Un sobretono es cualquier frecuencia mayor que la frecuencia fundamental de un sonido. [1] En otras palabras, los armónicos son tonos más altos que resultan de la nota más baja o fundamental. Si bien lo fundamental generalmente se escucha de manera más prominente, los armónicos están presentes en cualquier tono, excepto en una verdadera onda sinusoidal . [2] El volumen relativo o la amplitud de varios parciales armónicos es una de las características clave de identificación del timbre, o la característica individual de un sonido. [3]
Usando el modelo de análisis de Fourier , el fundamental y los armónicos juntos se denominan parciales . Los armónicos , o más precisamente, los parciales armónicos, son parciales cuyas frecuencias son múltiplos enteros numéricos de la fundamental (incluida la fundamental, que es 1 multiplicado por sí mismo). Estos términos superpuestos se utilizan de diversas formas cuando se habla del comportamiento acústico de los instrumentos musicales. [4] (Ver etimología a continuación). El modelo de análisis de Fourier prevé la inclusión de parciales inarmónicos, que son parciales cuyas frecuencias no son proporciones de números enteros de la fundamental (como 1.1 o 2.14179).
Cuando se excita un sistema resonante, como un tubo soplado o una cuerda pulsada, se pueden producir varios armónicos junto con el tono fundamental. En casos simples, como en la mayoría de los instrumentos musicales, las frecuencias de estos tonos son las mismas (o cercanas) a los armónicos. Ejemplos de excepciones incluyen el tambor circular , un timbal cuyo primer sobretono es aproximadamente 1,6 veces su frecuencia de resonancia fundamental, [5] gongs y platillos e instrumentos de metal . El tracto vocal humano es capaz de producir amplitudes muy variables de los armónicos, llamados formantes , que definen diferentes vocales . [6]
Explicación
La mayoría de los osciladores , desde una cuerda de guitarra pulsada hasta una flauta que se toca, vibrarán naturalmente en una serie de frecuencias distintas conocidas como modos normales . La frecuencia de modo normal más baja se conoce como frecuencia fundamental , mientras que las frecuencias más altas se denominan armónicos. A menudo, cuando se excita un oscilador, por ejemplo, al puntear una cuerda de guitarra, oscilará en varias de sus frecuencias modales al mismo tiempo. Entonces, cuando se toca una nota, esto da la sensación de escuchar otras frecuencias (armónicos) por encima de la frecuencia más baja (la fundamental).
Timbre es la cualidad que le da al oyente la habilidad de distinguir entre el sonido de diferentes instrumentos. El timbre de un instrumento está determinado por los matices que enfatiza. Es decir, los volúmenes relativos de estos armónicos entre sí determinan el "sabor", "color" o "tono" específico del sonido de esa familia de instrumentos. La intensidad de cada uno de estos armónicos rara vez es constante durante la duración de una nota. Con el tiempo, diferentes sobretonos pueden decaer a diferentes velocidades, lo que hace que la intensidad relativa de cada sobretono suba o baje independientemente del volumen general del sonido. Un oído cuidadosamente entrenado puede escuchar estos cambios incluso en una sola nota. Esta es la razón por la que el timbre de una nota puede percibirse de manera diferente cuando se toca en staccato o legato .
Un oscilador no lineal accionado, como las cuerdas vocales , un instrumento de viento soplado o una cuerda de violín arqueada (pero no una cuerda de guitarra o campana golpeada) oscilará de manera periódica, no sinusoidal. Esto genera la impresión de sonido a múltiples frecuencias enteras de la fundamental conocida como armónicos , o más precisamente, armónicos parciales. Para la mayoría de los instrumentos de cuerda y otros instrumentos largos y delgados como un fagot, los primeros armónicos están bastante cerca de múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, produciendo una aproximación a una serie armónica . Por lo tanto, en la música, los armónicos se denominan a menudo armónicos. Dependiendo de cómo se puntee o se arquee la cuerda, se pueden enfatizar diferentes matices.
