p -número de ádico

Sistema numérico para un primo p que extiende los racionales, definiendo la cercanía de manera diferente

Los números enteros 3-ádicos, con los caracteres correspondientes seleccionados en su grupo dual Pontryagin

En matemáticas , el sistema numérico p -ádico para cualquier número primo  p extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente desde la extensión del sistema numérico racional a los sistemas numéricos reales y complejos . La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de "cercanía" o valor absoluto . En particular, dos números p -ádicos se consideran cercanos cuando su diferencia es divisible por una potencia alta de p : cuanto mayor es la potencia, más cercanos están. Esta propiedad habilita p-números ádicos para codificar información de congruencia de una manera que resulte tener aplicaciones poderosas en la teoría de números , incluida, por ejemplo, en la famosa demostración del último teorema de Fermat de Andrew Wiles . ^[1]

Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, ^[2] aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como utilizando implícitamente números p -ádicos. ^{[nota 1]} Los números p -ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de series de potencia a la teoría de números . Su influencia ahora se extiende mucho más allá de esto. Por ejemplo, el campo del análisis p -ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo .

Estructura algebraica → Teoría del anillo Teoría del anillo
Conceptos básicos Anillos • Subanillos • Ideal • Anillo de cociente • Ideal fraccional • Anillo de cociente total • Anillo de producto • Producto gratuito de álgebras asociativas • Producto tensor de anillos Homomorfismos de anillo • Kernel • Automorfismo interno • Endomorfismo de Frobenius Estructuras algebraicas • Módulo • Álgebra asociativa • Anillo graduado • Anillo involutivo • Categoría de anillos • Timbre inicial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anillo terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Estructuras relacionadas • Campo • Campo finito • Anillo no asociativo • Anillo de mentira • Anillo de Jordan • Semiring • Semicampo
Álgebra conmutativa Anillos conmutativos • Dominio integral • Dominio integralmente cerrado • Dominio GCD • Dominio de factorización único • Dominio ideal principal • Dominio euclidiano • Campo • Campo finito • Anillo de composición • Anillo polinomial • Anillo formal de la serie Power Teoría algebraica de números • Campo numérico algebraico • Anillo de números enteros • Independencia algebraica • Teoría de números trascendental • Grado de trascendencia p - teoría de números ádicos y decimales • Límite directo / límite inverso • Anillo cero ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Enteros módulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anillo circular p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Racionales p -ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -enteros ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -números ádicos ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solenoide p -ádico ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometría algebraica • Variedad afín
Álgebra no conmutativa Anillos no conmutativos • Anillo de división • Anillo semiprimitivo • Anillo simple • Conmutador Geometría algebraica no conmutativa Álgebra libre Álgebra de Clifford • Álgebra geométrica Álgebra de operadores
v t mi

Más formalmente, para un primo p dado  , el campo Q _p de números p -ádicos es una terminación de los números racionales . El campo Q _p también recibe una topología derivada de una métrica , que a su vez se deriva del orden p -ádico , una valoración alternativa de los números racionales. Este espacio métrico está completo en el sentido de que cada secuencia de Cauchy converge a un punto en Q _p . Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo en Q _p, y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que da a los sistemas numéricos p -ádicos su poder y utilidad.

La p en " p -adic" es una variable y puede ser reemplazada con un primo (produciendo, por ejemplo, "los números 2-ádicos") u otra variable de marcador de posición (para expresiones como "los números ℓ-ádicos"). El "adic" de " p -adic" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádica o triádica .

Introducción

Esta sección es una introducción informal a los números p- ádicos, usando ejemplos del anillo de números 10-ádicos (decádicos). Aunque para los números p -ádicos, p debería ser un primo, se eligió la base 10 para resaltar la analogía con los decimales. Los números decádicos generalmente no se usan en matemáticas: dado que 10 no es primo ni potencia primo , los decádicos no son un campo. A continuación se dan construcciones y propiedades más formales.

En la representación decimal estándar , casi todos los números reales ^{[nota 2]} no tienen una representación decimal final. Por ejemplo, 1/3 se representa como un decimal no final de la siguiente manera

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.333333\ldots .}$

De manera informal, los decimales no terminales se entienden fácilmente, porque está claro que un número real puede aproximarse a cualquier grado requerido de precisión mediante un decimal terminal. Si dos expansiones decimales difieren solo después del décimo lugar decimal, están bastante cerca una de la otra; y si difieren sólo después del vigésimo decimal, están aún más cerca.

Los números 10-ádicos usan una expansión no terminante similar, pero con un concepto diferente de "cercanía". Mientras que dos expansiones decimales están cerca una de la otra si su diferencia es una gran potencia negativa de 10, dos expansiones 10-ádicas son cercanas si su diferencia es una gran potencia positiva de 10. Por lo tanto, 4739 y 5739, que difieren en 10 ³ , son close en el mundo 10-ádico, y 72694473 y 82694473 están aún más cerca, con una diferencia de 10 ⁷ .

Más precisamente, cada número racional positivo  r se puede expresar de forma única como r =:a/B· 10 ^d , donde a y b son números enteros positivos y mcd ( a , b ) = 1, mcd ( b , 10) = 1, mcd ( a , 10) <10 . Deje que el 10-adic "valor absoluto" ^{[nota 3]} de  r sea

${\displaystyle |r|_{10}:=|10^{d}|_{10}={\frac {1}{10^{d}}}}$ .

