El sobrecompletado es un concepto del álgebra lineal que se usa ampliamente en matemáticas, informática, ingeniería y estadística (generalmente en forma de marcos sobrecompletos ). Fue introducido por RJ Duffin y AC Schaeffer en 1952. [1]
Formalmente, un subconjunto de los vectores de un espacio de Banach , a veces llamado "sistema", está completo si todos los elementos de puede aproximarse arbitrariamente bien en norma mediante combinaciones lineales finitas de elementos en . [2] Un sistema tan completo está demasiado completo si se elimina un del sistema da como resultado un sistema (es decir, ) que aún está completo.
En áreas de investigación como el procesamiento de señales y la aproximación de funciones, el exceso de compleción puede ayudar a los investigadores a lograr una descomposición más estable, más robusta o más compacta que utilizando una base. [3]
Relación entre sobrecompletar y marcos
El sobrecompletado se suele discutir como una propiedad de los marcos sobrecompletos. La teoría del marco se origina en un artículo de Duffin y Schaeffer sobre series de Fourier no armónicas. [1] La trama se define como un conjunto de vectores distintos de cero. tal que por un arbitrario ,
dónde denota el producto interior, y son constantes positivas llamadas límites del marco. Cuándo y se puede elegir de tal manera que , el marco se llama marco estrecho. [4]
Se puede ver que . Se puede dar un ejemplo de marco como sigue. Deje que cada uno de y ser una base ortonormal de , luego
es un marco de con limites .
Dejar ser el operador del marco,
Un marco que no es una base de Riesz , en cuyo caso consiste en un conjunto de funciones más que una base, se dice que está sobrecompletado. En este caso, dado, puede tener diferentes descomposiciones según el marco. El marco que se muestra en el ejemplo anterior es un marco demasiado completo.
Cuando se utilizan marcos para la estimación de funciones, es posible que desee comparar el rendimiento de diferentes marcos. La parsimonia de las funciones de aproximación por diferentes marcos puede considerarse como una forma de comparar sus desempeños. [5]
Dada una tolerancia y un marco en , para cualquier función , define el conjunto de todas las funciones aproximadas que satisfacen
Entonces deja
indica la parsimonia de utilizar el marco para aproximar . Diferente puede tener diferentes en función de la dureza a aproximar con los elementos del marco. El peor de los casos para estimar una función en Se define como
Por otro marco , Si , luego encuadre es mejor que el marco a nivel . Y si existe un eso para cada uno , tenemos , luego es mejor que en general.
Los marcos demasiado completos generalmente se construyen de tres maneras.
- Combine un conjunto de bases, como la base wavelet y la base de Fourier, para obtener una trama demasiado completa.
- Amplíe el rango de parámetros en algún marco, como en el marco de Gabor y el marco de wavelet , para tener un marco sobrecompleto.
- Agregue algunas otras funciones a una base completa existente para lograr un marco demasiado completo.
A continuación, se muestra un ejemplo de un cuadro demasiado completo. Los datos recopilados se encuentran en un espacio bidimensional, y en este caso una base con dos elementos debería poder explicar todos los datos. Sin embargo, cuando se incluye ruido en los datos, es posible que una base no pueda expresar las propiedades de los datos. Si para expresar los datos se utiliza un cuadro sobrecompleto con cuatro elementos correspondientes a los cuatro ejes de la figura, cada punto podría tener una buena expresión por el cuadro sobrecompletado.
La flexibilidad de la trama supercompleta es una de sus ventajas clave cuando se utiliza para expresar una señal o aproximar una función. Sin embargo, debido a esta redundancia, una función puede tener múltiples expresiones en un marco demasiado completo. [6] Cuando el marco es finito, la descomposición se puede expresar como
dónde es la función que uno quiere aproximar, es la matriz que contiene todos los elementos del marco, y son los coeficientes de bajo la representación de . Sin ninguna otra restricción, el marco elegirá dar con norma mínima en . En base a esto, también se pueden considerar algunas otras propiedades al resolver la ecuación, como la escasez. Entonces, diferentes investigadores han estado trabajando para resolver esta ecuación agregando otras restricciones en la función objetivo. Por ejemplo, una restricción que minimizaes la norma en se puede utilizar para resolver esta ecuación. Esto debería ser equivalente a la regresión Lasso en la comunidad estadística. El enfoque bayesiano también se utiliza para eliminar la redundancia en una trama demasiado completa. Lweicki y Sejnowski propusieron un algoritmo para el cuadro sobrecompletado al verlo como un modelo probabilístico de los datos observados. [6] Recientemente, el marco de Gabor sobrecompleto se ha combinado con el método de selección de variable bayesiana para lograr ambos coeficientes de expansión de norma pequeños eny escasez de elementos. [7]
Ejemplos de fotogramas sobrecompletos
En el análisis moderno en el procesamiento de señales y otros campos de la ingeniería, se proponen y utilizan varias tramas supercompletas. Aquí se presentan y comentan dos tramas de uso común, las tramas de Gabor y las tramas de ondículas.
