrado).
4. Dibuja las bisectrices de los ángulos rectos GOA y EOG, haciendo dos diámetros más HOD y FOB.
5. A, B, C, D, E, F, G, H son los vértices del octágono.

Octágono en una longitud de lado dada, animación
(la construcción es muy similar a la del hexadecágono en una longitud de lado dada ).

Se puede construir un octágono regular usando una regla y un compás , como 8 = 2 ³ , una potencia de dos :

Construcción de octágono mecano.

El octágono regular se puede construir con barras de mecano . Se requieren doce barras de tamaño 4, tres barras de tamaño 5 y dos barras de tamaño 6.

Cada lado de un octágono regular subtiende medio ángulo recto en el centro del círculo que conecta sus vértices. Por lo tanto, su área se puede calcular como la suma de 8 triángulos isósceles, lo que lleva al resultado:

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

para un octágono del lado a .

Coordenadas estándar

Las coordenadas para los vértices de un octágono regular centrado en el origen y con longitud de lado 2 son:

• (± 1, ± (1+ √ 2 ))
• (± (1+ √ 2 ), ± 1).

Disección

Proyección de 8 cubos	Disección de 24 rombos
	Regular	Isotoxal

Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. ^[4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octágono regular , m = 4, y se puede dividir en 6 rombos, con un ejemplo que se muestra a continuación. Esta descomposición puede verse como 6 de 24 caras en un plano de proyección del polígono de Petrie del tesseract . La lista (secuencia A006245 en la OEIS ) define el número de soluciones como 8, por las 8 orientaciones de esta disección. Estos cuadrados y rombos se utilizan en los mosaicos de Ammann-Beenker .

Octágono regular disecado

Tesseract

4 rombos y 2 cuadrados

Octágono sesgado

Un octágono sesgado regular visto como bordes de un antiprisma cuadrado , simetría D _4d , [2 ⁺ , 8], (2 * 4), orden 16.

Un octágono sesgado es un polígono sesgado con 8 vértices y aristas, pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal octágono no está generalmente definido. Un octágono en zig-zag sesgado tiene vértices que alternan entre dos planos paralelos.

Un octágono sesgado regular es transitivo a vértices con longitudes de borde iguales. En 3 dimensiones será un octágono sesgado en zig-zag y se puede ver en los vértices y bordes laterales de un antiprisma cuadrado con la misma simetría D _4d , [2 ⁺ , 8], orden 16.

Polígonos de Petrie

El octágono sesgado regular es el polígono de Petrie para estos politopos regulares y uniformes de dimensiones superiores , que se muestran en estas proyecciones ortogonales sesgadas de los planos A ₇ , B ₄ y D ₅ Coxeter .

A 7	D 5	B 4
7-simplex	5-demicubo	16 celdas	Tesseract

Simetría del octágono

Simetría

Las 11 simetrías de un octágono regular. Las líneas de reflejos son azules a través de los vértices, violetas a través de los bordes y las órdenes de giro se dan en el centro. Los vértices están coloreados por su posición de simetría.

El octágono regular tiene simetría Dih ₈ , orden 16. Hay 3 subgrupos diedros: Dih ₄ , Dih ₂ y Dih ₁ , y 4 subgrupos cíclicos : Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ y Z ₁ , el último que implica que no hay simetría .

Octágonos de ejemplo por simetría

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

En el octágono regular, hay 11 simetrías distintas. John Conway etiqueta la simetría completa como r16 . ^[5] Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares) Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central. La simetría completa de la forma regular es r16 y ninguna simetría se etiqueta a1 .

Los octágonos de alta simetría más comunes son p8 , un octágono isogonal construido por cuatro espejos que puede alternar bordes largos y cortos, y d8 , un octágono isotoxal construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del octágono regular.

La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g8 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .

Usos de octágonos

El plano de planta octogonal, Cúpula de la Roca.