Además, definimos

${\displaystyle |0|_{10}:=0}$ .

Ahora, teniendo un / b = 1 y d = 0,1,2, ... tenemos

| 10 ⁰ | ₁₀ = 10 ⁰ , | 10 ¹ | ₁₀ = 10 ⁻¹ , | 10 ² | ₁₀ = 10 ⁻² , ... ,

con la consecuencia de que tenemos

${\displaystyle \lim _{d\rightarrow +\infty }|10^{d}|_{10}=0}$ .

La cercanía en cualquier sistema numérico se define mediante una métrica . Utilizando el 10-adic métrica la distancia entre los números x e y viene dada por | x  -  y | ₁₀ . Una consecuencia interesante de la métrica 10-ádica (o de una métrica p -ádica) es que ya no hay necesidad del signo negativo. (De hecho, no existe una relación de orden que sea compatible con las operaciones de anillo y esta métrica). Como ejemplo, al examinar la siguiente secuencia podemos ver cómo los 10-adics sin signo pueden acercarse progresivamente más y más al número -1:

${\displaystyle 9=-1+10}$        así  .${\displaystyle |9-(-1)|_{10}={\frac {1}{10}}}$

${\displaystyle 99=-1+10^{2}}$       así  .${\displaystyle |99-(-1)|_{10}={\frac {1}{100}}}$

${\displaystyle 999=-1+10^{3}}$       así  .${\displaystyle |999-(-1)|_{10}={\frac {1}{1000}}}$

${\displaystyle 9999=-1+10^{4}}$       así  .${\displaystyle |9999-(-1)|_{10}={\frac {1}{10000}}}$

y llevando esta secuencia a su límite, podemos deducir la expansión 10-ádica de −1

${\displaystyle |\dots 9999-(-1)|_{10}=0}$ ,

por lo tanto

${\displaystyle \dots 9999=-1}$ ,

una expansión que claramente es una representación en complemento de diez .

En esta notación, las expansiones 10-ádicas pueden extenderse indefinidamente hacia la izquierda, en contraste con las expansiones decimales, que pueden extenderse indefinidamente hacia la derecha. Tenga en cuenta que esta no es la única forma de escribir p -números ádicos; para conocer las alternativas, consulte la sección Notación a continuación.

Más formalmente, un número 10-adic puede definirse como

${\displaystyle \sum _{i=n}^{\infty }a_{i}10^{i}}$

donde cada uno de los a _i es un dígito tomado del conjunto {0, 1, ..., 9} y el índice inicial n puede ser positivo, negativo o 0, pero debe ser finito. A partir de esta definición, está claro que los enteros positivos y los números racionales positivos con expansiones decimales terminales tendrán expansiones 10-ádicas terminales que son idénticas a sus expansiones decimales. Otros números pueden tener expansiones 10-ádicas no terminantes.

Es posible definir la suma, la resta y la multiplicación en números 10-ádicos de manera consistente, de modo que los números 10-ádicos formen un anillo conmutativo .

Podemos crear expansiones 10-ádicas para números "negativos" ^{[nota 4] de la} siguiente manera

${\displaystyle -100=-1\times 100=\dots 9999\times 100=\dots 9900}$

${\displaystyle \Rightarrow -35=-100+65=\dots 9900+65=\dots 9965}$

${\displaystyle \Rightarrow -\left(3+{\dfrac {1}{2}}\right)={\dfrac {-35}{10}}={\dfrac {\dots 9965}{10}}=\dots 9996.5}$

y las fracciones que tienen expansiones decimales no terminantes también tienen expansiones 10-ádicas no terminantes. Por ejemplo

${\displaystyle {\dfrac {10^{6}-1}{7}}=142857;\qquad {\dfrac {10^{12}-1}{7}}=142857142857;\qquad {\dfrac {10^{18}-1}{7}}=142857142857142857}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {1}{7}}=\dots 142857142857142857}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {6}{7}}=\dots 142857142857142857\times 6=\dots 857142857142857142}$

${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {1}{7}}=-{\dfrac {6}{7}}+1=\dots 857142857142857143={\overline {285714}}3.}$

Generalizando el último ejemplo, podemos encontrar una expansión de 10 ádicos sin dígitos a la derecha del punto decimal para cualquier número racional a / b tal que b sea ​​coprimo de 10; El teorema de Euler garantiza que si b es coprimo de 10, entonces hay una n tal que 10 ⁿ - 1 es un múltiplo de  b . Los otros números racionales se pueden expresar como números 10-adic con algunos dígitos después del punto decimal.