Marcos gabor
En la transformación de Fourier habitual, la función en el dominio del tiempo se transforma en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, la transformación solo muestra la propiedad de frecuencia de esta función y pierde su información en el dominio del tiempo. Si una función de ventana, que solo tiene un valor distinto de cero en un intervalo pequeño, se multiplica con la función original antes de operar la transformación de Fourier, tanto la información en los dominios de tiempo como de frecuencia pueden permanecer en el intervalo elegido. Cuando una secuencia de traducción de se utiliza en la transformación, la información de la función en el dominio del tiempo se mantiene después de la transformación.
Deje que los operadores
Un marco de Gabor (llamado así por Dennis Gabor y también llamado marco de Weyl - Heisenberg ) en se define como la forma , dónde y es una función fija. [8] Sin embargo, no para todos y forma un marco en . Por ejemplo, cuando, no es un marco para . Cuándo, Es posible que sea un marco, en cuyo caso es una base de Riesz. Entonces, la posible situación para ser un marco demasiado completo es . La familia Gabor es también un marco y comparte los mismos límites de marco que
Diferentes tipos de funciones de ventana. se puede utilizar en el marco de Gabor. Aquí se muestran ejemplos de tres funciones de ventana, y la condición para que el sistema Gabor correspondiente sea un marco se muestra a continuación.
(1) , es un marco cuando
(2) , es un marco cuando
(3) , dónde es la función del indicador. La situación para ser un marco es el siguiente.
1) o , no un marco
2) y , no un marco
3) , es un marco
4) y es un irracional, y , es un marco
5) , y son relativamente primos, , no un marco
6) y , dónde y ser un número natural, no un marco
7) , , , dónde es el mayor número entero que no excede , es un marco.
La discusión anterior es un resumen del capítulo 8 en. [8]
Marcos de wavelet
Una colección de ondículas generalmente se refiere a un conjunto de funciones basadas en
Esto forma una base ortonormal para . Sin embargo cuando puede tomar valores en , el conjunto representa una trama sobrecompleta y se denomina base de ondícula indecimada. En el caso general, una trama wavelet se define como una trama para de la forma
dónde , , y . Los límites superior e inferior de este marco se pueden calcular de la siguiente manera. Dejar ser la transformada de Fourier para
Cuándo son fijos, definen
Luego
Además, cuando
- , para todos los enteros impares
el marco generado es un marco estrecho.
La discusión en esta sección se basa en el capítulo 11 en. [8]
Aplicaciones
Los marcos de Gabor y los marcos de Wavelet sobrecompletos se han utilizado en diversas áreas de investigación, incluida la detección de señales, la representación de imágenes, el reconocimiento de objetos, la reducción de ruido , la teoría de muestreo, la teoría del operador , el análisis armónico , la aproximación dispersa no lineal, los operadores pseudodiferenciales , las comunicaciones inalámbricas, la geofísica, la computación cuántica, y bancos de filtros . [3] [8]
Referencias
- ^ a b R. J. Duffin y AC Schaeffer, Una clase de series de Fourier no armónicas, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 72, no. 2, págs. 341 {366, 1952. [En línea]. Disponible: https://www.jstor.org/stable/1990760
- ↑ C. Heil, A Basis Theory Primer: Expanded Edition. Boston, MA: Birkhauser, 2010.
- ↑ a b R. Balan, P. Casazza, C. Heil y Z. Landau, Density, overcompleteness, and localization of frames. I. teoría, The Journal of Fourier Analysis and Applications, vol. 12, no. 2 de 2006.
- ^ K. Grochenig, Fundamentos del análisis de frecuencia de tiempo . Boston, MA: Birkhauser, 2000.
- ^ [1] , STA218, Nota de clase de minería de datos en la Universidad de Duke
- ^ a b M. S. Lewicki y TJ Sejnowski, Aprendizaje de representaciones supercompletas, Computación neuronal, vol. 12, no. 2, págs. 337 {365, 2000.
- ^ P. Wolfe, S. Godsill y W. Ng, Regularización y selección de variables bayesianas para la estimación de superficie de frecuencia de tiempo, JR Statist. Soc. B, vol. 66, no. 3 de 2004.
- ^ a b c d O. Christensen, Introducción a los marcos y las bases de Riesz. Boston, MA: Birkhauser, 2003.