En teoría de números , un número octaédrico es un número figurado que representa el número de esferas en un octaedro formado a partir de esferas muy compactas . El n- ésimo número octaédricose puede obtener mediante la fórmula: [1]
Los primeros números octaédricos son:
Propiedades y aplicaciones
Los números octaédricos tienen una función generadora
Sir Frederick Pollock conjeturó en 1850 que todo entero positivo es la suma de un máximo de 7 números octaédricos. [2] Esta afirmación, la conjetura de los números octaédricos de Pollock , se ha demostrado que es cierta para todos, excepto para un número finito de números. [3]
En química , los números octaédricos pueden usarse para describir el número de átomos en grupos octaédricos; en este contexto se les llama números mágicos . [4] [5]
Relación con otros números figurados
Pirámides cuadradas
Un empaque octaédrico de esferas se puede dividir en dos pirámides cuadradas , una boca abajo debajo de la otra, dividiéndola a lo largo de una sección transversal cuadrada. Por lo tanto, el n- ésimo número octaédricose puede obtener sumando dos números piramidales cuadrados consecutivos : [1]
Tetraedro
Si es el n- ésimo número octaédrico yes el n- ésimo número tetraédrico entonces
Esto representa el hecho geométrico de que pegar un tetraedro en cada una de las cuatro caras no adyacentes de un octaedro produce un tetraedro del doble de tamaño.
También es posible otra relación entre números octaédricos y números tetraédricos, basada en el hecho de que un octaedro puede dividirse en cuatro tetraedros, cada uno con dos caras originales adyacentes (o alternativamente, basado en el hecho de que cada número piramidal cuadrado es la suma de dos tetraedros números):
Cubos
Si dos tetraedros están unidos a caras opuestas de un octaedro, el resultado es un romboedro . [6] El número de esferas compactas en el romboedro es un cubo , lo que justifica la ecuación
Cuadrados centrados
La diferencia entre dos números octaédricos consecutivos es un número cuadrado centrado : [1]
Por lo tanto, un número octaédrico también representa el número de puntos en una pirámide cuadrada formada apilando cuadrados centrados; por eso, en su libro Arithmeticorum libri duo (1575), Francesco Maurolico llamó a estos números "pyramides quadratae secundae". [7]
El número de cubos en un octaedro formado apilando cuadrados centrados es un número octaédrico centrado , la suma de dos números octaédricos consecutivos. Estos números son
dado por la fórmula
- para n = 1, 2, 3, ...
Historia
El primer estudio de los números octaédricos parece haber sido realizado por René Descartes , hacia 1630, en su De solidorum elementis . Antes de Descartes, los antiguos griegos y Johann Faulhaber habían estudiado los números figurados , pero solo para los números poligonales , piramidales y cubos . Descartes introdujo el estudio de los números figurados basados en los sólidos platónicos y algunos de los poliedros semirregulares ; su trabajo incluyó los números octaédricos. Sin embargo, De solidorum elementis se perdió y no se redescubrió hasta 1860. Mientras tanto, los números octaédricos habían sido estudiados nuevamente por otros matemáticos, entre ellos Friedrich Wilhelm Marpurg en 1774, Georg Simon Klügel en 1808 y Sir Frederick Pollock en 1850. [8 ]
Referencias
- ^ a b c Conway, John Horton ; Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Springer-Verlag, pág. 50 , ISBN 978-0-387-97993-9.
- ^ Dickson, LE (2005), Análisis diofántico , Historia de la teoría de los números , 2 , Nueva York: Dover, págs. 22-23.
- ^ Elessar Brady, Zarathustra (2016), "Sumas de siete números octaédricos", Journal of the London Mathematical Society , Segunda Serie, 93 (1): 244-272, arXiv : 1509.04316 , doi : 10.1112 / jlms / jdv061 , MR 3455791
- ^ Teo, Boon K .; Sloane, NJA (1985), "Números mágicos en cúmulos poligonales y poliédricos" (PDF) , Química inorgánica , 24 (26): 4545–4558, doi : 10.1021 / ic00220a025 , archivado desde el original (PDF) en 2012-03- 13 , consultado el 8 de abril de 2011.
- ^ Feldheim, Daniel L .; Foss, Colby A. (2002), Nanopartículas metálicas: síntesis, caracterización y aplicaciones , CRC Press, p. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3.
- ^ Burke, John G. (1966), Orígenes de la ciencia de los cristales , University of California Press, p. 88.
- ^ Tablas de secuencias de enteros Archivado el 7 de septiembre de 2012 en archive.today de Arithmeticorum libri duo , consultado el 7 de abril de 2011.
- ^ Federico, Pasquale Joseph (1982), Descartes sobre los poliedros: un estudio del "De solidorum elementis" , Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, 4 , Springer, p. 118
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número octaédrico" . MathWorld .