Como se señaló anteriormente, los números 10-ádicos tienen un gran inconveniente. Es posible encontrar pares de números 10-ádicos distintos de cero (que no son racionales, por lo que tienen un número infinito de dígitos) cuyo producto es 0. ^{[3] [nota 5]} Esto significa que los números 10-ádicos no siempre tienen inversos multiplicativos, es decir, recíprocos válidos, lo que a su vez implica que aunque los números 10-ádicos forman un anillo, no forman un campo , una deficiencia que los hace mucho menos útiles como herramienta analítica. Otra forma de decir esto es que el anillo de números 10-ádicos no es un dominio integral porque contienen cero divisores . ^{[nota 5]} La razón de esta propiedad resulta ser que 10 es un número compuesto que no es una potencia de un primo. Este problema se evita simplemente utilizando un número primo p o una potencia prima p ⁿ como base del sistema numérico en lugar de 10 y, de hecho, por esta razón, p en p -ádico generalmente se toma como primo.

fracción	notación decimal original	Notación 10-ádica	fracción	notación decimal original	Notación 10-ádica	fracción	notación decimal original	Notación 10-ádica
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0,5	0,5	${\displaystyle {\frac {5}{7}}}$	0. 714285	428571 5	${\displaystyle {\frac {9}{10}}}$	0,9	0,9
${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	0. 3	6 7	${\displaystyle {\frac {6}{7}}}$	0. 857142	714285 8	${\displaystyle {\frac {1}{11}}}$	0. 09	09 1
${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	0. 6	3 4	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	0,125	0,125	${\displaystyle {\frac {2}{11}}}$	0. 18	18 2
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	0,25	0,25	${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$	0.375	0.375	${\displaystyle {\frac {3}{11}}}$	0. 27	27 3
${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	0,75	0,75	${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$	0,625	0,625	${\displaystyle {\frac {4}{11}}}$	0. 36	36 4
${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	0,2	0,2	${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$	0,875	0,875	${\displaystyle {\frac {5}{11}}}$	0. 45	45 5
${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$	0.4	0.4	${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	0, 1	8 9	${\displaystyle {\frac {6}{11}}}$	0. 54	54 6
${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$	0,6	0,6	${\displaystyle {\frac {2}{9}}}$	0, 2	7 8	${\displaystyle {\frac {7}{11}}}$	0. 63	63 7
${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$	0,8	0,8	${\displaystyle {\frac {4}{9}}}$	0. 4	5 6	${\displaystyle {\frac {8}{11}}}$	0. 72	72 8
${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	0,1 6	3 .5	${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$	0, 5	4 5	${\displaystyle {\frac {9}{11}}}$	0. 81	81 9
${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$	0,8 3	6 7.5	${\displaystyle {\frac {7}{9}}}$	0. 7	2 3	${\displaystyle {\frac {10}{11}}}$	0. 90	09 10
${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$	0. 142857	285714 3	${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$	0. 8	1 2	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	0,08 3	6 .75
${\displaystyle {\frac {2}{7}}}$	0. 285714	571428 6	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$	0,1	0,1	${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$	0,41 6	3 .75
${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$	0. 428571	857142 9	${\displaystyle {\frac {3}{10}}}$	0,3	0,3	${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$	0,58 3	6 7.25
${\displaystyle {\frac {4}{7}}}$	0. 571428	142857 2	${\displaystyle {\frac {7}{10}}}$	0,7	0,7	${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$	0,91 6	3 4.25

expansiones p -ádicas

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Cuando se trata de números naturales, si p se toma como un número primo fijo, entonces cualquier entero positivo se puede escribir como una expansión de base  p en la forma

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}}$

donde a _i son números enteros en {0, ...,  p  - 1 }. ^[4] Por ejemplo, la expansión binaria de 35 es 1 · 2 ⁵ + 0 · 2 ⁴ + 0 · 2 ³ + 0 · 2 ² + 1 · 2 ¹ + 1 · 2 ⁰ , a menudo escrito en la notación abreviada 100011 ₂ .

El enfoque familiar para extender esta descripción al dominio más amplio de los racionales ^{[5] [6]} (y, en última instancia, a los reales) es usar sumas de la forma:

${\displaystyle \pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}p^{i}.}$

Se les da un significado definido a estas sumas basadas en secuencias de Cauchy , usando el valor absoluto como métrica. Así, por ejemplo, 1/3 se puede expresar en base 5 como el límite de la secuencia 0.1313131313 ... ₅ . En esta formulación, los enteros son precisamente aquellos números para los cuales a _i = 0 para todo i <0.

Con los números p -ádicos, por otro lado, elegimos extender las expansiones base  p de una manera diferente. A diferencia de los enteros tradicionales, donde la magnitud está determinada por qué tan lejos están de cero, el "tamaño" de los números p -ádicos está determinado por el valor absoluto p -ádico , donde las altas potencias positivas de p son relativamente pequeñas en comparación con las altas potencias negativas de p .

