En álgebra abstracta , un anillo ordenado es un (usualmente conmutativa ) anillo R con un orden total ≤ tal que para todo un , b , y c en R : [1]
- si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c .
- si 0 ≤ a y 0 ≤ b entonces 0 ≤ ab .
Ejemplos de
Los anillos ordenados son familiares de la aritmética . Los ejemplos incluyen los enteros , los racionales y los números reales . [2] (Los racionales y los reales de hecho forman campos ordenados ). Los números complejos , por el contrario, no forman un anillo o campo ordenado, porque no existe una relación de orden inherente entre los elementos 1 e i .
Elementos positivos
En analogía con los números reales, llamamos a un elemento c de un anillo ordenado R positivo si 0 < c , y negativo si c <0. Se considera que 0 no es ni positivo ni negativo.
El conjunto de elementos positivos de un anillo ordenado R a menudo se denota por R + . Una notación alternativa, favorecida en algunas disciplinas, es usar R + para el conjunto de elementos no negativos y R ++ para el conjunto de elementos positivos.
Valor absoluto
Si es un elemento de un anillo ordenado R , entonces el valor absoluto de, denotado , se define así:
dónde es el aditivo inverso dey 0 es el elemento de identidad aditivo .
Anillos ordenados discretos
Un anillo discreto ordenado o un anillo discretamente ordenado es un anillo ordenado en el que no hay ningún elemento entre 0 y 1. Los números enteros son un anillo discreto ordenado, pero los números racionales no lo son.
Propiedades básicas
Para todos un , b y c en R :
- Si a ≤ b y 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc . [3] Esta propiedad se usa a veces para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad en la definición anterior.
- | ab | = | a | | b |. [4]
- Un anillo ordenado que no es trivial es infinito. [5]
- Exactamente uno de los siguientes es verdadero: a es positivo, - a es positivo, o a = 0. [6] Esta propiedad se deriva del hecho de que los anillos ordenados son abelianos , grupos linealmente ordenados con respecto a la suma.
- En un anillo ordenado, ningún elemento negativo es un cuadrado. [7] Esto se debe a que si a ≠ 0 y a = b 2 entonces b ≠ 0 y a = (- b ) 2 ; ya que b o - b es positivo, a debe ser no negativo.
Ver también
Notas
La siguiente lista incluye referencias a teoremas verificados formalmente por el proyecto IsarMathLib .
- ^ Lam, TY (1983), Ordenaciones, valoraciones y formas cuadráticas , Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas, 52 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
- ^ * Lam, TY (2001), Un primer curso en anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, 131 (2a ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. Xx + 385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439 , Zbl 0.980,16001
- ^ OrdRing_ZF_1_L9
- ^ OrdRing_ZF_2_L5
- ^ ord_ring_infinite
- ^ OrdRing_ZF_3_L2, vea también OrdGroup_decomp
- ^ OrdRing_ZF_1_L12