Sin embargo, algunos armónicos en algunos instrumentos pueden no ser de una multiplicación entera cercana de la frecuencia fundamental, causando así una pequeña disonancia . Los instrumentos de "alta calidad" generalmente se construyen de tal manera que sus notas individuales no crean armónicos armónicos. De hecho, el extremo ensanchado de un instrumento de metal no es para hacer que el instrumento suene más fuerte, sino para corregir los “efectos finales” de la longitud del tubo que de otro modo harían que los armónicos fueran significativamente diferentes de los armónicos enteros. Esto se ilustra con lo siguiente:
Considere una cuerda de guitarra. Su primer sobretono idealizado sería exactamente el doble de su fundamental si su longitud se acortara a la mitad, quizás presionando ligeramente una cuerda de guitarra en el traste 12 ; sin embargo, si se examina una cuerda que vibra, se verá que la cuerda no vibra al ras del puente y la tuerca, sino que tiene una pequeña "longitud muerta" de cuerda en cada extremo. [7] Esta longitud muerta en realidad varía de una cuerda a otra, siendo más pronunciada con cuerdas más gruesas y / o más rígidas. Esto significa que reducir a la mitad la longitud física de la cuerda no reduce a la mitad la longitud real de vibración de la cuerda y, por lo tanto, los armónicos no serán múltiplos exactos de una frecuencia fundamental. El efecto es tan pronunciado que las guitarras correctamente configuradas inclinarán el puente de manera que las cuerdas más delgadas tendrán progresivamente una longitud hasta unos pocos milímetros más corta que las cuerdas más gruesas. No hacerlo daría lugar a acordes inarmoniosos formados por dos o más cuerdas. Se aplican consideraciones similares a los instrumentos de tubo.
Término de uso musical
Un sobretono es un parcial (una "onda parcial" o "frecuencia constituyente") que puede ser un parcial armónico (un armónico ) distinto del fundamental, o un parcial inarmónico . Una frecuencia armónica es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. Una frecuencia inarmónica es un múltiplo no entero de una frecuencia fundamental.
Un ejemplo de sobretonos armónicos: (armonía absoluta)
Frecuencia | Pedido | Nombre 1 | Nombre 2 | Nombre 3 |
---|---|---|---|---|
1 · f = 440 Hz | n = 1 | tono fundamental | 1er armónico | 1er parcial |
2 · f = 880 Hz | n = 2 | 2do sobretono [8] | 2do armónico | 2do parcial |
3 · f = 1320 Hz | n = 3 | 3er sobretono | 3er armónico | 3er parcial |
4 · f = 1760 Hz | n = 4 | 4to sobretono | 4to armónico | Cuarto parcial |
Algunos instrumentos musicales [ ¿cuáles? ] producen sobretonos que son ligeramente más agudos o más planos que los verdaderos armónicos. La nitidez o planitud de sus matices es uno de los elementos que contribuye a su sonido. Debido a las inconsistencias de fase [9] entre el armónico fundamental y el parcial, esto también tiene el efecto de hacer que sus formas de onda no sean perfectamente periódicas.
Los instrumentos musicales que pueden crear notas de cualquier duración deseada y tono definido tienen parciales armónicos. Un diapasón, siempre que suene con un mazo (o equivalente) que sea razonablemente suave, tiene un tono que consiste muy cerca del fundamental, solo; tiene una forma de onda sinusoidal. Sin embargo, la música que consta de sinusoides puros resultó insatisfactoria a principios del siglo XX. [10]
Etimología
En el clásico de Hermann von Helmholtz , "Sobre las sensaciones del tono", utilizó el alemán "Obertöne", que era una contracción de "Oberpartialtöne", o en inglés: "tonos parciales superiores". Según Alexander Ellis (en las páginas 24-25 de su traducción al inglés de Helmholtz), la similitud del alemán "ober" con el inglés "over" hizo que el profesor Tyndall tradujera mal el término de Helmholtz, creando así "sobretono". [4] Ellis desacredita el término "sobretono" por sus incómodas implicaciones. Debido a que el "sobretono" hace que los parciales superiores parezcan un fenómeno tan distinto, conduce al problema matemático en el que el primer sobretono es el segundo parcial. Además, a diferencia de la discusión sobre "parciales", la palabra "insinuación" tiene connotaciones que han llevado a la gente a preguntarse acerca de la presencia de " matices " (un término que a veces se confunde con " tonos de diferencia ", pero que también se utiliza en la especulación sobre una serie hipotética de " matices " ").