Considere las sumas infinitas de la forma:

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

donde k es un número entero (no necesariamente positivo), y cada coeficiente es un número entero tal que 0 ≤ a _i < p , que se puede llamar un dígito p -ádico . ^[7] Esto define el p expansiones -adic de los p números -adic. Los números p -ádicos para los cuales a _i = 0 para todo i <0 también se denominan enteros p -ádicos , y forman un subconjunto de los números p -ádicos comúnmente denotados${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

A diferencia de las expansiones de números reales que se extienden hacia la derecha como sumas de potencias cada vez más pequeñas y cada vez más negativas de la base p , los números p -ádicos pueden expandirse hacia la izquierda para siempre, una propiedad que a menudo puede ser cierta para los enteros p -ádicos. Por ejemplo, considere la expansión p -ádica de 1/3 en base 5. Se puede demostrar que es ... 1313132 ₅ , es decir, el límite de la secuencia 2 ₅ , 32 ₅ , 132 ₅ , 3132 ₅ , 13132 ₅ , 313132 ₅ , 1313132 ₅ , ...:

${\displaystyle {\dfrac {5^{2}-1}{3}}={\dfrac {44_{5}}{3}}=13_{5};\,{\dfrac {5^{4}-1}{3}}={\dfrac {4444_{5}}{3}}=1313_{5}}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {1}{3}}=\dots 1313_{5}}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {2}{3}}=\dots 1313_{5}\times 2=\dots 3131_{5}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {1}{3}}=-{\dfrac {2}{3}}+1=\dots 3132_{5}.}$

Multiplicar esta suma infinita por 3 en base 5 da ... 0000001 ₅ . Como no hay potencias negativas de 5 en esta expansión de 1/3 (es decir, no hay números a la derecha del punto decimal), vemos que 1/3 satisface la definición de ser un entero p -ádico en base 5.

Más formalmente, las expansiones p -ádicas se pueden usar para definir el campo Q _p de p -números ádicos, mientras que los enteros p -ádicos forman un subanillo de Q _p , denotado Z _p . (No debe confundirse con el anillo de números enteros módulo  p, que a veces también se escribe Z _p . Para evitar la ambigüedad, Z / p Z o Z / ( p ) se utilizan a menudo para representar los números enteros módulo  p .)

Si bien es posible utilizar el enfoque anterior para definir los números p -ádicos y explorar sus propiedades, al igual que en el caso de los números reales, generalmente se prefieren otros enfoques. Por lo tanto, queremos definir una noción de suma infinita que haga que estas expresiones sean significativas, y esto se logra más fácilmente mediante la introducción de la métrica p -ádica. En la sección Construcciones a continuación se presentan dos soluciones diferentes pero equivalentes a este problema .

Notación

Hay varias convenciones diferentes para escribir expansiones p -ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para expansiones p -ádicas en las que las potencias de  p aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de 1 ⁄ 5 , por ejemplo, se escribe como

${\displaystyle {\dfrac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos se llevan a la izquierda. También es posible escribir expansiones p -ádicas de modo que las potencias de p aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se lleven a la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de 1 ⁄ 5 es

${\displaystyle {\dfrac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\dfrac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

Las expansiones p -ádicas se pueden escribir con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ...,  p  - 1 }. Por ejemplo, la expansión 3-adic de ¹ / ₅ se puede escribir usando equilibradas ternarias dígitos { 1 , 0,1} como

${\displaystyle {\dfrac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{bal3}}.}$

De hecho, cualquier conjunto de p enteros que estén en distintas clases de residuos módulo p puede usarse como p -dígitos ádicos. En teoría de números, los representantes de Teichmüller a veces se utilizan como dígitos. ^[8]

Construcciones

Enfoque analítico

Ver también: orden p-adic

p = 2		← distancia = 1 →
Decimal	Binario	← d = 1 ⁄ 2 →				← d = 1 ⁄ 2 →
		‹D = 1 ⁄ 4  ›		‹D = 1 ⁄ 4  ›		‹D = 1 ⁄ 4  ›		‹D = 1 ⁄ 4  ›
		‹ 1 ⁄ 8 ›	‹ 1 ⁄ 8 ›	‹ 1 ⁄ 8 ›	‹ 1 ⁄ 8 ›	‹ 1 ⁄ 8 ›	‹ 1 ⁄ 8 ›	‹ 1 ⁄ 8 ›	‹ 1 ⁄ 8 ›
		................................................
17	10001					J
dieciséis	10000	J
15	1111								L
14	1110				L
13	1101						L
12	1100		L
11	1011							L
10	1010			L
9	1001					L
8	1000	L
7	111								L
6	110				L
5	101						L
4	100		L
3	11							L
2	10			L
1	1					L
0	0 ... 000	L
−1	1 ... 111								J
−2	1 ... 110				J
−3	1 ... 101						J
−4	1 ... 100		J
dic	Compartimiento	·····················································································································································································································································································
	Disposición 2-ádica ( p = 2 ) de números enteros, de izquierda a derecha. Esto muestra un patrón de subdivisión jerárquica común para espacios ultramétricos . Los puntos dentro de una distancia de 1/8 se agrupan en una franja de color. Un par de tiras a una distancia de 1/4 tienen el mismo croma , cuatro tiras a una distancia de 1/2 tienen el mismo tono . El tono está determinado por el bit menos significativo , la saturación , por el siguiente (2 1 ) bit, y el brillo depende del valor de 2 2 bit. Los bits (lugares de dígitos) que son menos significativos para la métrica habitual son más significativos para la p  -adic distancia.

Imagen similar para p  =  3 (haga clic para agrandar) muestra tres bolas cerradas de radio 1/3, donde cada una consta de 3 bolas de radio 1/9

Los números reales pueden definirse como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales ; esto nos permite, por ejemplo, escribir como 1 = 1.000 ... 0.999 ... . Sin embargo, la definición de una secuencia de Cauchy se basa en la métrica elegida, por lo que si elegimos una diferente, podemos construir números distintos a los números reales. La métrica habitual que produce los números reales se llama métrica euclidiana .

