En matemáticas y programación de computadoras , el orden de operaciones (o precedencia de operadores ) es una colección de reglas que reflejan convenciones sobre qué procedimientos realizar primero para evaluar una expresión matemática dada .
Por ejemplo, en matemáticas y en la mayoría de los lenguajes informáticos, se concede mayor prioridad a la multiplicación que a la suma, y así ha sido desde la introducción de la notación algebraica moderna . [1] [2] Por lo tanto, la expresión 1 + 2 × 3 se interpreta que tiene el valor 1 + (2 × 3) = 7 , y no (1 + 2) × 3 = 9 . Cuando se introdujeron exponentes en los siglos XVI y XVII, se les dio prioridad sobre la suma y la multiplicación, y solo se podían colocar como superíndice a la derecha de su base. [1] Por lo tanto, 3 + 5 2 = 28 y 3 × 5 2 = 75 .
Estas convenciones existen para eliminar la ambigüedad de la notación, al tiempo que permiten que la notación sea lo más breve posible. Cuando se desee anular las convenciones de precedencia, o incluso simplemente enfatizarlas, se pueden usar paréntesis () para indicar un orden alternativo de operaciones (o simplemente para reforzar el orden predeterminado de operaciones). Por ejemplo, (2 + 3) × 4 = 20 fuerza que la suma preceda a la multiplicación, mientras que (3 + 5) 2 = 64 fuerza que la suma preceda a la exponenciación . Si se requieren varios pares de paréntesis en una expresión matemática (como en el caso de los paréntesis anidados), los paréntesis se pueden reemplazar por corchetes o llaves para evitar confusiones, como en [2 × (3 + 4)] - 5 = 9 . [3]
Definición
El orden de las operaciones, que se utiliza en matemáticas, ciencia, tecnología y muchos lenguajes de programación informática , se expresa aquí: [1] [4] [5]
Esto significa que si, en una expresión matemática, aparece una subexpresión entre dos operadores , se debe aplicar primero el operador que está más arriba en la lista anterior.
Las leyes conmutativas y asociativas de la suma y la multiplicación permiten sumar términos en cualquier orden y multiplicar factores en cualquier orden, pero las operaciones mixtas deben obedecer el orden estándar de operaciones.
En algunos contextos, es útil reemplazar una división por multiplicación por el recíproco (inverso multiplicativo) y una resta por suma del opuesto (inverso aditivo). Por ejemplo, en álgebra computacional , esto permite manejar menos operaciones binarias y facilita el uso de conmutatividad y asociatividad al simplificar expresiones grandes (para más información, consulte Álgebra computacional § Simplificación ). Entonces 3 ÷ 4 = 3 ×1/4; en otras palabras, el cociente de 3 y 4 es igual al producto de 3 y 1/4. También 3-4 = 3 + (−4) ; en otras palabras, la diferencia de 3 y 4 es igual a la suma de 3 y −4. Por lo tanto, 1 - 3 + 7 se puede considerar como la suma de 1 + (−3) + 7 , y los tres sumandos se pueden sumar en cualquier orden, dando en todos los casos 5 como resultado.
El símbolo raíz √ se prolonga tradicionalmente con una barra (llamada vinculum ) sobre el radicando (esto evita la necesidad de poner paréntesis alrededor del radicando). Otras funciones usan paréntesis alrededor de la entrada para evitar ambigüedades. [6] [7] [a] Los paréntesis se pueden omitir si la entrada es una única variable numérica o constante [1] (como en el caso de sin x = sin ( x ) y sin π = sin (π) . [ a] Otra convención de atajo que se usa a veces es cuando la entrada es monomial ; por lo tanto, sin 3 x = sin (3 x ) en lugar de (sin (3)) x , pero sin x + y = sin ( x ) + y , porque x + y no es un monomio. Sin embargo, esto es ambiguo y no se entiende universalmente fuera de contextos específicos. [b] Algunas calculadoras y lenguajes de programación requieren paréntesis alrededor de las entradas de función, otras no.
Los símbolos de agrupación se pueden utilizar para anular el orden habitual de operaciones. [1] Los símbolos agrupados se pueden tratar como una sola expresión. [1] Los símbolos de agrupación pueden eliminarse usando las leyes asociativas y distributivas , también pueden eliminarse si la expresión dentro del símbolo de agrupación está lo suficientemente simplificada para que no resulte ambigüedad en su eliminación.
