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En matemáticas , una ecuación diferencial ordinaria ( EDO ) es una ecuación diferencial que contiene una o más funciones de una variable independiente y las derivadas de esas funciones. [1] El término ordinario se usa en contraste con el término ecuación diferencial parcial que puede ser con respecto a más de una variable independiente. [2]

Ecuaciones diferenciales [ editar ]

Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que está definida por un polinomio lineal en la función desconocida y sus derivadas, que es una ecuación de la forma

donde , ..., y son funciones diferenciables arbitrarias que no necesitan ser lineales, y son las derivadas sucesivas de la función desconocida y de la variable x .

Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales juegan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en física y matemáticas aplicadas son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (ver Función holonómica ). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para una solución más fácil. Las pocas EDO no lineales que se pueden resolver explícitamente generalmente se resuelven transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (ver, por ejemplo, la ecuación de Riccati ).

Algunas EDO se pueden resolver explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas . Cuando eso no sea posible, la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones puede ser útil. Para problemas aplicados, los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.

Antecedentes [ editar ]

La trayectoria de un proyectil lanzado desde un cañón sigue una curva determinada por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda ley de Newton.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) surgen en muchos contextos de las matemáticas y las ciencias sociales y naturales . Las descripciones matemáticas del cambio utilizan diferenciales y derivadas. Varios diferenciales, derivadas y funciones se relacionan a través de ecuaciones, de modo que una ecuación diferencial es un resultado que describe fenómenos, evolución y variación dinámicamente cambiantes. A menudo, las cantidades se definen como la tasa de cambio de otras cantidades (por ejemplo, derivadas del desplazamiento con respecto al tiempo) o gradientes de cantidades, que es la forma en que entran en las ecuaciones diferenciales.

Los campos matemáticos específicos incluyen geometría y mecánica analítica . Los campos científicos incluyen gran parte de la física y la astronomía (mecánica celeste), meteorología (modelado del tiempo), química (tasas de reacción), [3] biología (enfermedades infecciosas, variación genética), ecología y modelado de poblaciones (competencia de poblaciones), economía (tendencias de existencias). , tipos de interés y cambios en el precio de equilibrio del mercado).

Muchos matemáticos han estudiado ecuaciones diferenciales y contribuido al campo, incluidos Newton , Leibniz , la familia Bernoulli , Riccati , Clairaut , d'Alembert y Euler .

Un ejemplo simple es la segunda ley del movimiento de Newton: la relación entre el desplazamiento x y el tiempo t de un objeto bajo la fuerza F está dada por la ecuación diferencial

que restringe el movimiento de una partícula de masa constante m . En general, F es función de la posición x ( t ) de la partícula en el tiempo t . La función desconocida x ( t ) aparece en ambos lados de la ecuación diferencial y se indica en la notación F ( x ( t )). [4] [5] [6] [7]

Definiciones [ editar ]

En lo que sigue, vamos y ser una variable dependiente y x una variable independiente , y y = f ( x ) es una función desconocida de x . La notación para la diferenciación varía según el autor y sobre qué notación es más útil para la tarea en cuestión. En este contexto, la notación de Leibniz (dy/dx, d 2 y/dx 2,…, d n y/dx n) es más útil para la diferenciación e integración , mientras que la notación de Lagrange ( y ′, y ′ ′,…, y ( n ) ) es más útil para representar derivadas de cualquier orden de forma compacta, y la notación de Newton se usa a menudo en física para representar derivadas de orden bajo con respecto al tiempo.

Definición general [ editar ]

Dado F , una función de x , y y derivadas de y . Entonces una ecuación de la forma

se denomina ecuación diferencial ordinaria explícita de orden n . [8] [9]

De manera más general, una ecuación diferencial ordinaria implícita de orden n toma la forma: [10]

Hay más clasificaciones:

Autónomo
Una ecuación diferencial que no depende de x se llama autónoma .
Lineal
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F se puede escribir como una combinación lineal de las derivadas de y :
donde a i ( x ) y r  ( x ) son funciones continuas de x . [8] [11] [12] La función r ( x ) se denomina término fuente , lo que lleva a otras dos clasificaciones importantes: [11] [13]
Homogéneo
Si r ( x ) = 0, y en consecuencia una solución "automática" es la solución trivial , y = 0. La solución de una ecuación lineal homogénea es una función complementaria , denotada aquí por y c .
No homogéneo (o no homogéneo)
Si r ( x ) ≠ 0. La solución adicional a la función complementaria es la integral particular , denotada aquí por y p .