Para un primo p dado  , definimos el valor absoluto p-ádico en Q de la siguiente manera: para cualquier número racional distinto de cero  x , hay un entero único  n que nos permite escribir x = p ⁿ ( a / b ) , donde ninguno de los enteros una y b es divisible por  p . A menos que el numerador o denominador de  x en términos más bajos contenga p como factor, n será 0. Ahora defina | x | _pag= p ^{- n} . También definimos | 0 | _p = 0 .

Por ejemplo, con x = 63/550 = 2 ⁻¹ · 3 ² · 5 ⁻² · 7 · 11 ⁻¹

${\displaystyle {\begin{aligned}&|x|_{2}=2\\[6pt]&|x|_{3}=1/9\\[6pt]&|x|_{5}=25\\[6pt]&|x|_{7}=1/7\\[6pt]&|x|_{11}=11\\[6pt]&|x|_{\text{any other prime}}=1.\end{aligned}}}$

Esta definición de | x | _p tiene el efecto de que las altas potencias de  p se vuelven "pequeñas". Según el teorema fundamental de la aritmética , para un número racional x distinto de cero dado, existe un conjunto finito único de primos distintos y una secuencia correspondiente de números enteros distintos de cero, tal que:${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle |x|=p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{r}^{a_{r}}.}$

Luego se sigue que para todos , y para cualquier otro primo${\displaystyle |x|_{p_{i}}=p_{i}^{-a_{i}}}$${\displaystyle 1\leq i\leq r}$${\displaystyle |x|_{p}=1}$${\displaystyle p\notin \{p_{1},\ldots ,p_{r}\}.}$

El valor absoluto p -ádico define una métrica d _p en Q estableciendo

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

El campo Q _p de p -números ádicos puede definirse entonces como la finalización del espacio métrico ( Q , d _p ); sus elementos son clases de equivalencia de secuencias de Cauchy, donde dos secuencias se denominan equivalentes si su diferencia converge a cero. De esta manera, se obtiene un espacio métrico completo, que es también un campo y contiene Q . Con este valor absoluto, el campo Q _p es un campo local .

Se puede demostrar que en Q _p , cada elemento x puede escribirse de una manera única como

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

donde k es un número entero tal que a _k ≠ 0 y cada a _i está en {0, ...,  p  - 1  }. Esta serie converge a x con respecto a la métrica d _p . Los p -enteros ádicos Z _p son los elementos donde k no es negativo. En consecuencia, Q _p es isomorfo a Z [1 / p] + Z _p . ^[9]

El teorema de Ostrowski establece que cada valor absoluto de Q es equivalente al valor absoluto euclidiano, el valor absoluto trivial , oa uno de los valores absolutos p -ádicos para algún primo  p . Cada valor absoluto (o métricas) conduce a una conclusión diferente de Q . (Con el valor absoluto trivial, Q ya está completo).

Enfoque algebraico

En el enfoque algebraico, primero definimos el anillo de los números p -ádicos y luego construimos el campo de fracciones de este anillo para obtener el campo de los números p -ádicos.

Comenzamos con el límite inverso de los anillos Z / p ⁿ Z (ver aritmética modular ): un entero p -ádico m es entonces una secuencia ( a _n ) _{n ≥1} tal que a _n está en Z / p ⁿ Z , y si n ≤ l , entonces a _n ≡ a _l (mod p ⁿ ) .

Cada número natural m define dicha secuencia ( a _n ) por a _n ≡ m (mod p ⁿ ) y, por lo tanto, puede considerarse como un entero p -ádico. Por ejemplo, en este caso 35 como un número entero 2-ádico se escribiría como la secuencia (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35, ...).

Los operadores del anillo equivalen a la suma y multiplicación puntuales de tales secuencias. Esto está bien definido porque la suma y la multiplicación conmutan con el operador " mod "; ver aritmética modular .

Además, toda secuencia ( a _n ) _{n ≥1} con el primer elemento a ₁ ≢ 0 (mod p ) tiene un inverso multiplicativo. En ese caso, para cada n , a _n y p son coprimos , por lo que a _n y p ⁿ son relativamente primos. Por lo tanto, cada una _n tiene una inversa mod p ⁿ , y la secuencia de estos inversos, ( b _n ) , es la inversa buscado de ( una_n ). Por ejemplo, considere elenterop-ádico correspondiente al número natural 7; como un número 2-adic, se escribiría (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, ...). La inversa de este objeto se escribiría como una secuencia cada vez mayor que comienza (1, 3, 7, 7, 23, 55, 55, 183, 439, 439, 1463 ...). Naturalmente, este número entero 2-ádico no tiene un número natural correspondiente.

Cada secuencia de este tipo se puede escribir alternativamente como una serie . Por ejemplo, en los 3-adics, la secuencia (2, 8, 8, 35, 35, ...) se puede escribir como 2 + 2 · 3 + 0 · 3 ² + 1 · 3 ³ + 0 · 3 ⁴ + ... Las sumas parciales de esta última serie son los elementos de la secuencia dada.