"Sobretonos" en la música coral
En la música de barbería , un estilo de canto en cuatro partes, la palabra sobretono se usa a menudo de una manera relacionada pero particular. Se refiere a un efecto psicoacústico en el que un oyente escucha un tono audible que es más alto y diferente de los fundamentos de los cuatro tonos que canta el cuarteto. El "sobretono" del cantante de peluquería es creado por las interacciones de los tonos parciales superiores en la nota de cada cantante (y por las frecuencias de suma y diferencia creadas por interacciones no lineales dentro del oído). Se pueden encontrar efectos similares en otra música polifónica a cappella , como la música de la República de Georgia y el cantu a tenore de Cerdeña . Los armónicos se resaltan naturalmente cuando se canta en un espacio particularmente resonante, como una iglesia; Una teoría del desarrollo de la polifonía en Europa sostiene que los cantantes del canto gregoriano , originalmente monofónico, comenzaron a escuchar los matices de su canción monofónica e imitar estos tonos, siendo la quinta, la octava y la tercera mayor los matices vocales más fuertes, es una explicación del desarrollo de la tríada y la idea de consonancia en la música.
El primer paso para componer música coral con canto armónico es descubrir qué se puede esperar que los cantantes hagan con éxito sin una práctica extensa. El segundo paso es encontrar un contexto musical en el que esas técnicas puedan ser efectivas, no meros efectos especiales. Inicialmente se planteó la hipótesis de que los principiantes serían capaces de: [11]
- glissando a través de los parciales de un fundamental dado, ascendente o descendente, rápido o lento
- usar vocales / texto para gestos de tono relativo en parciales indeterminados especificando la forma dada sin especificar parciales particulares
- improvisar en parciales del fundamental dado, ad lib. , libremente, o dando estilo o manera
- encontrar y mantener un parcial en particular (requiere reconocimiento de intervalo)
- por extensión, muévase a un parcial adyacente, arriba o abajo, y alterne entre los dos
No se debe pedir a los cantantes que cambien el tono fundamental, mientras que el canto de armónicos y el cambio de parciales siempre deben ser a un parcial adyacente. Cuando se va a especificar un parcial en particular, se debe dejar tiempo (un tiempo más o menos) para que los cantantes logren que los armónicos "hablen" y encuentren el correcto. [11]
Instrumentos de cuerda
Los instrumentos de cuerda también pueden producir tonos multifónicos cuando las cuerdas se dividen en dos piezas o el sonido se distorsiona de alguna manera. El Sitar tiene cuerdas simpáticas que ayudan a resaltar los matices mientras uno está tocando. Los armónicos también son muy importantes en el Tanpura , el instrumento de zumbido en la música tradicional del norte y sur de la India , en el que las cuerdas sueltas afinadas en octavas y quintas se pulsan y están diseñadas para vibrar para crear una resonancia simpática y resaltar el sonido en cascada de los armónicos.
Los instrumentos de cuerda occidentales, como el violín , se pueden tocar cerca del puente (una técnica llamada " sul ponticello [12] " o "am Steg") que hace que la nota se divida en armónicos mientras se obtiene un distintivo sonido metálico y vidrioso. También se pueden usar varias técnicas de presión de arco para resaltar los armónicos, así como usar nodos de cuerda para producir armónicos naturales. En los instrumentos de la familia del violín, los armónicos se pueden tocar con el arco o punteando. Las partituras y las partes de los instrumentos de la familia de violines occidentales indican dónde debe tocar el intérprete los armónicos. La técnica más conocida en una guitarra es tocar tonos flagelos o usar efectos de distorsión . El instrumento chino antiguo, el Guqin, contiene una escala basada en las posiciones anudadas de los armónicos. También el vietnamita Đàn bầu funciona en tonos flageolet. Otras técnicas extendidas multifónicas utilizadas son piano preparado , guitarra preparada y tercer puente .