La solución general de una ecuación lineal se puede escribir como y = y c + y p .

No lineal
Una ecuación diferencial que no se puede escribir en forma de combinación lineal.

Sistema de EDO [ editar ]

Varias ecuaciones diferenciales acopladas forman un sistema de ecuaciones. Si y es un vector cuyos elementos son funciones; y ( x ) = [ y 1 ( x ), y 2 ( x ), ..., y m ( x )], y F es una función de valor vectorial de y y sus derivadas, entonces

es un sistema explícito de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n y dimensión m . En forma de vector de columna :

Estos no son necesariamente lineales. El análogo implícito es:

donde 0 = (0, 0, ..., 0) es el vector cero . En forma de matriz

Para un sistema de la forma , algunas fuentes también requieren que la matriz jacobiana sea no singular para llamar a esto un [sistema] EDO implícito; un sistema de EDO implícito que satisfaga esta condición de no singularidad jacobiana puede transformarse en un sistema de EDO explícito. En las mismas fuentes, los sistemas ODE implícitos con un jacobiano singular se denominan ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE). Esta distinción no es meramente terminológica; Los DAE tienen características fundamentalmente diferentes y, por lo general, son más complicados de resolver que los sistemas ODE (no singulares). [14] [15] [16] Presumiblemente para derivadas adicionales, la matriz de Hesse y así sucesivamente también se asumen no singulares de acuerdo con este esquema, [ cita requerida ] aunque tenga en cuenta que cualquier EDO de orden mayor que uno puede ser (y usualmente es) reescrito como sistema de EDO de primer orden , [17] lo que hace que el Criterio de singularidad jacobiano suficiente para que esta taxonomía sea completa en todos los órdenes.

El comportamiento de un sistema de EDO se puede visualizar mediante el uso de un retrato de fase .

Soluciones [ editar ]

Dada una ecuación diferencial

una función u : IRR , donde I es un intervalo, se llama solución o curva integral para F , si u es n veces diferenciable en I , y

Dadas dos soluciones u : JRR y v : IRR , u se llama una extensión de v si IJ y

Una solución que no tiene extensión se llama solución máxima . Una solución definida en todo R se llama solución global .

Una solución general de una ecuación de n -ésimo orden es una solución que contiene n constantes de integración independientes arbitrarias . Una solución particular se deriva de la solución general estableciendo las constantes en valores particulares, a menudo elegidos para cumplir con las ' condiciones iniciales o condiciones de contorno ' establecidas. [18] Una solución singular es una solución que no se puede obtener asignando valores definidos a las constantes arbitrarias en la solución general. [19]

En el contexto de la EDO lineal, la terminología solución particular también puede referirse a cualquier solución de la EDO (que no necesariamente satisfaga las condiciones iniciales), que luego se agrega a la solución homogénea (una solución general de la EDO homogénea), que luego forma una solución general de la EDO original. Esta es la terminología utilizada en la sección del método de adivinación de este artículo, y se utiliza con frecuencia cuando se habla del método de coeficientes indeterminados y variación de parámetros .

Teorías [ editar ]

Soluciones singulares [ editar ]

La teoría de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales fue objeto de investigación desde la época de Leibniz, pero sólo desde mediados del siglo XIX ha recibido especial atención. Un trabajo valioso pero poco conocido sobre el tema es el de Houtain (1854). Darboux (desde 1873) fue un referente en la teoría, y en la interpretación geométrica de estas soluciones abrió un campo trabajado por varios escritores, en particular Casorati y Cayley . A esto último se debe (1872) la teoría de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales de primer orden aceptada hacia 1900.