El anillo de enteros p -ádicos no tiene divisores de cero, por lo que podemos tomar el campo de fracciones para obtener el campo Q _p de números p -ádicos. Tenga en cuenta que en este campo de fracciones, cada número p -ádico no entero se puede escribir de forma única como p ^{- n}  u con un número natural n y una unidad u en los enteros p -ádicos. Esto significa que

${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}=\operatorname {Quot} \left(\mathbf {Z} _{p}\right)=(p^{\mathbf {N} })^{-1}\mathbf {Z} _{p}=\mathbf {Z} _{p}{\cup }(p^{\mathbf {N} })^{-1}\mathbf {Z} _{p}^{\times }.}$

Tenga en cuenta que S ⁻¹  A , donde es un subconjunto multiplicativo (contiene la unidad y cerrado bajo multiplicación) de un anillo conmutativo (con unidad) , es una construcción algebraica llamada anillo de fracciones o localización de por .${\displaystyle S=p^{\mathbf {N} }=\{p^{n}:n\in \mathbf {N} \}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$

Propiedades

Cardinalidad

Z _p es el límite inverso de los anillos finitos Z / p ^k Z , que es incontable ^{[10]; de} hecho, tiene la cardinalidad del continuo . En consecuencia, el campo Q _p es incontable. El anillo endomorphism de la Prüfer p -Grupo de rango n , denotado Z ( p ^∞ ) ⁿ , es el anillo de n × n matrices más de Z _p ; esto a veces se conoce como elMódulo Tate .

El número de p números -adic con terminación p representaciones -adic es infinito numerable . Y, si los dígitos estándar se toman, sus coincide valor y representación en Z _p y R .${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}}$

Topología

Un esquema que muestra la topología de los enteros diádicos (o incluso p -ádicos). Cada grupo es un conjunto abierto formado por otros grupos. Los números en el cuarto más a la izquierda (que contiene 1) son todos los números impares. El siguiente grupo a la derecha son los números pares no divisibles por 4.

Definir una topología en Z _p tomando como base de conjuntos abiertos todos los conjuntos de la forma

${\displaystyle U_{a}(n)=\left\{n+\lambda p^{a}:\lambda \in \mathbf {Z} _{p}\right\}.}$

donde a es un número entero no negativo yn es un número entero en [1, p ^a ]. Por ejemplo, en los enteros diádicos, U ₁ (1) es el conjunto de números impares. U _a ( n ) es el conjunto de todos los enteros p -ádicos cuya diferencia de n tiene un valor absoluto p -ádico menor que p ^{1− a} . Entonces Z _p es un compactificación de Z , en la topología de derivado (que es no una compactación de Z con su topología discreta habitual). Latopología relativa en Z como un subconjunto de Z _p se denomina p topología -adic en Z .

La topología de Z _p es la de un conjunto de Cantor . ^[11] Por ejemplo, podemos hacer un mapeo continuo 1 a 1 entre los enteros diádicos y el conjunto de Cantor expresado en base 3 por${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\ni \cdots d_{2}d_{1}d_{0}\longmapsto 0.e_{0}e_{1}e_{2}\cdots _{3}\in {\mathcal {C}},}$

dónde ${\displaystyle e_{n}=2d_{n}.}$

La topología de Q _p es la de un conjunto de Cantor menos cualquier punto. ^{[ cita requerida ]} En particular, Z _p es compacto mientras que Q _p no lo es; es sólo localmente compacto . Como espacios métricos , tanto Z _p como Q _p están completos . ^[12]

Completaciones métricas y cierres algebraicos

Q _p contiene Q y es un campo de característica 0 .Este campo no se puede convertir en un campo ordenado .

R tiene una sola extensión algebraica propia: C ; en otras palabras, esta extensión cuadrática ya está algebraicamente cerrada . Por el contrario, el cierre algebraico de Q _p , denotadotiene un grado infinito, ^[13] es decir, Q _p tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. También contrastando el caso de los números reales, aunque hay una extensión única de lavaloración p -ádica aesta última no es (métricamente) completa. ^{[14] [15]} Su finalización (métrica) se llama C _p o Ω _p${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}},}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}},}$. ^{[15] [16]} Aquí se llega a un final, ya que C _p es algebraicamente cerrado. ^{[15] [17]} Sin embargo, a diferencia de C, este campo no es localmente compacto. ^[dieciséis]

C _p y C son isomorfos como anillos, por lo que podemos considerar a C _p como C dotado de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de campo se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es constructivo ).

Si K es una extensión de Galois finita de Q _p , el grupo de Galois se puede resolver . Por lo tanto, el grupo de Galois es prosoluble .${\displaystyle {\text{Gal}}\left(\mathbf {K} /\mathbf {Q} _{p}\right)}$${\displaystyle {\text{Gal}}\left({\overline {\mathbf {Q} _{p}}}/\mathbf {Q} _{p}\right)}$

Grupo multiplicativo de Q _p

Q _p contiene el n - ésimo campo ciclotómico ( n > 2 ) si y solo si n | p - 1 . ^[18] Por ejemplo, el n -ésimo campo ciclotómico es un subcampo de Q ₁₃ si y solo si n = 1, 2, 3, 4, 6 o 12 . En particular, no hay p - torsión multiplicativaen Q _p , si p > 2 . Además, −1 es el único elemento de torsión no trivial en Q ₂ .

