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Figura 1. Diagrama de caja de datos del experimento de Michelson-Morley que muestra cuatro valores atípicos en la columna central, así como un valor atípico en la primera columna.

En estadística , un valor atípico es un punto de datos que difiere significativamente de otras observaciones. [1] [2] Un valor atípico puede deberse a la variabilidad en la medición o puede indicar un error experimental; estos últimos a veces se excluyen del conjunto de datos . [3] Un valor atípico puede causar serios problemas en los análisis estadísticos.

Los valores atípicos pueden ocurrir por casualidad en cualquier distribución, pero a menudo indican un error de medición o que la población tiene una distribución de cola gruesa . En el primer caso, se desea descartarlos o usar estadísticas que sean robustas a valores atípicos, mientras que en el segundo caso indican que la distribución tiene un alto sesgo y que se debe ser muy cauteloso al usar herramientas o intuiciones que asuman una distribución normal . Una causa frecuente de valores atípicos es una mezcla de dos distribuciones, que pueden ser dos subpoblaciones distintas, o pueden indicar "prueba correcta" versus "error de medición"; esto está modelado por un modelo mixto .

En la mayoría de las muestras de datos más grandes, algunos puntos de datos estarán más alejados de la media de la muestra de lo que se considera razonable. Esto puede deberse a un error sistemático incidental o fallas en la teoría que generó una familia supuesta de distribuciones de probabilidad , o puede ser que algunas observaciones estén lejos del centro de los datos. Por lo tanto, los puntos atípicos pueden indicar datos defectuosos, procedimientos erróneos o áreas en las que una determinada teoría podría no ser válida. Sin embargo, en muestras grandes, es de esperar una pequeña cantidad de valores atípicos (y no debido a ninguna condición anómala).

Los valores atípicos, al ser las observaciones más extremas, pueden incluir el máximo o mínimo de la muestra , o ambos, dependiendo de si son extremadamente altos o bajos. Sin embargo, el máximo y el mínimo de la muestra no siempre son valores atípicos porque pueden no estar inusualmente lejos de otras observaciones.

La interpretación ingenua de estadísticas derivadas de conjuntos de datos que incluyen valores atípicos puede ser engañosa. Por ejemplo, si uno está calculando la temperatura promedio de 10 objetos en una habitación, y nueve de ellos están entre 20 y 25 grados Celsius , pero un horno está a 175 ° C, la mediana de los datos estará entre 20 y 25 ° C. C pero la temperatura media estará entre 35,5 y 40 ° C. En este caso, la mediana refleja mejor la temperatura de un objeto muestreado al azar (pero no la temperatura en la habitación) que la media; interpretar ingenuamente la media como "una muestra típica", equivalente a la mediana, es incorrecto. Como se ilustra en este caso, los valores atípicos pueden indicar puntos de datos que pertenecen a una población diferente a la del resto de la población.conjunto de muestra .

Se dice que los estimadores capaces de hacer frente a valores atípicos son robustos: la mediana es una estadística robusta de tendencia central , mientras que la media no lo es. [4] Sin embargo, la media es generalmente un estimador más preciso. [5]

Ocurrencia y causas [ editar ]

Probabilidades relativas en una distribución normal

En el caso de datos distribuidos normalmente , la regla de los tres sigma significa que aproximadamente 1 de cada 22 observaciones diferirá en el doble de la desviación estándar o más de la media, y 1 de cada 370 se desviará en tres veces la desviación estándar. [6] En una muestra de 1000 observaciones, la presencia de hasta cinco observaciones que se desvían de la media en más de tres veces la desviación estándar está dentro del rango de lo que se puede esperar, siendo menos del doble del número esperado y, por lo tanto, dentro de 1 desviación estándar del número esperado - ver distribución de Poisson- y no indicar una anomalía. Sin embargo, si el tamaño de la muestra es solo 100, solo tres de esos valores atípicos ya son motivo de preocupación, ya que son más de 11 veces el número esperado.

