La geometría ordenada es una forma de geometría que presenta el concepto de intermediación (o "intermediación") pero, como la geometría proyectiva , omite la noción básica de medida. La geometría ordenada es una geometría fundamental que forma un marco común para la geometría afín , euclidiana , absoluta e hiperbólica (pero no para la geometría proyectiva).
Historia
Moritz Pasch definió por primera vez una geometría sin referencia a la medición en 1882. Peano (1889), Hilbert (1899) y Veblen (1904) mejoraron sus axiomas . [1] : 176 Euclides anticipó el enfoque de Pasch en la definición 4 de Los Elementos : "una línea recta es una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". [2]
Conceptos primitivos
Las únicas nociones primitivas en geometría ordenada son los puntos A , B , C , ... y la relación ternaria de intermediación [ ABC ] que puede leerse como " B está entre A y C ".
Definiciones
El segmento AB es el conjunto de puntos P tales que [ APB ].
El intervalo AB es el segmento AB y sus puntos extremos A y B .
El rayo A / B (leído como "el rayo de A lejos de B ") es el conjunto de puntos P tales que [ PAB ].
La línea AB es el intervalo AB y los dos rayos A / B y B / A . Se dice que los puntos de la línea AB son colineales .
Un ángulo consta de un punto O (el vértice ) y dos rayos no colineales que salen de O (los lados ).
Un triángulo está dada por tres puntos no colineales (llamados vértices ) y sus tres segmentos AB , BC , y CA .
Si tres puntos A , B y C no son colineales, entonces un plano ABC es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos en uno o dos de los lados del triángulo ABC .
Si cuatro puntos A , B , C y D no son coplanares, entonces un espacio ( 3 espacios ) ABCD es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos seleccionados de cualquiera de las cuatro caras (regiones planas) del tetraedro. ABCD .
Axiomas de geometría ordenada
- Existen al menos dos puntos.
- Si A y B son puntos distintos, existe un C tal que [ABC].
- Si [ ABC ], entonces A y C son distintos ( A ≠ C ).
- Si es [ ABC ], entonces [ CBA ] pero no [ CAB ].
- Si C y D son puntos distintos en la línea AB , entonces A está en la línea CD .
- Si AB es una línea, hay un punto C que no está en la línea AB .
- ( Axioma de Pasch ) Si ABC es un triángulo y [ BCD ] y [ CEA ], entonces existe un punto F en la línea DE para el cual [ AFB ].
- Axioma de dimensionalidad :
- Para la geometría ordenada plana, todos los puntos están en un plano. O
- Si ABC es un plano, entonces existe un punto D que no está en el plano ABC .
- Todos los puntos están en el mismo plano, espacio, etc. (dependiendo de la dimensión en la que se elija trabajar).
- (Axioma de Dedekind) Para cada partición de todos los puntos de una línea en dos conjuntos no vacíos de manera que ningún punto de ninguno de los dos se encuentre entre dos puntos del otro, hay un punto de un conjunto que se encuentra entre todos los demás puntos de ese conjunto y todos los punto del otro conjunto.
Estos axiomas están estrechamente relacionados con los axiomas de orden de Hilbert . Para un estudio completo de axiomatizaciones de geometría ordenada, consulte. [3]
Resultados
El problema de Sylvester de los puntos colineales
El teorema de Sylvester-Gallai se puede demostrar dentro de la geometría ordenada. [4] [1] : 181,2
Paralelismo
Gauss , Bolyai y Lobachevsky desarrollaron una noción de paralelismo que puede expresarse en geometría ordenada. [1] : 189,90
Teorema (existencia de paralelismo): Dado un punto A y una recta r , que no pasa por A , existen exactamente dos rayos limitantes de A en el plano Ar que no se encuentran con r . Entonces hay una línea paralela que pasa por A que no se encuentra con r .
Teorema (transmisibilidad del paralelismo): El paralelismo de un rayo y una línea se conserva sumando o restando un segmento del comienzo de un rayo.
La transitividad del paralelismo no se puede probar en geometría ordenada. [5] Por lo tanto, el concepto "ordenado" de paralelismo no forma una relación de equivalencia en líneas.
Ver también
Referencias
- ↑ a b c Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría (2ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101 .
- ^ Heath, Thomas (1956) [1925]. Los trece libros de los elementos de Euclides (Vol 1) . Nueva York: Publicaciones de Dover . pp. 165 . ISBN 0-486-60088-2.
- ^ Pambuccian, Victor (2011). "La axiomática de la geometría ordenada: I. Espacios de incidencia ordenados" . Expositiones Mathematicae . 29 : 24–66. doi : 10.1016 / j.exmath.2010.09.004 .
- ^ Pambuccian, Victor (2009). "Un análisis inverso del teorema de Sylvester-Gallai" . Diario de Notre Dame de lógica formal . 50 (3): 245–260. doi : 10.1215 / 00294527-2009-010 . Zbl 1202.03023 .
- ^ Busemann, Herbert (1955). Geometría de la geodésica . Matemática pura y aplicada. 6 . Nueva York: Academic Press . pag. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002 .