En geometría , la notación orbifold (o firma orbifold ) es un sistema, inventado por el matemático William Thurston y promovido por John Conway , para representar tipos de grupos de simetría en espacios bidimensionales de curvatura constante. La ventaja de la notación es que describe estos grupos de una manera que indica muchas de las propiedades de los grupos: en particular, sigue a William Thurston al describir el orbifold obtenido al tomar el cociente del espacio euclidiano por el grupo en consideración.
Los grupos representables en esta notación incluyen los grupos de puntos en la esfera (), los grupos de frisos y grupos de papel tapiz del plano euclidiano (), y sus análogos en el plano hiperbólico ().
Definición de la notación
Los siguientes tipos de transformación euclidiana pueden ocurrir en un grupo descrito por notación orbifold:
- reflexión a través de una línea (o plano)
- traducción por un vector
- rotación de orden finito alrededor de un punto
- rotación infinita alrededor de una línea en 3 espacios
- deslizamiento-reflexión, es decir, reflexión seguida de traducción.
Se supone que todas las traslaciones que ocurren forman un subgrupo discreto de las simetrías de grupo que se describen.
Cada grupo se denota en notación orbifold mediante una cadena finita formada por los siguientes símbolos:
- enteros positivos
- el símbolo del infinito ,
- el asterisco , *
- el símbolo o (un círculo sólido en documentos antiguos), que se llama maravilla y también asa porque topológicamente representa una superficie cerrada en forma de toro (1 asa). Los patrones se repiten por dos traducciones.
- el símbolo (un círculo abierto en documentos más antiguos), que se llama milagro y representa una cruz topológica donde un patrón se repite como una imagen de espejo sin cruzar una línea de espejo.
Una cadena escrita en negrita representa un grupo de simetrías de espacio tridimensional euclidiano. Una cadena no escrita en negrita representa un grupo de simetrías del plano euclidiano, que se supone que contiene dos traducciones independientes.
Cada símbolo corresponde a una transformación distinta:
- un número entero n a la izquierda de un asterisco indica una rotación de orden n alrededor de un punto de giro
- un número entero n a la derecha de un asterisco indica una transformación de orden 2 n que gira alrededor de un punto caleidoscópico y se refleja a través de una línea (o plano)
- un indica un reflejo de deslizamiento
- el símbolo indica simetría rotacional infinita alrededor de una línea; solo puede ocurrir para grupos de caras en negrita. Por abuso del lenguaje, podríamos decir que tal grupo es un subgrupo de simetrías del plano euclidiano con una sola traducción independiente. Los grupos de frisos ocurren de esta manera.
- el símbolo excepcional o indica que hay precisamente dos traducciones linealmente independientes.
Buenos orbifolds
Un símbolo orbifold se considera bueno si no es uno de los siguientes: p , pq , * p , * pq , para p, q≥2 y p ≠ q .
Quiralidad y aquiralidad
Un objeto es quiral si su grupo de simetría no contiene reflejos; de lo contrario, se llama aquiral . El correspondiente orbifold es orientable en el caso quiral y no orientable en otro caso.
La característica de Euler y el orden
La característica de Euler de un orbifold se puede leer en su símbolo de Conway, como sigue. Cada característica tiene un valor:
- n sin o antes de un asterisco cuenta como
- n después de un asterisco cuenta como
- asterisco y contar como 1
- o cuenta como 2.
Restar la suma de estos valores de 2 da la característica de Euler.
Si la suma de los valores de las características es 2, el orden es infinito, es decir, la notación representa un grupo de papel tapiz o un grupo de friso. De hecho, el "Teorema mágico" de Conway indica que los 17 grupos de papel tapiz son exactamente aquellos con la suma de los valores de las características iguales a 2. De lo contrario, el orden es 2 dividido por la característica de Euler.
Grupos iguales
Los siguientes grupos son isomorfos:
- 1 * y * 11
- 22 y 221
- * 22 y * 221
- 2 * y 2 * 1.
Esto se debe a que la rotación de 1 vez es la rotación "vacía".
Grupos bidimensionales
Un copo de nieve perfecto tendría * 6 • simetría, | El pentágono tiene simetría * 5 •, toda la imagen con flechas 5 •. | La bandera de Hong Kong tiene una simetría de rotación de 5 veces, 5 •. |
La simetría de un objeto 2D sin simetría de traslación se puede describir mediante el tipo de simetría 3D agregando una tercera dimensión al objeto que no agrega ni estropea la simetría. Por ejemplo, para una imagen 2D, podemos considerar una caja de cartón con esa imagen mostrada en un lado; la forma de la caja debe ser tal que no estropee la simetría, o puede imaginarse que es infinita. Por tanto, tenemos n • y * n •. La viñeta (•) se agrega en grupos unidimensionales y bidimensionales para implicar la existencia de un punto fijo. (En tres dimensiones, estos grupos existen en un orbifold digital de n veces y se representan como nn y * nn ).