Violín
Viola
Violonchelo
Contrabajo
Guitarra
Instrumentos de viento
Los instrumentos de viento manipulan la serie de armónicos significativamente en la producción normal de sonido, pero se pueden usar varias técnicas de ejecución para producir multifónicos que resaltan los armónicos del instrumento. En muchos instrumentos de viento madera, se utilizan digitaciones alternas. "Overblowing [13] ", o agregar una presión de aire intensamente exagerada, también puede hacer que las notas se dividan en sus matices. En los instrumentos de metal, la multifónica puede producirse cantando en el instrumento mientras se toca una nota al mismo tiempo, lo que hace que los dos tonos interactúen; si el tono cantado está en intervalos armónicos específicos con el tono tocado, los dos sonidos se mezclarán y producirán notas adicionales por el fenómeno de los tonos de suma y diferencia .
Los instrumentos de viento no occidentales también explotan los armónicos al tocar, y algunos pueden resaltar el sonido de los armónicos excepcionalmente. Los instrumentos como el didgeridoo dependen en gran medida de la interacción y manipulación de los armónicos lograda por el intérprete que cambia la forma de su boca mientras toca, o canta y toca simultáneamente. Del mismo modo, al tocar una armónica o una pipa de tono , uno puede alterar la forma de su boca para amplificar matices específicos. Aunque no es un instrumento de viento, se utiliza una técnica similar para tocar el arpa de mandíbula : el intérprete amplifica los armónicos del instrumento cambiando la forma y, por lo tanto, la resonancia de su tracto vocal .
Instrumentos de latón
Los instrumentos de metal originalmente no tenían válvulas y solo podían tocar las notas en el sobretono natural o serie armónica. [14]
Los instrumentos de metal todavía dependen en gran medida de la serie de armónicos para producir notas: la tuba generalmente tiene 3-4 válvulas, el trombón tenor tiene 7 posiciones de deslizamiento, la trompeta tiene 3 válvulas y el corno francés generalmente tiene 4 válvulas. Cada instrumento puede tocar (dentro de sus respectivos rangos) las notas de la serie de armónicos en diferentes tonos con cada combinación de digitación (abierto, 1, 2, 12, 123, etc.). La función de cada válvula o rotor (excluyendo el trombón) es la siguiente: 1a válvula baja mayor 2da, 2da válvula baja menor 2da, 3ra válvula-baja menor 3a, 4ta válvula-baja perfecta 4ta (se encuentra en trompeta piccolo, ciertos bombardinos y muchas tubas). [15] La trompa tiene una llave de gatillo que abre otros tubos y tiene un tono perfecto en un cuarto más alto; esto permite una mayor facilidad entre los diferentes registros del instrumento. [15] Las válvulas permiten que los instrumentos de metal toquen notas cromáticas, así como notas dentro de la serie de armónicos (válvula abierta = serie de armónicos C, segunda válvula = serie de armónicos B en la trompeta C) al cambiar la velocidad del aire y las vibraciones de los labios.
La tuba , el trombón y la trompeta tocan notas dentro de las primeras octavas de la serie de armónicos, donde los parciales están más separados. La trompa suena notas en una octava más alta de la serie de armónicos, por lo que los parciales están más juntos y dificultan la ejecución de los tonos y parciales correctos. [14]
Canto entonado
El canto armónico es una forma tradicional de cantar en muchas partes del Himalaya y Altay ; Los tibetanos, mongoles y tuvanos son conocidos por su canto armónico. En estos contextos, a menudo se lo conoce como canto de garganta o khoomei , aunque no debe confundirse con el canto de garganta inuit , que se produce por diferentes medios. También existe la posibilidad de crear el sobretono a partir del tono fundamental sin ningún estrés en la garganta.
