En la teoría de números básica , para un número primo dado p , el orden p -ádico de un entero positivo n es el exponente más alto tal que divide n . Esta función se extiende fácilmente a números racionales positivos r =a/B por
dónde son primos y los son enteros (únicos) (considerados 0 para todos los primos que no aparecen en r, de modo que).
Este orden p -ádico constituye una valoración (escrita aditivamente) , la denominada valoración p -ádica , que cuando se escribe multiplicativamente es análoga al valor absoluto habitual conocido . Ambos tipos de valoraciones se pueden utilizar para completar el campo de los números racionales, donde la finalización con una valoración p -ádica da como resultado un campo de p - números ádicos ℚ p (en relación con un número primo elegido p ), mientras que la finalización con el número p -ádico El valor absoluto habitual resulta en el campo de los números reales ℝ . [1]
Definición y propiedades
Sea p un número primo .
Enteros
El orden p -ádico o la valoración p -ádica para ℤ es la función
definido por
dónde denota los números naturales .
Por ejemplo, y desde .
La notación a veces se usa para significar . [3]
Numeros racionales
El orden p -ádico se puede extender a los números racionales como la función
definido por
Por ejemplo, y desde .
Algunas propiedades son:
Además, si , luego
donde min es el mínimo (es decir, el más pequeño de los dos).
valor absoluto p -ádico
El valor absoluto p -ádico en ℚ es la función
definido por
Por ejemplo, y
El valor absoluto p -ádico satisface las siguientes propiedades.
No negatividad Definición positiva Multiplicatividad No Arquímedes
La simetria se sigue de la multiplicatividad y la subaditividad de la desigualdad del triángulo no arquimediano .
La elección de la base p en la exponenciación no hace ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero apoya la fórmula del producto:
donde el producto se toma sobre todos los primos py el valor absoluto habitual, denotado. Esto se sigue de simplemente tomar la factorización prima : cada factor de potencia primaaporta su recíproco a su valor absoluto p -ádico, y luego el valor absoluto de Arquímedes habitual los cancela todos.
El valor absoluto p -ádico se denomina a veces la " norma p -ádica", [ cita requerida ] aunque en realidad no es una norma porque no satisface el requisito de homogeneidad .
Se puede formar un espacio métrico en el conjunto ℚ con una métrica ( no arquimediana , invariante en la traducción )
definido por
La finalización de ℚ con respecto a esta métrica conduce al campo ℚ p de p -números ádicos.
Ver también
- p -número de ádico
- Propiedad de Arquímedes
- Multiplicidad (matemáticas)
- Teorema de ostrowski
Referencias
- ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2003). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley. págs. 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Irlanda, K .; Rosen, M. (2000). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 3.[ Falta el ISBN ]
- ^ Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S .; Montgomery, Hugh L. (1991). Introducción a la teoría de los números (5ª ed.). John Wiley e hijos . pag. 4. ISBN 0-471-62546-9.
- ^ Khrennikov, A .; Nilsson, M. (2004). p -ádica dinámica determinista y aleatoria . Editores académicos de Kluwer. pag. 9.[ Falta el ISBN ]
- ^ a b con las reglas habituales para operaciones aritméticas