Proyección ortográfica

Para la proyección ortográfica como proyección de mapa, consulte Proyección ortográfica en cartografía .

Para una discusión matemática en términos de álgebra lineal, vea Proyección (álgebra lineal) .

Parte de una serie sobre
Proyección gráfica
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La proyección ortográfica (a veces denominada proyección ortogonal , antes llamada analema ^[a] ) es un medio de representar objetos tridimensionales en dos dimensiones . Es una forma de proyección paralela , en la que todas las líneas de proyección son ortogonales al plano de proyección , ^[2] dando como resultado que cada plano de la escena aparezca en una transformación afín en la superficie de visualización. El anverso de una proyección ortográfica es una proyección oblicua , que es una proyección paralela en la que las líneas de proyección no son ortogonal al plano de proyección.

El término ortográfico a veces se reserva específicamente para representaciones de objetos donde los ejes o planos principales del objeto también son paralelos al plano de proyección. ^[2] Sin embargo, se conocen mejor como vistas primarias en la proyección de múltiples vistas . Además, cuando los planos o ejes principales de un objeto en una proyección ortográfica no son paralelos al plano de proyección, las representaciones a veces se denominan axonométricas . Sin embargo, se conocen mejor como vistas auxiliares . (La proyección axonométrica podría describirse con mayor precisión como sinónimo de proyección paralela.) Los subtipos de vistas primarias incluyen planos , alzados y secciones . Los subtipos de vistas auxiliares pueden incluir proyecciones isométricas , dimensionales y trimétricas .

Una lente que proporciona una proyección ortográfica se conoce como lente telecéntrica de espacio de objetos .

Geometría

Comparación de varios tipos de proyección gráfica

Varias proyecciones y como se producen

Las tres vistas axonométricas. Los porcentajes muestran la cantidad de escorzo.

Una proyección ortográfica simple sobre el plano z = 0 se puede definir mediante la siguiente matriz:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Para cada punto v = ( v _x , v _y , v _z ), el punto transformado Pv sería

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}}$

A menudo, es más útil utilizar coordenadas homogéneas . La transformación anterior se puede representar para coordenadas homogéneas como

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Para cada vector homogéneo v = ( v _x , v _y , v _z , 1), el vector transformado Pv sería

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}}$

En gráficos por computadora , una de las matrices más comunes utilizadas para la proyección ortográfica se puede definir mediante una tupla de 6 ( izquierda , derecha , abajo , arriba , cerca , lejos ), que define los planos de recorte . Estos planos forman una caja con la esquina mínima en ( izquierda , abajo , - cerca ) y la esquina máxima en ( derecha , arriba , - lejos ).

La caja se traslada para que su centro esté en el origen, luego se escala al cubo unitario que se define por tener una esquina mínima en (-1, -1, -1) y una esquina máxima en (1,1, 1).

La transformada ortográfica puede estar dada por la siguiente matriz:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&-{\frac {right+left}{right-left}}\\0&{\frac {2}{top-bottom}}&0&-{\frac {top+bottom}{top-bottom}}\\0&0&{\frac {-2}{far-near}}&-{\frac {far+near}{far-near}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

que se puede dar como una escala S seguida de una traducción T de la forma

${\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{top-bottom}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{far-near}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {left+right}{2}}\\0&1&0&-{\frac {top+bottom}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {far+near}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

La inversión de la matriz de proyección P ⁻¹ , que se puede utilizar como matriz de no proyección, se define:

${\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {right-left}{2}}&0&0&{\frac {left+right}{2}}\\0&{\frac {top-bottom}{2}}&0&{\frac {top+bottom}{2}}\\0&0&{\frac {far-near}{-2}}&-{\frac {far+near}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Tipos

Clasificación de proyección ortográfica y algunas proyecciones 3D

Tres subtipos de proyección ortográfica son la proyección isométrica , la proyección dimetrica y la proyección trimétrica , según el ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal . ^{[2] [3]} Normalmente, en el dibujo axonométrico, como en otros tipos de pictóricos, se muestra que un eje del espacio es vertical.

En la proyección isométrica , la forma más comúnmente utilizada de proyección axonométrica en el dibujo de ingeniería, ^[4] la dirección de visión es tal que los tres ejes del espacio parecen igualmente acortados , y hay un ángulo común de 120 ° entre ellos. Como la distorsión provocada por el escorzo es uniforme, se conserva la proporcionalidad entre longitudes y los ejes comparten una escala común; esto facilita la capacidad de tomar medidas directamente del dibujo. Otra ventaja es que los ángulos de 120 ° se construyen fácilmente utilizando solo un compás y una regla .

