Orden de magnitud

La escala de todo. Comienza con el espacio-tiempo (espuma cuántica) y se mueve a través de pequeñas partículas elementales, partículas elementales intermedias, partículas elementales grandes, componentes de partículas compuestas, los componentes de átomos, ondas electromagnéticas, átomos simples, átomos complejos, moléculas, virus pequeños, virus grandes, cromosomas, células, pelos, partes del cuerpo, especies, grupos de especies, áreas pequeñas como cráteres, áreas grandes como masas terrestres, planetas, órbitas, estrellas, sistemas planetarios pequeños, sistemas planetarios intermedios, sistemas planetarios grandes, colecciones de estrellas, cúmulos de estrellas, galaxias, grupos de galaxias, cúmulos de galaxias, supercúmulos de galaxias, la red cósmica, volúmenes de Hubble y termina con el Universo.

Un orden de magnitud es una aproximación del logaritmo de un valor relativo a algún valor de referencia entendido contextualmente, generalmente diez, interpretado como la base del logaritmo y el representante de valores de magnitud uno. Las distribuciones logarítmicas son de naturaleza común y considerar el orden de magnitud de los valores muestreados a partir de dicha distribución puede ser más intuitivo. Cuando el valor de referencia es diez, el orden de magnitud puede entenderse como el número de dígitos en la representación en base 10 del valor. De manera similar, si el valor de referencia es una de ciertas potencias de dos, la magnitud puede entenderse como la cantidad de memoria de la computadora necesaria para almacenar el valor entero exacto.

Las diferencias en el orden de magnitud se pueden medir en una escala logarítmica de base 10 en " décadas " (es decir, factores de diez). ^[1] Se pueden encontrar ejemplos de números de diferentes magnitudes en Órdenes de magnitud (números) .

Definición [ editar ]

Generalmente, el orden de magnitud de un número es la potencia más pequeña de 10 que se usa para representar ese número. ^[2] Para calcular el orden de magnitud de un número , primero se expresa el número de la siguiente forma: ${\ Displaystyle N}$

{\ Displaystyle N = a \ times 10 ^ {b}}

donde . Luego, representa el orden de magnitud del número. El orden de magnitud puede ser cualquier número entero . La siguiente tabla enumera el orden de magnitud de algunos números a la luz de esta definición: ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {10}}} \ leq a <{\ sqrt {10}}}$ ${\ Displaystyle b}$

Número ${\ Displaystyle N}$	Expresión en ${\ Displaystyle N = a \ times 10 ^ {b}}$	Orden de magnitud ${\ Displaystyle b}$
0,2	2 × 10 ⁻¹	−1
1	1 × 10 ⁰	0
5	0,5 × 10 ¹	1
6	0,6 × 10 ¹	1
31	3,1 × 10 ¹	1
32	0,32 × 10 ²	2
999	0,999 × 10 ³	3
1000	1 × 10 ³	3

La media geométrica de y es , lo que significa que un valor de exactamente (es decir, ) representa un "punto medio" geométrico dentro del rango de valores posibles de . ${\ displaystyle 10 ^ {b-1/2}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {b + 1/2}}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {b}}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {b}}$ ${\ Displaystyle a = 1}$ ${\ Displaystyle a}$

Algunos usan una definición más simple donde , quizás porque la media aritmética de y se acerca a aumentar . Esta definición tiene el efecto de reducir ligeramente los valores de : ${\ Displaystyle 0.5 <a \ leq 5}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {b}}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {b + c}}$ $5\times 10^{b+c-1}$ $c$ $b$

Número $N$	Expresión en $N=a\times 10^{b}$	Orden de magnitud $b$
0,2	2 × 10 ⁻¹	−1
1	1 × 10 ⁰	0
5	5 × 10 ⁰	0
6	0,6 × 10 ¹	1
31	3,1 × 10 ¹	1
32	3,2 × 10 ¹	1
999	0,999 × 10 ³	3
1000	1 × 10 ³	3

Sin embargo, otros se restringen a valores donde , haciendo que el orden de magnitud de un número sea exactamente igual a su parte exponente en notación científica . $a$ $1\leq a<10$

Usos [ editar ]

Se utilizan órdenes de magnitud para hacer comparaciones aproximadas. Si los números difieren en un orden de magnitud, x es aproximadamente diez veces diferente en cantidad que y . Si los valores difieren en dos órdenes de magnitud, difieren en un factor de aproximadamente 100. Dos números del mismo orden de magnitud tienen aproximadamente la misma escala: el valor mayor es menos de diez veces el valor menor.