Además, el sobretono es muy importante en el canto para cuidar la forma del tracto vocal, mejorar el color, la resonancia y la declamación del texto. Durante la práctica del canto armónico, ayuda al cantante a eliminar la presión innecesaria sobre el músculo, especialmente alrededor de la garganta. Entonces, si uno puede "encontrar" un solo sobretono, entonces sabrá dónde debe estar la sensación para sacar la resonancia vocal en general, ayudando a encontrar la resonancia en la propia voz en cualquier vocal y en cualquier registro. [dieciséis]
Sobretonos en la composición musical
La primacía de la tríada en la armonía occidental proviene de los primeros cuatro parciales de la serie armónica. Los parciales del octavo al decimocuarto se asemejan a la escala acústica templada igual :
Cuando esta escala se representa como un acorde, se denomina acorde de decimotercera dominante lidio. [17] Este acorde aparece en toda la música occidental, pero se utiliza notablemente como base de la armonía del jazz , ocupa un lugar destacado en la música de Franz Liszt , Claude Debussy , [18] Maurice Ravel , y aparece como el acorde místico en la música de Alexander. Scriabin . [19] [20] [21]
Debido a que la serie de armónicos se eleva infinitamente desde la fundamental sin periodicidad, en la música occidental la escala de temperamento igual se diseñó para crear sincronicidad entre diferentes octavas. [2] [22] Esto se logró desajustando ciertos intervalos, como la quinta perfecta . Una quinta perfecta verdadera está 702 centavos por encima de la fundamental, pero un temperamento igual la aplana en dos centavos. La diferencia es apenas perceptible y permite que la ilusión de que la escala esté afinada consigo misma en múltiples octavas, y que las tonalidades basadas en las 12 notas cromáticas suenen afinadas. [23]
Los compositores clásicos occidentales también han hecho uso de la serie de armónicos a través de la orquestación. En su tratado "Principios de orquestación", el compositor ruso Nikolai Rimsky-Korsakov dice que la serie de armónicos "puede servir como guía para el arreglo orquestal de los acordes". [24] Rimsky-Korsakov luego demuestra cómo expresar una tríada de Do mayor de acuerdo con la serie de armónicos, usando los parciales 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11 y 15.
En el siglo XX, la exposición a la música no occidental y otros descubrimientos científicos acústicos llevaron a algunos compositores occidentales a explorar sistemas de afinación alternativos. Harry Partch, por ejemplo, diseñó un sistema de afinación que divide la octava en 43 tonos, y cada tono se basa en la serie de armónicos. [25] La música de Ben Johnston utiliza muchos sistemas de afinación diferentes, incluido su Cuarteto de cuerdas No. 5, que divide la octava en más de 100 tonos. [26]
La música espectral es un género desarrollado por Gérard Grisey y Tristan Murail en las décadas de 1970 y 1980, bajo los auspicios de IRCAM . En términos generales, la música espectral se ocupa de la resonancia y la acústica como elementos de composición. Por ejemplo, en la obra fundamental de Grisey, Partiels , el compositor utilizó un sonograma para analizar las verdaderas características sonoras de la nota más baja de un trombón tenor (E2). [2] El análisis reveló qué matices eran más prominentes de ese sonido, y Partiels se compuso luego en torno al análisis. Otro trabajo espectral seminal es Gondwana para orquesta de Tristan Murail . Este trabajo comienza con un análisis espectral de una campana y gradualmente lo transforma en el análisis espectral de un instrumento de viento. [2] Otros espectralistas y post-espectralistas incluyen a Jonathan Harvey , Kaija Saariaho y Georg Friedrich Haas .
John Luther Adams es conocido por su amplio uso de la serie de armónicos, así como por su tendencia a permitir que los músicos hagan sus propios grupos y toquen a su propio ritmo para alterar la experiencia sonora. [27] Por ejemplo, su pieza Sila: The Breath of the World puede ser interpretada por 16 a 80 músicos y se dividen en sus propios grupos. La pieza está ambientada en dieciséis "nubes armónicas" que se basan en los primeros dieciséis armónicos de si bemol bajo. Otro ejemplo es la pieza Everything That Rises de John Luther Adam , que se desarrolló con su pieza Sila: The Breath of the World . Everything That Rises es una pieza para cuarteto de cuerdas que tiene dieciséis nubes armónicas que se construyen a partir del tono fundamental (C0) [28]
Ver también
- Armónico
- Subarmónico
- Solo entonación
- Xenharmonic
- Octava estirada
- Tono de combinación
- Sintonizador electrónico
- Escala de armónicos
- Banda entonada (en espectroscopía vibracional)
Referencias
- ^ "Armónicos y armónicos" . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Consultado el 26 de octubre de 2020 .
- ^ a b c d Fineberg, Joshua (2000). "Guía de los conceptos y técnicas básicos de la música espectral" (PDF) . Revista de Música Contemporánea . 19 (2): 81-113. doi : 10.1080 / 07494460000640271 . S2CID 191456235 . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Hinds, Stuart (octubre de 2010). "Cómo enseñar a cantar armónicos a su coro" . El Diario Coral . 51 (3): 34–43.