En general, si la naturaleza de la distribución de la población se conoce a priori , es posible probar si el número de valores atípicos se desvía significativamente de lo que se puede esperar: para un límite dado (por lo que las muestras caen más allá del límite con probabilidad p ) de un dada la distribución, el número de valores atípicos seguirá una distribución binomial con el parámetro p , que generalmente se puede aproximar bien mediante la distribución de Poisson con λ = pn . Por lo tanto, si se toma una distribución normal con un punto de corte de 3 desviaciones estándar de la media, p es aproximadamente 0.3%, y por lo tanto para 1000 ensayos se puede aproximar el número de muestras cuya desviación excede 3 sigmas por una distribución de Poisson con λ = 3.

Causas [ editar ]

Los valores atípicos pueden tener muchas causas anómalas. Un aparato físico para tomar medidas puede haber sufrido un mal funcionamiento transitorio. Es posible que haya habido un error en la transmisión o transcripción de datos. Los valores atípicos surgen debido a cambios en el comportamiento del sistema, comportamiento fraudulento, error humano, error de instrumento o simplemente por desviaciones naturales en las poblaciones. Una muestra puede haber estado contaminada con elementos ajenos a la población examinada. Alternativamente, un valor atípico podría ser el resultado de una falla en la teoría asumida, lo que requiere una mayor investigación por parte del investigador. Además, la apariencia patológica de valores atípicos de una determinada forma aparece en una variedad de conjuntos de datos, lo que indica que el mecanismo causal de los datos puede diferir en el extremo ( efecto King ).

Definiciones y detección [ editar ]

No existe una definición matemática rígida de lo que constituye un valor atípico; determinar si una observación es un valor atípico es, en última instancia, un ejercicio subjetivo. [7] Existen varios métodos de detección de valores atípicos. [8] [9] [10] [11] Algunos son gráficos, como los diagramas de probabilidad normal . Otros se basan en modelos. Los diagramas de caja son híbridos.

Los métodos basados ​​en modelos que se utilizan comúnmente para la identificación suponen que los datos provienen de una distribución normal e identifican observaciones que se consideran "improbables" en función de la desviación estándar y media:

  • Criterio de Chauvenet
  • Prueba de Grubbs para valores atípicos
  • Prueba Q de Dixon
  • Práctica estándar ASTM E178 para tratar con observaciones periféricas
  • La distancia y el apalancamiento de Mahalanobis se utilizan a menudo para detectar valores atípicos, especialmente en el desarrollo de modelos de regresión lineal.
  • Técnicas basadas en el subespacio y la correlación para datos numéricos de alta dimensión [11]

Criterio de Peirce [ editar ]

Se propone determinar en una serie de observaciones el límite de error, más allá del cual se pueden rechazar todas las observaciones que impliquen un error tan grande, siempre que haya tantas como tales observaciones. El principio sobre el que se propone resolver este problema es que las observaciones propuestas deben ser rechazadas cuando la probabilidad del sistema de errores obtenido al retenerlas es menor que la del sistema de errores obtenido por su rechazo multiplicado por la probabilidad de haciendo tantas, y no más, observaciones anormales. (Citado en la nota editorial de la página 516 a Peirce (edición de 1982) de A Manual of Astronomy 2: 558 de Chauvenet.) [12] [13] [14] [15]

Vallas de Tukey [ editar ]

Otros métodos marcan las observaciones basadas en medidas como el rango intercuartílico . Por ejemplo, si y son los cuartiles inferior y superior respectivamente, entonces se podría definir un valor atípico como cualquier observación fuera del rango:

para alguna constante no negativa . John Tukey propuso esta prueba, donde indica un "valor atípico" e indica datos que están "lejos". [dieciséis]

En detección de anomalías [ editar ]

En varios dominios como, entre otros, estadísticas , procesamiento de señales , finanzas , econometría , manufactura , redes y minería de datos , la tarea de detección de anomalías puede tomar otros enfoques. Algunos de estos pueden basarse en la distancia [17] [18] y en la densidad, como el factor atípico local (LOF). [19] Algunos enfoques pueden usar la distancia a los k vecinos más cercanos para etiquetar las observaciones como valores atípicos o no atípicos. [20]