En palabras ( escala larga )	En palabras ( escala corta )	Prefijo (símbolo)	Decimal	Poder de diez	Orden de magnitud
cuatrillonésimo	septillonésimo	yocto- (y)	0.000 000 000 000 000 000 000 001	10 ^-24	−24
trilliardth	sextillonésimo	zepto- (z)	0.000 000 000 000 000 000 001	10 ⁻²¹	−21
billonésima	quintillonésimo	atto- (a)	0.000 000 000 000 000 001	10 ⁻¹⁸	−18
billar	cuatrillonésimo	femto- (f)	0.000 000 000 000 001	10 ^-15	−15
billonésimo	billonésima	pico- (p)	0.000 000 000 001	10 ^-12	−12
millardo	billonésimo	nano- (n)	0,000 000 001	10 ⁻⁹	−9
millonésimo	millonésimo	micro- ( µ )	0.000 001	10 ⁻⁶	−6
milésimo	milésimo	mili- (m)	0,001	10 ⁻³	−3
centésimo	centésimo	centi- (c)	0,01	10 ^-2	−2
décimo	décimo	deci- (d)	0,1	10 ⁻¹	−1
uno	uno		1	10 ⁰	0
diez	diez	deca- (da)	10	10 ¹	1
centenar	centenar	hecto- (h)	100	10 ²	2
mil	mil	kilo- (k)	1000	10 ³	3
millón	millón	mega- (M)	1 000 000	10 ⁶	6
mil millones	mil millones	giga- (G)	1 000 000 000	10 ⁹	9
mil millones	trillón	tera- (T)	1 000 000 000 000	10 ¹²	12
de billar	cuatrillón	peta- (P)	1 000 000 000 000 000	10 ¹⁵	15
trillón	trillón	exa- (E)	1 000 000 000 000 000 000	10 ¹⁸	18
trilliard	sextillón	zetta- (Z)	1 000 000 000 000 000 000 000	10 ²¹	21
cuatrillón	septillón	yotta- (Y)	1 000 000 000 000 000 000 000 000	10 ²⁴	24
En palabras ( escala larga )	En palabras ( escala corta )	Prefijo (símbolo)	Decimal	Poder de diez	Orden de magnitud

Calculando el orden de magnitud [ editar ]

El orden de magnitud de un número es, intuitivamente hablando, el número de potencias de 10 contenidas en el número. Más precisamente, el orden de magnitud de un número se puede definir en términos del logaritmo común , generalmente como la parte entera del logaritmo, obtenido por truncamiento . Por ejemplo, el número4 000 000 tiene un logaritmo (en base 10) de 6.602; su orden de magnitud es 6. Al truncar, un número de este orden de magnitud está entre 10 ⁶ y 10 ⁷ . En un ejemplo similar, con la frase "Tenía un ingreso de siete cifras", el orden de magnitud es el número de cifras menos uno, por lo que se puede determinar muy fácilmente sin una calculadora hasta 6. Un orden de magnitud es una posición aproximada. en una escala logarítmica .

Estimación del orden de magnitud [ editar ]

Una estimación de orden de magnitud de una variable, cuyo valor preciso se desconoce, es una estimación redondeada a la potencia de diez más cercana. Por ejemplo, una estimación de orden de magnitud para una variable entre aproximadamente 3 mil millones y 30 mil millones (como la población humana de la Tierra ) es 10 mil millones . Para redondear un número a su orden de magnitud más cercano, se redondea su logaritmo al número entero más cercano. Por lo tanto4 000 000 , que tiene un logaritmo (en base 10) de 6.602, tiene 7 como su orden de magnitud más cercano, porque "más cercano" implica redondeo en lugar de truncamiento. Para un número escrito en notación científica, esta escala de redondeo logarítmico requiere redondear a la siguiente potencia de diez cuando el multiplicador es mayor que la raíz cuadrada de diez (aproximadamente 3,162). Por ejemplo, el orden de magnitud más cercano para1,7 × 10 ⁸ es 8, mientras que el orden de magnitud más cercano para3.7 × 10 ⁸ es 9. Una estimación de orden de magnitud a veces también se denomina aproximación de orden cero .