En proyección dimetrica , la dirección de visión es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente acortados, de los cuales la escala correspondiente y los ángulos de presentación se determinan de acuerdo con el ángulo de visión; la escala de la tercera dirección se determina por separado. Las aproximaciones dimensionales son comunes en los dibujos dimensionales. ^{[ aclaración necesaria ]}

En la proyección trimétrica , la dirección de la visión es tal que los tres ejes del espacio aparecen desigualmente acortados. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según lo dicta el ángulo de visión. Las aproximaciones dimensionales en los dibujos trimétricos son comunes, ^{[se necesita aclaración ]} y la perspectiva trimétrica rara vez se usa en los dibujos técnicos. ^[3]

Proyección de vista múltiple

Símbolos utilizados para definir si una proyección de vista múltiple es de tercer ángulo (derecha) o de primer ángulo (izquierda).

Artículo principal: Proyección multivista

En la proyección de múltiples vistas , se producen hasta seis imágenes de un objeto, llamadas vistas primarias , con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se colocan entre sí de acuerdo con uno de los dos esquemas: proyección de primer ángulo o de tercer ángulo . En cada uno, las apariencias de las vistas se pueden pensar como proyectadas en planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto. Aunque se pueden dibujar seis lados diferentes, normalmente tres vistas de un dibujo dan suficiente información para hacer un objeto tridimensional. Estas vistas se conocen como vista frontal , vista superior y vista final.. Otros nombres para estas vistas incluyen planta , alzado y sección . Cuando el plano o eje del objeto representado no es paralelo al plano de proyección, y donde múltiples lados de un objeto son visibles en la misma imagen, se llama vista auxiliar . Así , la proyección isométrica , la proyección dimetrica y la proyección trimétrica se considerarían vistas auxiliares en la proyección multivista. Una característica típica de la proyección de múltiples vistas es que un eje del espacio generalmente se muestra como vertical.

Cartografía

Artículo principal: Proyección ortográfica en cartografía

Proyección ortográfica (aspecto ecuatorial) del hemisferio oriental 30 ° W-150 ° E

Un mapa de proyección ortográfica es una proyección del mapa de la cartografía . Al igual que la proyección estereográfica y la proyección gnomónica , la proyección ortográfica es una proyección en perspectiva (o azimutal) , en la que la esfera se proyecta sobre un plano tangente o secante . El punto de perspectiva de la proyección ortográfica está a una distancia infinita . Representa un hemisferio del globo como aparece desde el espacio exterior , donde el horizonte es un gran círculo.. Las formas y áreas están distorsionadas , particularmente cerca de los bordes. ^{[5] [6]}

La proyección ortográfica se conoce desde la antigüedad, estando bien documentados sus usos cartográficos. Hiparco usó la proyección en el siglo II a. C. para determinar los lugares de aparición y puesta de estrellas. Aproximadamente en el 14 a. C., el ingeniero romano Marcus Vitruvius Pollio usó la proyección para construir relojes de sol y calcular las posiciones del sol. ^[6]

Vitruvio también parece haber ideado el término ortográfico (del griego orthos (= "recto") y graphē (= "dibujo") para la proyección. Sin embargo, el nombre analema , que también significaba un reloj de sol que mostraba la latitud y la longitud, era el nombre común hasta que François d'Aguilon de Amberes promovió su nombre actual en 1613. ^[6]

Los primeros mapas supervivientes de la proyección aparecen como dibujos grabados en madera de globos terrestres de 1509 (anónimo), 1533 y 1551 (Johannes Schöner) y 1524 y 1551 (Apian). ^[6]

Notas

1. Hoy en día, la palabra analema se usa más comúnmente en su significado más específico de diagrama que muestra la posición del Sol desde la tierra. ^[1]

Referencias

1. Sawyer, F., Of Analemmas, Mean Time and the Analemmatic Sundial
2. Maynard, Patric (2005). Dibujar distinciones: las variedades de expresión gráfica . Prensa de la Universidad de Cornell. pag. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
3. McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Programación de gráficos avanzada usando openGL . Elsevier. pag. 502. ISBN 1-55860-659-9.
4. Godse, AP (1984). Gráficos por computadora . Publicaciones técnicas. pag. 29. ISBN 81-8431-558-9.
5. Snyder, JP (1987). Proyecciones cartográficas: manual de trabajo (documento profesional 1395 del Servicio Geológico de EE. UU . ) . Washington, DC: Oficina de Imprenta del Gobierno de EE. UU. págs. 145-153.
6. Snyder, John P. (1993). Aplanamiento de la Tierra: dos mil años de proyecciones cartográficas, págs. 16–18. Chicago y Londres: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76746-9 . 

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con proyecciones ortográficas .

• Normale (ortogonale) Axonometrie (en alemán)
• Video de proyección ortográfica y matemáticas

( Copia de Wayback Machine )