Prueba de Thompson Tau modificada [ editar ]

La prueba de Thompson Tau modificada [ cita requerida ] es un método utilizado para determinar si existe un valor atípico en un conjunto de datos. La fuerza de este método radica en el hecho de que tiene en cuenta la desviación estándar, el promedio de un conjunto de datos y proporciona una zona de rechazo determinada estadísticamente; proporcionando así un método objetivo para determinar si un punto de datos es un valor atípico. [ cita requerida ] [21] Cómo funciona: Primero, se determina el promedio de un conjunto de datos. A continuación, se determina la desviación absoluta entre cada punto de datos y el promedio. En tercer lugar, una región de rechazo se determina mediante la fórmula:

;

donde es el valor crítico de la distribución t de Student con n -2 grados de libertad, n es el tamaño de la muestra y s es la desviación estándar de la muestra. Para determinar si un valor es un valor atípico: Calcule . Si δ > Región de rechazo, el punto de datos es un valor atípico. Si δ ≤ Región de rechazo, el punto de datos no es un valor atípico.

La prueba de Thompson Tau modificada se usa para encontrar un valor atípico a la vez (el valor más grande de δ se elimina si es un valor atípico). Es decir, si se encuentra que un punto de datos es un valor atípico, se elimina del conjunto de datos y la prueba se aplica nuevamente con una nueva región de promedio y rechazo. Este proceso continúa hasta que no queden valores atípicos en un conjunto de datos.

Algunos trabajos también han examinado valores atípicos para datos nominales (o categóricos). En el contexto de un conjunto de ejemplos (o instancias) en un conjunto de datos, la dureza de la instancia mide la probabilidad de que una instancia se clasifique incorrectamente ( donde y es la etiqueta de clase asignada y x representa el valor del atributo de entrada para una instancia en el conjunto de entrenamiento t ). [22] Idealmente, la dureza de la instancia se calcularía sumando el conjunto de todas las hipótesis posibles H :

Prácticamente, esta formulación es inviable ya que H es potencialmente infinito y muchos algoritmos desconocen el cálculo . Por lo tanto, la dureza de la instancia se puede aproximar utilizando un subconjunto diverso :

donde es la hipótesis inducida por el algoritmo de aprendizaje entrenado en el conjunto de entrenamiento t con hiperparámetros . La dureza de la instancia proporciona un valor continuo para determinar si una instancia es una instancia atípica.

Trabajar con valores atípicos [ editar ]

La elección de cómo lidiar con un valor atípico debe depender de la causa. Algunos estimadores son muy sensibles a valores atípicos, en particular a la estimación de matrices de covarianza .

Retención [ editar ]

Incluso cuando un modelo de distribución normal es apropiado para los datos que se analizan, se esperan valores atípicos para tamaños de muestra grandes y no deben descartarse automáticamente si ese es el caso. La aplicación debe usar un algoritmo de clasificación que sea robusto a valores atípicos para modelar datos con puntos atípicos que ocurren naturalmente.

Exclusión [ editar ]

La eliminación de datos atípicos es una práctica controvertida que muchos científicos e instructores de ciencias desaprueban; Si bien los criterios matemáticos proporcionan un método objetivo y cuantitativo para el rechazo de datos, no hacen que la práctica sea más sólida científica o metodológicamente, especialmente en conjuntos pequeños o donde no se puede suponer una distribución normal. El rechazo de valores atípicos es más aceptable en áreas de práctica donde el modelo subyacente del proceso que se mide y la distribución habitual del error de medición se conocen con seguridad. Se puede excluir un valor atípico resultante de un error de lectura del instrumento, pero es deseable que la lectura se verifique al menos.