Diferencia de orden de magnitud [ editar ]

Una diferencia de orden de magnitud entre dos valores es un factor de 10. Por ejemplo, la masa del planeta Saturno es 95 veces la de la Tierra , por lo que Saturno es dos órdenes de magnitud más masiva que la Tierra. Las diferencias de orden de magnitud se denominan décadas cuando se miden en una escala logarítmica .

Órdenes de magnitud no decimales [ editar ]

Se pueden calcular otros órdenes de magnitud utilizando bases distintas de 10. Los antiguos griegos clasificaron el brillo nocturno de los cuerpos celestes en 6 niveles en los que cada nivel era la quinta raíz de cien (aproximadamente 2.512) tan brillante como el nivel de brillo más débil más cercano. y, por lo tanto, el nivel más brillante es 5 órdenes de magnitud más brillante que el más débil indica que es (100 ^1/5 ) ⁵ o un factor de 100 veces más brillante.

Los diferentes sistemas de numeración decimal del mundo utilizan una base más grande para visualizar mejor el tamaño del número y han creado nombres para los poderes de esta base más grande. La tabla muestra a qué número apunta el orden de magnitud para la base 10 y para la base1 000 000 . Se puede ver que el orden de magnitud está incluido en el nombre del número en este ejemplo, porque bi- significa 2 y tri- significa 3 (estos tienen sentido solo en la escala larga), y el sufijo -illion indica que la base es1 000 000 . Pero los nombres de números mil millones, trillones en sí mismos (aquí con otro significado que en el primer capítulo) no son nombres de órdenes de magnitudes, son nombres de "magnitudes", es decir, los números 1 000 000 000 000 etc.

Orden de magnitud	Es el registro 10 de	Es registro_{1 000 000} de	Escala corta	Escala larga
1	10	1 000 000	millón	millón
2	100	1 000 000 000 000	trillón	mil millones
3	1000	1 000 000 000 000 000 000	trillón	trillón

Las unidades SI de la tabla de la derecha se utilizan junto con los prefijos SI , que se diseñaron teniendo en cuenta principalmente magnitudes de base 1000. Los prefijos del estándar IEC con base 1024 se inventaron para su uso en tecnología electrónica.

Las antiguas magnitudes aparentes para el brillo de las estrellas utilizan la base y se invierten. Sin embargo, la versión modernizada se ha convertido en una escala logarítmica con valores no enteros. ${\sqrt[{5}]{100}}\approx 2.512$

Números extremadamente grandes [ editar ]

Para números extremadamente grandes , un orden de magnitud generalizado puede basarse en su doble logaritmo o superlogaritmo . Redondearlos hacia abajo a un número entero da categorías entre muy "números redondos", redondearlos al entero más cercano y aplicar la función inversa da el número redondo "más cercano".

El doble logaritmo produce las categorías:

..., 1,0023 a 1,023, 1,023 a 1,26, 1,26 a 10 10-10 ¹⁰ , 10 ¹⁰ -10 ¹⁰⁰ 10 ¹⁰⁰ -10¹⁰⁰⁰ , ...

(los dos primeros mencionados, y la extensión a la izquierda, pueden no ser muy útiles, simplemente demuestran cómo la secuencia continúa matemáticamente hacia la izquierda).

El superlogaritmo produce las categorías:

0–1, 1–10, 10–10 ¹⁰ , 10 ¹⁰ –10 ^{10 ¹⁰} , 10 ^{10 ¹⁰} –10 ^{10 ^{10 ¹⁰}} , ... o

0– ⁰ 10, ⁰ 10– ¹ 10, ¹ 10– ² 10, ² 10– ³ 10, ³ 10– ⁴ 10, ...