Reducción a cuadraturas [ editar ]

El intento primitivo de tratar con ecuaciones diferenciales tenía en vista una reducción a cuadraturas . Como lo había sido la esperanza de algebraists del siglo XVIII para encontrar un método para resolver la ecuación general de la n º grado, por lo que era la esperanza de los analistas para encontrar un método general para la integración de una ecuación diferencial. Gauss (1799) mostró, sin embargo, que las ecuaciones diferenciales complejas requieren números complejos . De ahí que los analistas pasen a sustituir el estudio de funciones, abriendo así un campo nuevo y fértil. Cauchyfue el primero en apreciar la importancia de este punto de vista. A partir de entonces, la verdadera cuestión ya no era si una solución es posible por medio de funciones conocidas o sus integrales, sino si una ecuación diferencial dada es suficiente para la definición de una función de la variable o variables independientes y, en caso afirmativo, cuáles son las propiedades características.

Teoría fucsiana [ editar ]

Dos memorias de Fuchs [20] inspiraron un enfoque novedoso, posteriormente elaborado por Thomé y Frobenius . Collet fue un colaborador destacado a partir de 1869. Su método para integrar un sistema no lineal se comunicó a Bertrand en 1868. Clebsch (1873) atacó la teoría en líneas paralelas a las de su teoría de las integrales abelianas . Como esta última puede clasificarse de acuerdo con las propiedades de la curva fundamental que permanece sin cambios bajo una transformación racional, Clebsch propuso clasificar las funciones trascendentes definidas por ecuaciones diferenciales de acuerdo con las propiedades invariantes de las superficies correspondientes f = 0 bajo racional uno a -una transformaciones.

Teoría de la mentira [ editar ]

A partir de 1870, el trabajo de Sophus Lie sentó mejor la teoría de las ecuaciones diferenciales. Demostró que las teorías de integración de los matemáticos mayores pueden, utilizando grupos de Lie , referirse a una fuente común, y que las ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten las mismas transformaciones infinitesimales presentan dificultades de integración comparables. También enfatizó el tema de las transformaciones del contacto .

La teoría de grupos de ecuaciones diferenciales de Lie ha sido certificada, a saber: (1) que unifica los muchos métodos ad hoc conocidos para resolver ecuaciones diferenciales, y (2) que proporciona nuevas y poderosas formas de encontrar soluciones. La teoría tiene aplicaciones tanto para ecuaciones diferenciales ordinarias como parciales. [21]

Un enfoque de solución general utiliza la propiedad de simetría de las ecuaciones diferenciales, las transformaciones infinitesimales continuas de soluciones a soluciones ( teoría de Lie ). La teoría de grupos continuos , las álgebras de Lie y la geometría diferencial se utilizan para comprender la estructura de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales (parciales) para generar ecuaciones integrables, encontrar sus pares Lax , operadores de recursión, transformada de Bäcklund y, finalmente, encontrar soluciones analíticas exactas para DE .

Los métodos de simetría se han aplicado a ecuaciones diferenciales que surgen en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas.

Teoría de Sturm-Liouville [ editar ]

La teoría de Sturm-Liouville es una teoría de un tipo especial de ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Sus soluciones se basan en valores propios y las funciones propias correspondientes de operadores lineales definidos mediante ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden . Los problemas se identifican como problemas de Sturm-Liouville (SLP) y llevan el nombre de JCF Sturm y J. Liouville , quienes los estudiaron a mediados del siglo XIX. Los SLP tienen un número infinito de valores propios, y las funciones propias correspondientes forman un conjunto ortogonal completo, que hace posibles las expansiones ortogonales. Esta es una idea clave en matemáticas aplicadas, física e ingeniería. [22] Los SLP también son útiles en el análisis de ciertas ecuaciones diferenciales parciales.