Ejemplos de
Una línea fraccionaria horizontal también actúa como símbolo de agrupación:
Para facilitar la lectura, a menudo se utilizan otros símbolos de agrupación, como llaves { } o corchetes [] , junto con paréntesis () . Por ejemplo:
Mnemotécnica
Los mnemónicos se utilizan a menudo para ayudar a los estudiantes a recordar las reglas, que involucran las primeras letras de palabras que representan varias operaciones. En diferentes países se utilizan diferentes nemotécnicos. [8] [9] [10]
- En los Estados Unidos, el acrónimo PEMDAS es común. [11] que representa P arentheses, E xponents, M ultiplication / D iVision, A ddition / S ubtraction. [11] PEMDAS a menudo se expande al mnemónico " Por favor, disculpe a mi querida tía Sally " en las escuelas. [12]
- Canadá y Nueva Zelanda usan BEDMAS , que significa raquetas B , E xponentes, D ivisión / M ultiplicación, A dición / S ubtracción. [11]
- Más común en el Reino Unido, Pakistán, India, Bangladesh y Australia [13] y algunos otros países de habla Inglés se BODMAS significa o bien B raquetas, O rden, D iVision / M ultiplication, Un ddition / S ubtraction o B raquetas, O f / D ivisión / M ultiplicación, A dición / S ubtracción. [c] [14] Nigeria y algunos otros países de África Occidental también utilizan BODMAS. Del mismo modo, en el Reino Unido, también se utiliza BIDMAS , que significa raquetas B , I ndices, D ivision / M ultiplication, A ddition / S ubtraction.
Estos mnemónicos pueden ser engañosos cuando se escriben de esta manera. [12] Por ejemplo, malinterpretar cualquiera de las reglas anteriores para que signifique "suma primero, resta después" evaluaría incorrectamente la expresión [12]
Al evaluar expresiones que solo incluyen la suma y la resta, como la expresión anterior, la suma y la resta se pueden realizar secuencialmente, trabajando de izquierda a derecha, pero de las seis operaciones aritméticas principales, solo la suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas, por lo que los profesionales generalmente ver la resta, especialmente en álgebra y en matemáticas superiores, como la suma de un número negativo. Trabajar de izquierda a derecha o tratar la resta como sumar un número con signo producirá la respuesta correcta; realizar la resta en el orden incorrecto dará como resultado una respuesta incorrecta. Los mnemónicos no reflejan la agrupación de suma / resta o multiplicación / división, por lo que su uso puede resultar en este malentendido.
Existe una ambigüedad similar en el caso de la división en serie, por ejemplo, la expresión a ÷ b ÷ c × d puede leerse de varias maneras, pero es posible que no siempre den la misma respuesta. Por ejemplo, 3 ÷ 1/2 evaluado de izquierda a derecha sería tres dividido por uno es igual a tres, dividido por dos es igual a tres mitades, pero usando la división como multiplicación por el recíproco da tres dividido por la mitad es igual a tres multiplicado por dos es igual a seis . Hay tres posibilidades, ninguna acordada universalmente. A cada uno de los diferentes símbolos de división se le deben dar reglas de precedencia complicadas, o imitando la regla de resta como suma del opuesto, la división puede definirse como una multiplicación por el recíproco, o se pueden usar paréntesis para evitar ambigüedades.
Dado que esto es controvertido, resumimos lo anterior:
La primera regla es que si hay varias divisiones en una fila, el orden de cálculo puede ir de izquierda a derecha:
Pero esto no se acepta universalmente. [15] [16]
La segunda regla, que trata la división como una multiplicación por un recíproco, reduce en gran medida la frecuencia de la división ambigua.
Pero la única forma segura de evitar la ambigüedad es utilizar paréntesis.
Casos especiales
Exponenciación en serie
Si la exponenciación se indica mediante símbolos apilados con notación de superíndice, la regla habitual es trabajar de arriba hacia abajo: [17] [1] [7] [18]
- a b c = a ( b c )
que normalmente no es igual a ( a b ) c .
Sin embargo, cuando se utiliza la notación de operador con un signo de intercalación (^) o una flecha (↑), no existe un estándar común. [19] Por ejemplo, Microsoft Excel y el lenguaje de programación de cálculo MATLAB se evalúan como ( a b ) c , pero Google Search y Wolfram Alpha como a ( b c ) . Así se evalúa a 4.096 en el primer caso ya 262.144 en el segundo caso.a^b^c
4^3^2
Signo menos unario
Existen diferentes convenciones con respecto al operador unario (normalmente se lee "menos"). En matemáticas escritas o impresas, la expresión −3 2 se interpreta en el sentido de - (3 2 ) = - 9 . [1] [20]
En algunas aplicaciones y lenguajes de programación, notablemente Microsoft Excel , PlanMaker (y otras aplicaciones de hoja de cálculo) y el lenguaje de programación bc , los operadores unarios tienen una prioridad más alta que los operadores binarios, es decir, el menos unario tiene mayor precedencia que la exponenciación, por lo que en esos lenguajes −3 2 se interpretará como (−3) 2 = 9 . [21] Esto no se aplica al operador binario menos -; por ejemplo en Microsoft Excel mientras que las fórmulas =−2^2
, =-(2)^2
y =0+−2^2
devuelven 4, la fórmula =0−2^2
y =−(2^2)
devuelven −4.