De manera similar, una imagen 1D se puede dibujar horizontalmente en una caja de cartón, con una disposición para evitar una simetría adicional con respecto a la línea de la imagen, por ejemplo, dibujando una barra horizontal debajo de la imagen. Por tanto, los grupos de simetría discreta en una dimensión son * •, * 1 •, ∞ • y * ∞ •.
Otra forma de construir un objeto 3D a partir de un objeto 1D o 2D para describir la simetría es tomando el producto cartesiano del objeto y un objeto asimétrico 2D o 1D, respectivamente.
Tablas de correspondencia
Esférico
(* 11), C 1v = C s | (* 22), C 2v | (* 33), C 3v | (* 44), C 4v | (* 55), C 5v | (* 66), C 6v |
---|---|---|---|---|---|
Orden 2 | Orden 4 | Orden 6 | Orden 8 | Orden 10 | Orden 12 |
(* 221), D 1h = C 2v | (* 222), D 2 h | (* 223), D 3 h | (* 224), D 4 h | (* 225), D 5h | (* 226), D 6h |
Orden 4 | Orden 8 | Orden 12 | Orden 16 | Orden 20 | Orden 24 |
(* 332), T d | (* 432), O h | (* 532), yo h | |||
Orden 24 | Orden 48 | Orden 120 |
Firma Orbifold | Coxeter | Schönflies | Hermann – Mauguin | Pedido |
---|---|---|---|---|
Grupos poliédricos | ||||
* 532 | [3,5] | Yo h | 53m | 120 |
532 | [3,5] + | I | 532 | 60 |
* 432 | [3,4] | O h | m3m | 48 |
432 | [3,4] + | O | 432 | 24 |
* 332 | [3,3] | T d | 4 3m | 24 |
3 * 2 | [3 + , 4] | T h | m3 | 24 |
332 | [3,3] + | T | 23 | 12 |
Grupos diedros y cíclicos: n = 3,4,5 ... | ||||
* 22n | [2, n] | D nh | n / mmm o 2 n m2 | 4n |
2 * n | [2 + , 2n] | D nd | 2 n 2 mo n m | 4n |
22n | [2, n] + | D n | n2 | 2n |
* nn | [norte] | C nv | Nuevo Méjico | 2n |
norte* | [n + , 2] | C nh | n / m o 2 n | 2n |
n × | [2 + , 2n + ] | S 2n | 2 n o n | 2n |
nn | [n] + | C n | norte | norte |
Casos especiales | ||||
* 222 | [2,2] | D 2h | 2 / mmm o 2 2 m2 | 8 |
2 * 2 | [2 + , 4] | D 2d | 2 2 2 mo 2 m | 8 |
222 | [2,2] + | D 2 | 22 | 4 |
* 22 | [2] | C 2v | 2m | 4 |
2 * | [2 + , 2] | C 2h | 2 / m o 2 2 | 4 |
2 × | [2 + , 4 + ] | S 4 | 2 2 o 2 | 4 |
22 | [2] + | C 2 | 2 | 2 |
* 22 | [1,2] | D 1h = C 2v | 1 / mmm o 2 1 m2 | 4 |
2 * | [2 + , 2] | D 1d = C 2h | 2 1 2 mo 1 m | 4 |
22 | [1,2] + | D 1 = C 2 | 12 | 2 |
* 1 | [] | C 1v = C s | 1 m | 2 |
1 * | [2,1 + ] | C 1h = C s | 1 / m o 2 1 | 2 |
1 × | [2 + , 2 + ] | S 2 = C yo | 2 1 o 1 | 2 |
1 | [] + | C 1 | 1 | 1 |
Plano euclidiano
Grupos de friso
IUC | Timonel | Schön * Struct. | Diagrama § Orbifold | Ejemplos y apodo de Conway [2] | Descripción |
---|---|---|---|---|---|
p1 | [∞] + | C ∞ Z ∞ | ∞∞ | FFFFFFFF salto | (T) Traducciones solamente: Este grupo se genera individualmente, por una traslación por la distancia más pequeña sobre la cual el patrón es periódico. |
p11g | [∞ + , 2 + ] | S ∞ Z ∞ | ∞ × | Γ L Γ L Γ L Γ L paso | (TG) Reflexiones de deslizamiento y traslaciones: este grupo se genera individualmente, mediante una reflexión de deslizamiento, y las traducciones se obtienen combinando dos reflejos de deslizamiento. |
p1m1 | [∞] | C ∞v Dih ∞ | * ∞∞ | Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ movimiento lateral | (TV) Líneas de reflexión verticales y traslaciones: el grupo es el mismo que el grupo no trivial en el caso unidimensional; se genera mediante una traslación y una reflexión en el eje vertical. |