Los "puntos medios" que determinan qué número redondo está más cerca son en el primer caso:

1.076, 2.071, 1453, 4,20 × 10 ³¹ ,1,69 × 10 ³¹⁶ , ...

y, dependiendo del método de interpolación, en el segundo caso

−0,301, 0,5, 3,162, 1453 ,1 × 10 ¹⁴⁵³ , , , ... (véase la notación de números extremadamente grandes )

(10\uparrow )^{1}10^{1453}

(10\uparrow )^{2}10^{1453}

Para números extremadamente pequeños (en el sentido de cerca de cero) ningún método es adecuado directamente, pero se puede considerar el orden generalizado de magnitud del recíproco .

De manera similar a la escala logarítmica, se puede tener una escala logarítmica doble (se proporciona un ejemplo aquí ) y una escala superlogarítmica. Los intervalos anteriores tienen todos la misma longitud, con los "puntos medios" en realidad a mitad de camino. De manera más general, un punto a medio camino entre dos puntos corresponde a la media f generalizada con f ( x ) la función correspondiente log log x o slog x . En el caso de log log x , esta media de dos números (por ejemplo, 2 y 16 dando 4) no depende de la base del logaritmo, al igual que en el caso de log x ( media geométrica, 2 y 8 dando 4), pero a diferencia del caso de log log log x (4 y65 536 dando 16 si la base es 2, pero no de otra manera).

Ver también [ editar ]

Notación Big O
Decibel
Operadores y símbolos matemáticos en Unicode
Nombres de grandes números
Nombres de números pequeños
Sentido de los números
Órdenes de magnitud (energía)
Órdenes de magnitud (números)
Notación cientifica
Los símbolos Unicode para compatibilidad CJK incluyen símbolos de unidad SI
Valoración (álgebra) , una generalización algebraica de "orden de magnitud"
Escala (herramienta analítica)

Referencias [ editar ]

^ Brians, Paus. "Órdenes de Magnitud" . Consultado el 9 de mayo de 2013 .
^ "Orden de magnitud" . Wolfram MathWorld . Consultado el 3 de enero de 2017 . Los físicos e ingenieros usan la frase "orden de magnitud" para referirse a la potencia más pequeña de diez necesaria para representar una cantidad.

Lectura adicional [ editar ]

Asimov, Isaac , La medida del universo (1983).

Enlaces externos [ editar ]

La herramienta interactiva Scale of the Universe 2 desde una longitud de Planck de 10 a ³⁵ metros hasta un tamaño de universo de 10 ²⁷
Cosmos: un viaje dimensional ilustrado del microcosmos al macrocosmos , de Digital Nature Agency
Powers of 10 , una ilustración gráfica animada que comienza con una vista de la Vía Láctea a 10 ²³ metros y termina con partículas subatómicas a ^10-16 metros.
¿Qué es el orden de magnitud?

[1] Brians, Paus. "Órdenes de Magnitud" . Consultado el 9 de mayo de 2013 .

[2] "Orden de magnitud" . Wolfram MathWorld . Consultado el 3 de enero de 2017 . Los físicos e ingenieros usan la frase "orden de magnitud" para referirse a la potencia más pequeña de diez necesaria para representar una cantidad.

[1]

vtmiÓrdenes de magnitud
Cantidad	Aceleración Momento angular Área Tasa de bits Cargo Informática Divisa Actual Datos Densidad Energía / Densidad energética Entropía Fuerza Frecuencia Iluminancia Largo Luminancia Campo magnético Masa Molaridad Números Energía Presión Probabilidad Radiación Presión sonora Capacidad calorífica específica Velocidad Temperatura Hora Voltaje
Ver también	Cálculo del reverso del sobre Problema de fermi Potencias de 10 y décadas Décimo 100 1000000th Billonésimo Billonésima Prefijo métrico (SI) Escala macroscópica Escala microscópica
Relacionados	Sistema astronómico de unidades Ubicación de la Tierra en el Universo Cosmic View (libro de 1957) To the Moon and Beyond (película de 1964) Zoom cósmico (película de 1968) Powers of Ten (películas de 1968 y 1977) Viaje cósmico (documental de 1996) Ojo cósmico (2012)
Categoría