División y multiplicación mixtas
De manera similar, puede haber ambigüedad en el uso del símbolo de barra inclinada / en expresiones como 1/2 x . [12] Si uno reescribe esta expresión como 1 ÷ 2 x y luego interpreta que el símbolo de división indica la multiplicación por el recíproco, esto se convierte en:
- 1 ÷ 2 × x = 1 × 1/2× x = 1/2× x .
Con esta interpretación 1 ÷ 2 x es igual a (1 ÷ 2) x . [1] [8] Sin embargo, en parte de la literatura académica, la multiplicación denotada por yuxtaposición (también conocida como multiplicación implícita ) se interpreta como que tiene mayor precedencia que la división, de modo que 1 ÷ 2 x es igual a 1 ÷ (2 x ) , no (1 ÷ 2) x . Por ejemplo, las instrucciones de envío de manuscritos para las revistas de Physical Review establecen que la multiplicación es de mayor prioridad que la división con una barra, [22] y esta es también la convención observada en los libros de texto de física prominentes, como el Curso de Física Teórica de Landau y Lifshitz. y las Conferencias Feynman de Física . [D]
Calculadoras
Diferentes calculadoras siguen diferentes órdenes de operación. [1] Muchas calculadoras simples sin una cadena de implementos apilados funcionan de izquierda a derecha sin dar prioridad a los diferentes operadores, por ejemplo, escribiendo
1 + 2 × 3
rinde 9,
mientras que las calculadoras más sofisticadas utilizarán una prioridad más estándar, por ejemplo, escribiendo
1 + 2 × 3
rinde 7.
El programa Microsoft Calculator usa el primero en su vista estándar y el segundo en sus vistas científicas y de programador.
La entrada en cadena espera dos operandos y un operador. Cuando se presiona el siguiente operador, la expresión se evalúa inmediatamente y la respuesta se convierte en la mano izquierda del siguiente operador. Las calculadoras avanzadas permiten la entrada de la expresión completa, agrupada según sea necesario, y evalúan solo cuando el usuario usa el signo igual.
Las calculadoras pueden asociar exponentes de izquierda a derecha. Por ejemplo, la expresión se interpreta como a ( b c ) en la TI-92 y la TI-30XS MultiView en "modo Mathprint", mientras que se interpreta como ( a b ) c en la TI-30XII y la TI-30XS MultiView en "modo clásico".a^b^c
Una expresión como se interpreta como 1 / (2 x ) por la TI-82 , así como muchas calculadoras Casio modernas , [23] pero como (1/2) x por la TI-83 y todas las demás calculadoras de TI lanzadas desde 1996, [ 24] así como por todas las calculadoras Hewlett-Packard con notación algebraica. Si bien algunos usuarios pueden esperar la primera interpretación debido a la naturaleza de la multiplicación implícita , la última está más en línea con la regla estándar de que la multiplicación y la división tienen la misma precedencia, [25] [26] donde se lee 1/2 x uno dividido por dos y la respuesta multiplicada por x .1/2x
Cuando el usuario no está seguro de cómo una calculadora interpretará una expresión, es una buena idea usar paréntesis para que no haya ambigüedad.
Las calculadoras que usan notación polaca inversa (RPN), también conocida como notación de sufijo, usan una pila para ingresar expresiones en el orden correcto de precedencia sin necesidad de paréntesis o cualquier orden de ejecución posiblemente específico del modelo. [12] [11]
Lenguajes de programación
Algunos lenguajes de programación usan niveles de precedencia que se ajustan al orden comúnmente usado en matemáticas, [19] aunque otros, como APL , Smalltalk , Occam y Mary , no tienen reglas de precedencia de operadores (en APL, la evaluación es estrictamente de derecha a izquierda; en Smalltalk etc.es estrictamente de izquierda a derecha).