La forma octogonal se utiliza como elemento de diseño en arquitectura. La Cúpula de la Roca tiene una característica planta octogonal. La Torre de los Vientos en Atenas es otro ejemplo de estructura octogonal. El plan octogonal también ha estado en la arquitectura de la iglesia como la Catedral de San Jorge, Addis Abeba , Basílica de San Vitale (en Ravenna, Italia), Castel del Monte (Apulia, Italia), Baptisterio de Florencia , Iglesia Zum Friedefürsten (Alemania) y un número de iglesias octogonales en Noruega . El espacio central de la Catedral de Aquisgrán , la Capilla Palatina Carolingia , tiene un plano octogonal regular. Los usos de octágonos en iglesias también incluyen elementos de diseño menores, como el ábside octogonal de la catedral de Nidaros .

Arquitectos como John Andrews han utilizado diseños de pisos octogonales en edificios para separar funcionalmente las áreas de oficinas de los servicios del edificio, en particular la sede de Intelsat en Washington DC, las oficinas de Callam en Canberra y las oficinas de Octagon en Parramatta , Australia.

Otros usos

• Los paraguas suelen tener un contorno octogonal.

• El famoso diseño de la alfombra Bukhara incorpora un motivo octogonal de "pie de elefante".

• 

  El trazado de las calles y bloques de Barcelona, 's Eixample distrito se basa en octógonos no regulares

• Janggi usa piezas octogonales.

• Las máquinas de lotería japonesas suelen tener forma octogonal.

• 

  Pare la muestra utilizada en Inglés países hablantes de, al igual que en la mayoría de los países europeos

• 

  Un icono de una señal de pare con una mano en el medio.

• 

  Los trigramas del bagua taoísta a menudo se organizan de forma octagonal

• Famosa copa de oro octogonal del naufragio de Belitung

• Las clases en Shimer College se llevan a cabo tradicionalmente alrededor de mesas octagonales.

• 

  El Laberinto de la Catedral de Reims con forma casi octogonal.

• El movimiento de los joysticks analógicos del controlador de Nintendo 64 , el controlador de GameCube , el Wii Nunchuk y el controlador Classic está restringido por un área octagonal girada, lo que permite que el joystick se mueva en solo ocho direcciones diferentes.

Figuras derivadas

• 

  El mosaico cuadrado truncado tiene 2 octágonos alrededor de cada vértice.
  

• 

  Un prisma octogonal contiene dos caras octogonales.
  

• 

  Un antiprisma octogonal contiene dos caras octogonales.
  

• 

  El cuboctaedro truncado contiene 6 caras octagonales.
  

• 

  El panal cúbico omnitruncado
  

Politopos relacionados

El octágono , como un cuadrado truncado , es el primero en una secuencia de hipercubos truncados :

Hipercubos truncados

Imagen								...
Nombre	Octágono	Cubo truncado	Tesseract truncado	5 cubos truncados	6 cubos truncados	7 cubos truncados	8 cubos truncados
Diagrama de Coxeter
Figura de vértice	() v ()	() v {}	() v {3}	() v {3,3}	() v {3,3,3}	() v {3,3,3,3}	() v {3,3,3,3,3}

Como cuadrado expandido , también es el primero en una secuencia de hipercubos expandidos:

Hipercubos expandidos

							...
Octágono	Rombicuboctaedro	Tesseract runcinado	5 cubos estericados	6 cubos pentelados	7-cubo embriagado	8 cubos heptelados

Ver también

• Piscina de parachoques
• Casa octágono
• Número octagonal
• Octagrama
• Octaedro , forma 3D con ocho caras.
• Oktogon , una importante intersección en Budapest , Hungría
• Rub el Hizb (también conocido como Al Quds Star y Octa Star)
• Octágono suavizado

Referencias

1. Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros , Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
2. Dao Thanh Oai (2015), "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos", Forum Geometricorum 15, 105-114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html
3. Weisstein, Eric. "Octágono." De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Octagon.html
4. Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
5. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN  978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)

enlaces externos

• Calculadora de octágono
• Definición y propiedades de un octágono con animación interactiva