Dado un número natural k , el índice del grupo multiplicativo de las k -ésimas potencias de los elementos distintos de cero de Q _p in es finito.${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}^{\times }}$

El número e , definido como la suma de recíprocos de factoriales , no es miembro de ningún campo p -ádico; pero e ^p ∈ Q _p ( p ≠ 2) . Para p = 2 se debe tomar al menos la cuarta potencia. ^[19] (Por lo tanto, un número con propiedades similares a e , es decir, una p -ésima raíz de e ^p , es miembro de para todo p .)${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}}}$

Aritmética racional

Eric Hehner y Nigel Horspool propusieron en 1979 el uso de una representación p -ádica para números racionales en computadoras ^[20] llamada notación de comillas . La principal ventaja de tal representación es que la suma, resta y multiplicación se pueden hacer de una manera sencilla, análoga a métodos similares para enteros binarios; y la división es aún más simple, se parece a la multiplicación. Sin embargo, tiene la desventaja de que las representaciones pueden ser mucho más grandes que simplemente almacenar el numerador y el denominador en binario (para obtener más detalles, consulte Notación de comillas § Espacio ).

Generalizaciones y conceptos relacionados

Los reales y los números p -ádicos son las terminaciones de los racionales; también es posible completar otros campos, por ejemplo campos numéricos algebraicos generales , de forma análoga. Esto se describirá ahora.

Suponga que D es un dominio de Dedekind y E es su campo de fracciones . Elija un no-cero prime ideales P de D . Si x es un elemento no nulo de E , entonces xD es un ideales fraccional y puede ser un factor de forma única como producto de potencias positivas y negativas de los ideales que no sea cero primos de D . Escribimos ord _P ( x ) para el exponente de P en esta factorización, y para cualquier elección del número c mayor que 1 podemos establecer

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

Completando con respecto a este valor absoluto |. | _P produce un campo E _P , la generalización adecuada del campo de los números p -ádicos a esta configuración. La elección de c no cambia la terminación (diferentes opciones producen el mismo concepto de secuencia de Cauchy, por lo que la misma terminación). Es conveniente, cuando el campo residuo D / P es finito, a dar por c el tamaño de D / P .

Por ejemplo, cuando E es un campo numérico , el teorema de Ostrowski dice que todo valor absoluto no trivial no arquimediano en E surge como algún |. | _P . Los restantes valores absolutos no triviales de E surgen de las diferentes incrustaciones de E en los números reales o complejos. (De hecho, los valores absolutos que no son de Arquímedes se pueden considerar simplemente como las diferentes incrustaciones de E en los campos C _p , colocando así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un campo numérico en una base común).

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las finalizaciones mencionadas anteriormente cuando E es un campo numérico (o más generalmente un campo global ), que se considera que codifica información "local". Esto se logra mediante los anillos adele y los grupos idele .

Los números enteros p -ádicos pueden extenderse a solenoides p -ádicos . Hay un mapa desde el anillo circular cuyas fibras son los enteros p -ádicos , en analogía a cómo hay un mapa desde el anillo circular cuyas fibras son .${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Principio local-global

Se dice que el principio local-global de Helmut Hasse es válido para una ecuación si puede resolverse sobre los números racionales si y solo si puede resolverse sobre los números reales y sobre los p -números ádicos para cada primo  p . Este principio es válido, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas , pero falla para polinomios superiores en varios indeterminados.

Ver también

• 1 + 2 + 4 + 8 + ...
• notación k -ádica
• Teoría C-mínima
• Lema de Hensel
• Campo localmente compacto
• Teorema de mahler
• p -mecánica cuántica ádica
• Entero profinito
• Integral de Volkenborn

Notas al pie

Notas

1. Introducción del traductor, página 35 : "De hecho, en retrospectiva, se hace evidente que una valoración discreta está detrás del concepto de números ideales de Kummer" ( Dedekind & Weber 2012 , p. 35).
2. El número de números reales con representaciones decimales terminales es infinito numerable , mientras que el número de números reales sin tal representación es infinito incontable .
3. La función así definida no es realmente un valor absoluto, porque se viola el requisito de multiplicatividad: y, pero. Sin embargo, es lo suficientemente bueno para establecer una métrica, porque no necesita multiplicatividad.${\displaystyle |2|_{10}=|2\cdot 10^{0}|_{10}={\frac {1}{10^{0}}}}$${\displaystyle |5|_{10}=|5\cdot 10^{0}|_{10}={\frac {1}{10^{0}}}}$${\displaystyle |2\cdot 5|_{10}=|10^{1}|_{10}={\frac {1}{10^{1}}}\neq {\frac {1}{10^{0}}}=|2|_{10}\cdot |5|_{10}}$
4. Más precisamente:números invertidos aditivamente , porque no hay relación de orden en los 10-adics, por lo que no hay números menores que cero.
5. Para dejar y . Tenemos y . Ahora,${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle x_{n}:=6^{5^{n}}}$${\displaystyle y_{n}:=5^{2^{n}}}$${\displaystyle 6^{2}\equiv 6{\text{ mod }}10}$${\displaystyle 5^{2}\equiv 5{\text{ mod }}10}$
   