Los dos enfoques comunes para excluir valores atípicos son truncamiento (o recorte) y Winsorising . El recorte descarta los valores atípicos, mientras que Winsorising reemplaza los valores atípicos con los datos "no sospechosos" más cercanos. [23] La exclusión también puede ser una consecuencia del proceso de medición, como cuando un experimento no es completamente capaz de medir valores tan extremos, lo que resulta en datos censurados . [24]

En los problemas de regresión , un enfoque alternativo puede ser excluir únicamente los puntos que muestren un alto grado de influencia en los coeficientes estimados, utilizando una medida como la distancia de Cook . [25]

Si un punto (o puntos) de datos se excluye del análisis de datos , esto debe indicarse claramente en cualquier informe posterior.

Distribuciones anormales [ editar ]

Se debe considerar la posibilidad de que la distribución subyacente de los datos no sea aproximadamente normal, teniendo " colas gruesas ". Por ejemplo, cuando se toma un muestreo de una distribución de Cauchy , [26] la varianza de la muestra aumenta con el tamaño de la muestra, la media de la muestra no converge a medida que aumenta el tamaño de la muestra y se esperan valores atípicos a tasas mucho mayores que para una distribución normal. Incluso una pequeña diferencia en el grosor de las colas puede marcar una gran diferencia en el número esperado de valores extremos.

Incertidumbres de pertenencia al conjunto [ editar ]

Un enfoque de pertenencia a un conjunto considera que la incertidumbre correspondiente a la i- ésima medición de un vector aleatorio desconocido x está representada por un conjunto X i (en lugar de una función de densidad de probabilidad). Si no se producen valores atípicos, x debería pertenecer a la intersección de todos los X i . Cuando ocurren valores atípicos, esta intersección podría estar vacía, y deberíamos relajar un pequeño número de conjuntos X i (lo más pequeño posible) para evitar cualquier inconsistencia. [27] Esto se puede hacer usando la noción de q - intersección relajada . Como se ilustra en la figura, el q-La intersección relajada corresponde al conjunto de todos los x que pertenecen a todos los conjuntos excepto q de ellos. Se podría sospechar que los conjuntos X i que no cruzan la intersección relajada q son valores atípicos.

Figura 5. q -intersección relajada de 6 conjuntos para q = 2 (rojo), q = 3 (verde), q = 4 (azul), q = 5 (amarillo).

Modelos alternativos [ editar ]

En los casos en que se conozca la causa de los valores atípicos, puede ser posible incorporar este efecto en la estructura del modelo, por ejemplo, utilizando un modelo de Bayes jerárquico o un modelo mixto . [28] [29]

Ver también [ editar ]

  • Anomalía (ciencias naturales)
  • Cuarteto de Anscombe
  • Transformación de datos (estadísticas)
  • Teoría del valor extremo
  • Observación influyente
  • Consenso de muestra aleatoria
  • Regresión robusta
  • Residuo estudentizado
  • Winsorización

Referencias [ editar ]

  1. ^ Grubbs, FE (febrero de 1969). "Procedimientos para la detección de observaciones atípicas en muestras". Tecnometría . 11 (1): 1–21. doi : 10.1080 / 00401706.1969.10490657 . Una observación atípica, o "atípica", es aquella que parece desviarse notablemente de otros miembros de la muestra en la que ocurre.
  2. ^ Maddala, GS (1992). "Valores atípicos" . Introducción a la econometría (2ª ed.). Nueva York: MacMillan. pp.  89 . ISBN 978-0-02-374545-4. Un valor atípico es una observación que está muy alejada del resto de las observaciones.
  3. ^ Grubbs , 1969 , p. 1 que dice: "Una observación periférica puede ser simplemente una manifestación extrema de la variabilidad aleatoria inherente a los datos. ... Por otro lado, una observación periférica puede ser el resultado de una gran desviación del procedimiento experimental prescrito o un error en el cálculo o el registro el valor numérico ".
  4. ^ Ripley, Brian D. 2004. Estadísticas sólidas. Archivado el 21 de octubre de 2012 en la Wayback Machine.
  5. ^ Chandan Mukherjee, Howard White, Marc Wuyts, 1998, "Econometría y análisis de datos para países en desarrollo Vol. 1" [1]
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Enlaces externos [ editar ]

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  • Balakrishnan, N .; Childs, A. (2001) [1994], "Outlier" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • Prueba de Grubbs descrita por el manual NIST