Existencia y singularidad de soluciones [ editar ]

Hay varios teoremas que establecen la existencia y unicidad de soluciones a problemas de valor inicial que involucran EDO tanto a nivel local como global. Los dos teoremas principales son

En su forma básica, ambos teoremas solo garantizan resultados locales, aunque el último puede extenderse para dar un resultado global, por ejemplo, si se cumplen las condiciones de desigualdad de Grönwall .

Además, los teoremas de unicidad como el de Lipschitz anterior no se aplican a los sistemas DAE , que pueden tener múltiples soluciones derivadas de su parte algebraica (no lineal) solamente. [23]

Teorema de existencia y unicidad local simplificado [ editar ]

El teorema se puede enunciar simplemente de la siguiente manera. [24] Para la ecuación y el problema del valor inicial:

si F y ∂ F / ∂ y son continuas en un rectángulo cerrado

en el xy avión, donde un y b son reales (simbólicamente: a, b ∈ ℝ) y × denota el producto cartesiano , corchetes denotan intervalos cerrados , entonces hay un intervalo

para algunos h ∈ ℝ donde se puede encontrar la solución a la ecuación anterior y al problema del valor inicial. Es decir, hay una solución y es única. Dado que no hay restricción para que F sea ​​lineal, esto se aplica a las ecuaciones no lineales que toman la forma F ( x, y ), y también se puede aplicar a los sistemas de ecuaciones.

Unicidad global y máximo dominio de solución [ editar ]

Cuando se satisfacen las hipótesis del teorema de Picard-Lindelöf, la existencia local y la unicidad pueden extenderse a un resultado global. Más precisamente: [25]

Para cada condición inicial ( x 0 , y 0 ) existe un intervalo abierto máximo único (posiblemente infinito)

de modo que cualquier solución que satisfaga esta condición inicial es una restricción de la solución que satisface esta condición inicial con dominio .

En el caso de que , hay exactamente dos posibilidades

  • explosión en tiempo finito:
  • deja el dominio de la definición:

donde Ω es el conjunto abierto en el que se define F , y es su límite.

Tenga en cuenta que el dominio máximo de la solución

  • es siempre un intervalo (tener unicidad)
  • puede ser más pequeño que
  • puede depender de la elección específica de ( x 0 , y 0 ).
Ejemplo.

Esto significa que F ( x, y ) = y 2 , que es C 1 y, por tanto, localmente Lipschitz continua, satisfaciendo el teorema de Picard-Lindelöf.

Incluso en un entorno tan simple, el dominio máximo de solución no puede ser todo, ya que la solución es

que tiene dominio máximo:

Esto muestra claramente que el intervalo máximo puede depender de las condiciones iniciales. El dominio de y podría tomarse como si fuera pero esto conduciría a un dominio que no es un intervalo, de modo que el lado opuesto a la condición inicial estaría desconectado de la condición inicial y, por lo tanto, no estaría determinado únicamente por ella.

El dominio máximo no es porque

que es uno de los dos casos posibles según el teorema anterior.

Reducción de pedido [ editar ]

Las ecuaciones diferenciales generalmente se pueden resolver más fácilmente si se puede reducir el orden de la ecuación.

Reducción a un sistema de primer orden [ editar ]

Cualquier ecuación diferencial explícita de orden n ,

se puede escribir como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden definiendo una nueva familia de funciones desconocidas

para i = 1, 2, ..., n . El sistema n- dimensional de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden es entonces

de forma más compacta en notación vectorial:

dónde

Resumen de soluciones exactas [ editar ]

Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones que se pueden escribir de forma exacta y cerrada. Aquí se dan varias clases importantes.

En la siguiente tabla, P ( x ), Q ( x ), P ( y ), Q ( y ) y M ( x , y ), N ( x , y ) son funciones integrables de x , y y b y c son constantes real dado, y C 1 , C 2 , ... son constantes arbitrarias ( complejoen general). Las ecuaciones diferenciales están en sus formas equivalentes y alternativas que conducen a la solución a través de la integración.

En las soluciones integrales, λ y ε son variables ficticias de integración (los análogos continuos de los índices en suma ), y la notación ∫ x F ( λ solo significa integrar F ( λ ) con respecto a λ , luego después de la integración sustituya λ = x , sin agregar constantes (explícitamente establecido).