- ↑ a b Alexander J. Ellis (traduciendo a Hermann Helmholtz): Sobre las sensaciones del tono como base fisiológica para la teoría de la música , páginas 24 y 25. 1885, reimpreso por Dover Publications, Inc., Nueva York, 1954.
- ^ Elena Prestini, La evolución del análisis armónico aplicado: modelos del mundo real , ISBN 0-8176-4125-4 (p140)
- ^ "Sonidos de vocales" . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ "Mapa de armónicos naturales" . Fretsource . Consultado el 27 de febrero de 2021 .
- ^ a b Riemann por Shedlock (1876). Diccionario de Música . Augener & Co., Londres. pag. 143.
Que se entienda, el segundo sobretono no es el tercer tono de la serie, sino el segundo.
- ↑ James Patrick, DS14
- ^ Shepard, Roger N. (1982), "Representaciones estructurales del tono musical", en Deutsch, Diana (ed.), Psicología de la música, Un volumen en Cognición y percepción , Amsterdam: Elsevier, p. 346, citando a HJ Watt, The Psychology of Sound, pág. 63 (Cambridge University Press, 1917)
- ^ a b Hinds, Stuart (abril de 2007). "Nueva música para coro con canto entonado" . The Choral Journal, publicado por: American Choral Directors Association . 47 (10): 20–31.
- ^ Allen, extraño. "El violín contemporáneo: técnicas de interpretación extendidas" . www.amazon.com . Consultado el 27 de febrero de 2021 .
- ^ "Flauta" . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Consultado el 27 de febrero de 2021 .
- ^ a b Schmidt-Jones, Catherine (2015). Sonido, Física y Música . Plataforma de publicación independiente CreateSpace.
- ^ a b "Técnicas de latón y pedagogía" . PalniPress .
- ^ Hinds, Stuart (septiembre de 2005). "Argumento a favor de la investigación y el uso del canto armónico". Diario de canto. ProQuest 1402609 . Falta o vacío
|url=
( ayuda ) - ^ Levine, Mark (1995). El libro de teoría del jazz . California: Sher Music Co. págs. Ix – x. ISBN 1883217040. Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Don, Gary W. (abril de 2001). "Colores brillantes provocativamente mezclados: estructuras armónicas en la música de Debussy" . Espectro de teoría musical . 23 (1): 61–73. doi : 10.1525 / mts.2001.23.1.61 . ISSN 0195-6167 .
- ^ Russell, George (2001). El concepto cromático de Lidia de organización tonal: el arte y la ciencia de la gravedad tonal . Brookline, MA: Concept Publishing Company. págs. 95–96. ISBN 978-0970373908.
- ^ Jameson, Elizabeth (1942). Un análisis estilístico de las obras para piano de Debussy y Ravel (PDF) . Denton, TX: Universidad del Norte de Texas. pag. 158.
- ^ Peacock, Kenneth (1985). "Percepción sinestésica: Audición del color de Alexander Scriabin". Percepción musical . 2 (4): 496. doi : 10.2307 / 40285315 . JSTOR 40285315 .
- ^ Trajes, Bryan. "Escalas: temperamento justo frente a igual" . Física de la Música . Universidad Tecnológica de Michigan . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Saus, Wolfgang. "La Serie Armónica" . Oberton . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Rimsky-Korsakov, Nikolai (1922). Principios de orquestación (Segunda ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 67. ISBN 0-486-21266-1. Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Ross, Alex (18 de abril de 2005). "Off the Rails: Una rara interpretación del" Edipo de Harry Partch ". " " . The New Yorker . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Huey, Daniel (marzo de 2017). Armonía Armonía, dirección de voz y dirección de micrófono, y sintaxis microtonal en la sintaxis onal de Ben Johnston en el Cuarteto de cuerda n . ° 5 de Ben Johnston . Amherst, MA: Universidad de Massachusetts, Amherst. pag. vi . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Tsioulcas, Anastasia. "Un soplo de inspiración: John Luther Adams 'Nuevo' Sila ' " . NPR .
- ^ Adams, John Luther. "Todo lo que sube" . John Luther Adams .
enlaces externos
- Sobretonos, parciales y armónicos de frecuencia fundamental
- Timbre: el color de la música