Límite unilateral

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La función f ( x ) = x ² + signo ( x ) tiene un límite izquierdo de -1, un límite derecho de +1 y un valor de función de 0 en el punto x = 0.

En cálculo , un límite unilateral es cualquiera de los dos límites de una función f ( x ) de una variable real x cuando x se acerca a un punto especificado ya sea por la izquierda o por la derecha.

El límite cuando x disminuye en valor acercándose a a ( x se acerca a a "desde la derecha" o "desde arriba") se puede denotar:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\ }$o o o${\displaystyle \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\searrow a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x{\underset {>}{\to }}a}f(x)}$

El límite cuando x aumenta en valor acercándose a a ( x se acerca a a "desde la izquierda" o "desde abajo") se puede denotar:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\ }$o o o${\displaystyle \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\to }}a}f(x)}$

En la teoría de la probabilidad , es común utilizar la notación corta:

${\displaystyle f(x-)}$para el límite izquierdo y para el límite derecho.${\displaystyle f(x+)}$

Los dos límites unilaterales existen y son iguales si existe el límite de f ( x ) cuando x se acerca a a . En algunos casos en los que el límite

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$

no existe, no obstante, existen los dos límites unilaterales. En consecuencia, el límite cuando x se acerca a a se denomina a veces "límite de dos lados".

En algunos casos existe uno de los dos límites unilaterales y el otro no, y en algunos casos ninguno.

El límite del lado derecho se puede definir rigurosamente como

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

y el límite del lado izquierdo se puede definir rigurosamente como

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

donde I representa algún intervalo que está dentro del dominio de f .

Ejemplos

Gráfico de la función ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x})}$

Un ejemplo de una función con diferentes límites unilaterales es el siguiente (ver imagen):

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,}$

mientras que

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.}$

Relación con la definición topológica de límite

El límite unilateral de un punto p corresponde a la definición general de límite , con el dominio de la función restringido a un lado, ya sea permitiendo que el dominio de la función sea un subconjunto del espacio topológico, o considerando un subespacio, incluida la p . Alternativamente, se puede considerar el dominio con una topología de intervalo semiabierto .

Teorema de Abel

Un teorema notable que trata los límites unilaterales de ciertas series de potencias en los límites de sus intervalos de convergencia es el teorema de Abel .

Ver también

• Línea real proyectada extendida
• Semidiferenciabilidad
• Limit superior and limit inferior

External links

• "One-sided limit". PlanetMath.