Además, debido a que muchos operadores no son asociativos, el orden dentro de un solo nivel generalmente se define agrupando de izquierda a derecha para que 16/4/4
se interprete como (16/4) / 4 = 1 en lugar de 16 / (4/4) = 16 ; estos operadores se denominan quizás engañosamente "asociativos de izquierda". Existen excepciones; por ejemplo, los idiomas con los operadores correspondientes a los contras operación en las listas por lo general hacen grupo de derecha a izquierda ( "derecho asociativo"), por ejemplo, en Haskell , 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4]
.
El creador del lenguaje C ha dicho sobre la precedencia en C (compartida por los lenguajes de programación que toman prestadas esas reglas de C, por ejemplo, C ++ , Perl y PHP ) que hubiera sido preferible mover los operadores bit a bit por encima de los operadores de comparación . [27] Sin embargo, muchos programadores se han acostumbrado a este orden. Los niveles de precedencia relativa de los operadores que se encuentran en muchos lenguajes de estilo C son los siguientes:
1 | () [] ->. :: | Llamada a función, alcance, acceso a matriz / miembro |
2 | ! ~ - + * y tamaño del tipo de elenco ++ - | (la mayoría) de operadores unarios, tamaño de y tipos de conversión (de derecha a izquierda) |
3 | * / % MODIFICACIÓN | Multiplicación, división, módulo |
4 | + - | Adición y sustracción |
5 | << >> | Desplazamiento bit a bit a izquierda y derecha |
6 | <<=>> = | Comparaciones: menor que y mayor que |
7 | ==! = | Comparaciones: iguales y no iguales |
8 | Y | Y bit a bit |
9 | ^ | OR exclusivo bit a bit (XOR) |
10 | | | Bit a bit inclusivo (normal) OR |
11 | && | Y lógico |
12 | || | OR lógico |
13 | ? : | Expresión condicional (ternario) |
14 | = + = - = * = / =% = & = | = ^ = << = >> = | Operadores de asignación (de derecha a izquierda) |
15 | , | Operador de coma |
Ejemplos: (Nota: en los ejemplos siguientes, '≡' se usa para significar "es equivalente a" y no debe interpretarse como un operador de asignación real que se usa como parte de la expresión de ejemplo).
!A + !B
≡(!A) + (!B)
++A + !B
≡(++A) + (!B)
A + B * C
≡A + (B * C)
A || B && C
≡A || (B && C)
A && B == C
≡A && (B == C)
A & B == C
≡A & (B == C)
Los compiladores de fuente a fuente que compilan en varios lenguajes deben tratar explícitamente el problema de los diferentes órdenes de operaciones entre lenguajes. Haxe, por ejemplo, estandariza el pedido y lo aplica insertando corchetes donde sea apropiado. [28]
Se ha descubierto que la precisión del conocimiento de los desarrolladores de software sobre la precedencia de los operadores binarios sigue de cerca su frecuencia de aparición en el código fuente. [29]
Ver también
- Notación de operador común (para una descripción más formal)
- Hiperoperación
- Asociatividad del operador
- Sobrecarga del operador
- Precedencia de operadores en C y C ++
- Notación polaca
- Notación polaca inversa
Notas
- ^ a b Algunos autores evitan deliberadamente cualquier omisión de paréntesis con funciones incluso en el caso de una sola variable numérica o argumentos constantes (fe Oldham en Atlas ), mientras que otros autores (como NIST ) aplican esta simplificación de notación solo condicionalmente en conjunción con múltiples variables específicas. nombres de funciones de caracteres (como
sin
), pero no los use con nombres de funciones genéricos (comof
). - ^ Para evitar cualquier ambigüedad, esta simplificación de la notación de los monomios se evita deliberadamente en obras como el Atlas de funciones de Oldham o el Manual de funciones matemáticas del NIST .
- ^ "De" es equivalente a división o multiplicación, y se usa comúnmente especialmente en el nivel de la escuela primaria, como en "La mitad de cincuenta".
- ↑ Por ejemplo, la tercera edición de Mechanics de Landau y Lifshitz contiene expresiones como hP z / 2 π (p. 22), y el primer volumen de Feynman Lectures contiene expresiones como 1/2 √ N (p. 6– 7) . En ambos libros, estas expresiones están escritas con la convención de que el solidus se evalúa en último lugar. Esto también implica que una expresión como 8/2 (4) tiene la solución 1, ya que la omisión del signo de multiplicación (x * o.) Implica que el sólido se evalúa en último lugar incluso si se coloca más a la izquierda.
Referencias
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Regel 7: Ist F ( A ) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung F n ( A ) für ( F ( A )) n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]
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Otras lecturas
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