p2 | [∞, 2] + | D ∞ Dih ∞ | 22∞ | SSSSSSSS salto de hilado | (TR) Traslaciones y rotaciones de 180 °: El grupo se genera mediante una traslación y una rotación de 180 °. |
p2mg | [∞, 2 + ] | D ∞D Dih ∞ | 2 * ∞ | V Λ V Λ V Λ V Λ sidle giratorio | (TRVG) Líneas de reflexión vertical, reflejos de deslizamiento, traslaciones y rotaciones de 180 °: las traslaciones aquí surgen de los reflejos de deslizamiento, por lo que este grupo se genera mediante un reflejo de deslizamiento y una rotación o una reflexión vertical. |
p11m | [∞ + , 2] | C ∞h Z ∞ × Dih 1 | ∞ * | BBBBBBBB saltar | (THG) Traslaciones, Reflexiones horizontales, Reflexiones de deslizamiento: Este grupo se genera por una traslación y la reflexión en el eje horizontal. La reflexión de deslizamiento surge aquí como la composición de la traducción y la reflexión horizontal. |
p2mm | [∞, 2] | D ∞h Dih ∞ × Dih 1 | * 22∞ | HHHHHHHH salto giratorio | (TRHVG) Líneas de reflexión horizontales y verticales, traslaciones y rotaciones de 180 °: este grupo requiere tres generadores, con un grupo electrógeno que consta de una traslación, la reflexión en el eje horizontal y una reflexión en un eje vertical. |
- * La notación de grupo de puntos de Schönflies se extiende aquí como casos infinitos de simetrías de puntos diédricos equivalentes
- § El diagrama muestra un dominio fundamental en amarillo, con líneas de reflexión en azul, líneas de reflexión de deslizamiento en verde discontinuo, normales de traslación en rojo y puntos de giro doble como pequeños cuadrados verdes.
Grupos de fondos de pantalla
(* 442), p4m | (4 * 2), p4g |
---|---|
(* 333), p3m | (632), pág. |
Firma Orbifold | Coxeter | Hermann– Mauguin | Speiser Niggli | Polya Guggenhein | Fejes Toth Cadwell |
---|---|---|---|---|---|
* 632 | [6,3] | p6m | C (I) 6v | D 6 | W 1 6 |
632 | [6,3] + | p6 | C (I) 6 | C 6 | W 6 |
* 442 | [4,4] | p4m | C (I) 4 | D * 4 | W 1 4 |
4 * 2 | [4 + , 4] | p4g | C II 4v | D o 4 | W 2 4 |
442 | [4,4] + | p4 | C (I) 4 | C 4 | W 4 |
* 333 | [3 [3] ] | p3m1 | C II 3v | D * 3 | W 1 3 |
3 * 3 | [3 + , 6] | p31m | C I 3v | D o 3 | W 2 3 |
333 | [3 [3] ] + | p3 | C I 3 | C 3 | W 3 |
* 2222 | [∞, 2, ∞] | mmm | C I 2v | D 2 kkkk | W 2 2 |
2 * 22 | [∞, 2 + , ∞] | cmm | C IV 2v | D 2 kg kg | W 1 2 |
22 * | [(∞, 2) + , ∞] | pmg | C III 2v | D 2 kkgg | W 3 2 |
22 × | [∞ + , 2 + , ∞ + ] | pgg | C II 2v | D 2 gggg | W 4 2 |
2222 | [∞, 2, ∞] + | p2 | C (I) 2 | C 2 | W 2 |
** | [∞ + , 2, ∞] | pm | C I s | D 1 kk | W 2 1 |
* × | [∞ + , 2 + , ∞] | cm | C III s | D 1 kg | W 1 1 |
× × | [∞ + , (2, ∞) + ] | pg | C II 2 | D 1 gg | W 3 1 |
o | [∞ + , 2, ∞ + ] | p1 | C (I) 1 | C 1 | W 1 |
Plano hiperbólico
Ejemplo de triángulos rectángulos (* 2pq) | ||||
---|---|---|---|---|
* 237 | * 238 | * 239 | * 23∞ | |
* 245 | * 246 | * 247 | * 248 | * ∞42 |
* 255 | * 256 | * 257 | * 266 | * 2∞∞ |
Ejemplo de triángulos generales (* pqr) | ||||
* 334 | * 335 | * 336 | * 337 | * 33∞ |
* 344 | * 366 | * 3∞∞ | * 6 3 | * ∞ 3 |
Ejemplo de polígonos superiores (* pqrs ...) | ||||
* 2223 | * (23) 2 | * (24) 2 | * 3 4 | * 4 4 |
* 2 5 | * 2 6 | * 2 7 | * 2 8 | |
* 222∞ | * (2∞) 2 | * ∞ 4 | * 2 ∞ | * ∞ ∞ |