Ecuaciones separables [ editar ]

Ecuaciones generales de primer orden [ editar ]

Ecuaciones generales de segundo orden [ editar ]

Lineal a los n th ecuaciones de orden [ editar ]

El método de adivinar [ editar ]

Cuando todos los demás métodos para resolver una EDO fallan, o en los casos en los que tenemos cierta intuición sobre cómo podría ser la solución de una ED, a veces es posible resolver una ED simplemente adivinando la solución y validando que sea correcta. Para usar este método, simplemente adivinamos una solución a la ecuación diferencial y luego conectamos la solución a la ecuación diferencial para validar si satisface la ecuación. Si es así, entonces tenemos una solución particular para el DE; de lo contrario, comenzamos de nuevo e intentamos con otra suposición. Por ejemplo, podríamos adivinar que la solución a una DE tiene la forma: ya que esta es una solución muy común que se comporta físicamente de forma sinusoidal.

En el caso de una EDO de primer orden que no es homogénea, primero debemos encontrar una solución DE para la parte homogénea de la DE, también conocida como ecuación característica, y luego encontrar una solución para toda la ecuación no homogénea adivinando . Finalmente, sumamos ambas soluciones juntas para obtener la solución total de la EDO, es decir:

Software para la resolución de ODE [ editar ]

  • Maxima , un sistema de álgebra computacional de código abierto .
  • COPASI , un paquete de software gratuito ( Artistic License 2.0 ) para la integración y análisis de ODE.
  • MATLAB , una aplicación informática técnica (MATrix LABoratory)
  • GNU Octave , un lenguaje de alto nivel, diseñado principalmente para cálculos numéricos.
  • Scilab , una aplicación de código abierto para el cálculo numérico.
  • Maple , una aplicación patentada para cálculos simbólicos.
  • Mathematica , una aplicación patentada destinada principalmente a cálculos simbólicos.
  • SymPy , un paquete de Python que puede resolver EDO simbólicamente
  • Julia (lenguaje de programación) , un lenguaje de alto nivel destinado principalmente a cálculos numéricos.
  • SageMath , una aplicación de código abierto que utiliza una sintaxis similar a Python con una amplia gama de capacidades que abarcan varias ramas de las matemáticas.
  • SciPy , un paquete de Python que incluye un módulo de integración ODE.
  • Chebfun , un paquete de código abierto, escrito en MATLAB , para computación con funciones de precisión de 15 dígitos.
  • GNU R , un entorno computacional de código abierto destinado principalmente a las estadísticas, que incluye paquetes para la resolución de ODE.

Ver también [ editar ]

  • Problema de valor límite
  • Ejemplos de ecuaciones diferenciales
  • Transformada de Laplace aplicada a ecuaciones diferenciales
  • Lista de temas de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales
  • Ecuación diferencial matricial
  • Método de coeficientes indeterminados
  • Relación de recurrencia

Notas [ editar ]