   ${\displaystyle {\begin{array}{rlll}(x_{n+2}-x_{n+1})&/\;(x_{n+1}-x_{n})\\=({x_{n}}^{5\cdot 5}-\;\;{x_{n}}^{5})&/\;({x_{n}}^{5}-x_{n})&={x_{n}}^{4\cdot 5}&+{x_{n}}^{4\cdot 4}&+{x_{n}}^{4\cdot 3}&+{x_{n}}^{4\cdot 2}&+{x_{n}}^{4\cdot 1}\\=(6^{5^{n+2}}-6^{5^{n+1}})&/\;(6^{5^{n+1}}-6^{5^{n}})&=(6^{5^{n}})^{4\cdot 5}&+(6^{5^{n}})^{4\cdot 4}&+(6^{5^{n}})^{4\cdot 3}&+(6^{5^{n}})^{4\cdot 2}&+(6^{5^{n}})^{4\cdot 1}\\&&\equiv \;\;6&+\;\;6&+\;\;6&+\;\;6&+\;\;6\\&&=5\cdot 6\\&&\equiv 0&&&{\text{ mod }}10,\end{array}}}$

   para que divida . Esto significa que la secuencia converge en el anillo de números 10-ádicos. Además, es diferente de 0, es decir . Hechos similares son válidos . Pero el producto (la secuencia de los productos puntuales ) es divisible por potencias arbitrariamente altas de 10, de modo que en el anillo de números 10-ádicos.${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle x_{n}-x_{n-1}}$${\displaystyle x:=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle x\equiv 6{\text{ mod }}10}$${\displaystyle y:=\lim _{n\to \infty }y_{n}\equiv 5{\text{ mod }}10}$
   ${\displaystyle x\cdot y=\lim _{n\to \infty }x_{n}\cdot y_{n}}$${\displaystyle x\cdot y=0}$

Citas

1. ( Gouvêa 1994 , págs. 203–222)
2. ( Hensel 1897 )
3. Véase el artículo de Gérard Michon en
4. ( Kelley 2008 , págs. 22-25)
5. Bogomolny, Alexander . "Expansiones p-adic" .
6. Koç, Çetin. "Un tutorial sobre aritmética p-adic" (PDF) .
7. Madore, David. "Una primera introducción a los números p-adic" (PDF) .
8. ( Hazewinkel 2009 , p. 342)
9. Bump, Daniel (1998). Representaciones y formas automórficas . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 55 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 277. ISBN 9780521658188.
10. ( Robert 2000 , Capítulo 1 Sección 1.1)
11. ( Robert 2000 , Capítulo 1, Sección 2.3)
12. ( Gouvêa 1997 , Corolario 3.3.8)
13. ( Gouvêa 1997 , Corolario 5.3.10)
14. ( Gouvêa 1997 , Teorema 5.7.4)
15. ( Cassels 1986 , p. 149)
16. ( Koblitz 1980 , p. 13)
17. ( Gouvêa 1997 , Proposición 5.7.8)
18. ( Gouvêa 1997 , Proposición 3.4.2)
19. ( Robert 2000 , sección 4.1)
20. ( Hehner y Horspool 1979 , págs. 124-134)

Referencias

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• Dedekind, Richard ; Weber, Heinrich (2012), Teoría de las funciones algebraicas de una variable , Historia de las matemáticas, 39 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-8330-3. - Traducción al inglés de John Stillwell de Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
• Gouvêa, FQ (marzo de 1994), "A Marvelous Proof", American Mathematical Monthly , 101 (3): 203–222, doi : 10.2307 / 2975598 , JSTOR  2975598
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• Hensel, Kurt (1897), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 6 (3): 83–88
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• Robert, Alain M. (2000), Un curso de análisis p -ádico , Springer, ISBN 0-387-98669-3

Lectura adicional

• Bachman, George (1964), Introducción a los números p- ádicos y la teoría de la valoración , Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
• Borevich, ZI ; Shafarevich, IR (1986), Teoría de números , Matemáticas puras y aplicadas, 20 , Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, MR  0195803
• Koblitz, Neal (1984),p Números -adic, p Análisis -adic, y Zeta-Funciones , Graduate Textos en Matemáticas , 58 (2ª ed.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
• Mahler, Kurt (1981),p -números ádicos y sus funciones , Cambridge Tracts in Mathematics, 76 (2a ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-23102-7, Zbl  0444.12013
• Steen, Lynn Arthur (1978), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los números P-adic .

• Weisstein, Eric W. "Número p-adic" . MathWorld .
• número p -adic en la Enciclopedia de Matemáticas en línea de Springer
• Finalización del cierre algebraico : notas de clase en línea de Brian Conrad
• Una introducción a la p Números -adic y p Análisis -adic - en línea Lecture Notes por Andrew Baker, 2007
• Aritmética p-ádica eficiente (diapositivas)
• Introducción a los números p-ádicos
• Houston-Edwards, Kelsey (19 de octubre de 2020), Un universo infinito de sistemas numéricos , Revista Quanta