Algunos primeros grupos hiperbólicos, ordenados por su característica de Euler son:
-1 / χ | Orbifolds | Coxeter |
---|---|---|
84 | * 237 | [7,3] |
48 | * 238 | [8,3] |
42 | 237 | [7,3] + |
40 | * 245 | [5,4] |
36 - 26,4 | * 239, * 2 3 10 | [9,3], [10,3] |
26,4 | * 2 3 11 | [11,3] |
24 | * 2 3 12, * 246, * 334, 3 * 4, 238 | [12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3 + , 8], [8,3] + |
22,3 - 21 | * 2 3 13, * 2 3 14 | [13,3], [14,3] |
20 | * 2 3 15, * 255, 5 * 2, 245 | [15,3], [5,5], [5 + , 4], [5,4] + |
19,2 | * 2 3 16 | [16,3] |
18 + 2/3 | * 247 | [7,4] |
18 | * 2 3 18, 239 | [18,3], [9,3] + |
17,5 - 16,2 | * 2 3 19, * 2 3 20, * 2 3 21, * 2 3 22, * 2 3 23 | [19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3] |
dieciséis | * 2 3 24, * 248 | [24,3], [8,4] |
15 | * 2 3 30, * 256, * 335, 3 * 5, 2 3 10 | [30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3 + , 10], [10,3] + |
14 + 2/5 - 13 + 1/3 | * 2 3 36 ... * 2 3 70, * 249, * 2 4 10 | [36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4] |
13 + 1/5 | * 2 3 66, 2 3 11 | [66,3], [11,3] + |
12 + 8/11 | * 2 3 105, * 257 | [105,3], [7,5] |
12 + 4/7 | * 2 3 132, * 2 4 11 ... | [132,3], [11,4], ... |
12 | * 23∞, * 2 4 12, * 266, 6 * 2, * 336, 3 * 6, * 344, 4 * 3, * 2223, 2 * 23, 2 3 12, 246, 334 | [∞, 3] [12,4], [6,6], [6 + , 4], [(6,3,3)], [3 + , 12], [(4,4,3)] , [4 + , 6], [∞, 3, ∞], [12,3] + , [6,4] + [(4,3,3)] + |
... |
Ver también
- Mutación de los orbifolds
- Notación fibrifold : una extensión de la notación orbifold para grupos de espacios 3D
Referencias
- ^ Simetrías de las cosas, Apéndice A, página 416
- ↑ Frieze Patterns El matemático John Conway creó nombres que se relacionan con las pisadas para cada uno de los grupos de frisos.
- ^ Simetrías de las cosas, Apéndice A, página 416
- ^ Simetrías de las cosas, Capítulo 18, Más sobre grupos hiperbólicos, Enumeración de grupos hiperbólicos, p239
- John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson y William P. Thurston. En Orbifolds tridimensionales y grupos espaciales. Contribuciones al álgebra y la geometría, 42 (2): 475-507, 2001.
- JH Conway, DH Huson. La notación orbifold para grupos bidimensionales. Química estructural, 13 (3-4): 247-257, agosto de 2002.
- JH Conway (1992). "La notación orbifold para grupos de superficies". En: MW Liebeck y J. Saxl (eds.), Grupos, combinatoria y geometría , Actas del Simposio LMS de Durham, 5 al 15 de julio, Durham, Reino Unido, 1990; London Math. Soc. Serie de notas de conferencias 165 . Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge. págs. 438–447
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
- Hughes, Sam (2019), Cohomología de grupos fucsianos y grupos cristalográficos no euclidianos , arXiv : 1910.00519 , Bibcode : 2019arXiv191000519H
enlaces externos
- Una guía de campo para los orbifolds (Notas de la clase sobre "Geometría e imaginación" en Minneapolis, con John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman y Bill Thurston, del 17 al 28 de junio de 1991. Véase también PDF, 2006 )
- Software 2DTiler para visualizar mosaicos bidimensionales del plano y editar sus grupos de simetría en notación orbifold