  1. ^ Dennis G. Zill (15 de marzo de 2012). Un primer curso de ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado . Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-285-40110-2. Archivado desde el original el 17 de enero de 2020 . Consultado el 11 de julio de 2019 .
  2. ^ "¿Cuál es el origen del término" ecuaciones diferenciales ordinarias "?" . hsm.stackexchange.com . Stack Exchange . Consultado el 28 de julio de 2016 .
  3. ^ Matemáticas para químicos, DM Hirst, Macmillan Press , 1976, (Sin ISBN) SBN: 333-18172-7
  4. Kreyszig (1972 , p. 64)
  5. ^ Simmons (1972 , págs. 1, 2)
  6. ^ Halliday y Resnick (1977 , p. 78)
  7. ^ Tipler (1991 , págs. 78-83)
  8. ↑ a b Harper (1976 , p. 127)
  9. Kreyszig (1972 , p. 2)
  10. ^ Simmons (1972 , p. 3)
  11. ↑ a b Kreyszig (1972 , p. 24)
  12. ^ Simmons (1972 , p. 47)
  13. ^ Harper (1976 , p. 128)
  14. Kreyszig (1972 , p. 12)
  15. ^ Ascher (1998 , p. 12)
  16. ^ Achim Ilchmann; Timo Reis (2014). Encuestas en Ecuaciones Algebraicas Diferenciales II . Saltador. págs. 104-105. ISBN 978-3-319-11050-9.
  17. ^ Ascher (1998 , p. 5)
  18. Kreyszig (1972 , p. 78)
  19. ^ Kreyszig (1972 , p. 4)
  20. Crelle , 1866, 1868
  21. Lawrence (1999 , p. 9)
  22. ^ Logan, J. (2013). Matemáticas aplicadas (Cuarta ed.).
  23. ^ Ascher (1998 , p. 13)
  24. ^ a b c d e f g h i j Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (cuarta edición), WE Boyce, RC Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1 
  25. ^ Boscain; Chitour 2011, pág. 21
  26. ^ a b Manual matemático de fórmulas y tablas (tercera edición), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  27. ^ Análisis elemental adicional, R. Porter, G. Bell & Sons (Londres), 1978, ISBN 0-7135-1594-5 
  28. ^ a b Métodos matemáticos para la física y la ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3

Referencias [ editar ]

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  • Harper, Charlie (1976), Introducción a la física matemática , Nueva Jersey: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
  • Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
  • Polyanin, AD y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (segunda edición) ", Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
  • Simmons, George F. (1972), Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas , Nueva York: McGraw-Hill , LCCN  75173716
  • Tipler, Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (3rd ed.), Nueva York: Worth Publishers , ISBN 0-87901-432-6
  • Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (en francés)
  • Dresner, Lawrence (1999), Aplicaciones de la teoría de Lie de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , Bristol y Filadelfia: Institute of Physics Publishing , ISBN 978-0750305303
  • Ascher, Uri; Petzold, Linda (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales , SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

Bibliografía [ editar ]

  • Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill .
  • Hartman, Philip (2002) [1964], Ecuaciones diferenciales ordinarias , Classics in Applied Mathematics, 38 , Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics , doi : 10.1137 / 1.9780898719222 , ISBN 978-0-89871-510-1, Señor  1929104
  • W. Johnson, Tratado sobre ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias , John Wiley and Sons, 1913, en la colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan
  • Ince, Edward L. (1944) [1926], Ecuaciones diferenciales ordinarias , Publicaciones de Dover, Nueva York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR  0010757
  • Witold Hurewicz , Conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-49510-8 
  • Ibragimov, Nail H. (1993). Manual CRC de análisis de grupos de Lie de ecuaciones diferenciales vol. 1-3 . Providencia: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
  • Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
  • AD Polyanin , VF Zaitsev y A. Moussiaux, Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden , Taylor & Francis, Londres, 2002. ISBN 0-415-27267-X 
  • D. Zwillinger, Manual de ecuaciones diferenciales (tercera edición) , Academic Press, Boston, 1997.

Enlaces externos [ editar ]

  • "Ecuación diferencial, ordinaria" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas , que contiene una lista de ecuaciones diferenciales ordinarias con sus soluciones.
  • Notas en línea / Ecuaciones diferenciales por Paul Dawkins, Universidad Lamar .
  • Ecuaciones diferenciales , Matemáticas SOS.
  • Una introducción a la solución analítica de ecuaciones diferenciales del Instituto de Métodos Numéricos Holísticos de la Universidad del Sur de Florida.
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias y notas de la conferencia de sistemas dinámicos por Gerald Teschl .
  • Notas sobre Diffy Qs: Ecuaciones diferenciales para ingenieros Un libro de texto introductorio sobre ecuaciones diferenciales por Jiri Lebl de UIUC .
  • Modelado con ODE usando Scilab Un tutorial sobre cómo modelar un sistema físico descrito por ODE usando el lenguaje de programación estándar Scilab por el equipo de Openeering.
  • Resolver una ecuación diferencial ordinaria en Wolfram | Alpha