Paralelo (geometría)

Este artículo trata sobre una relación matemática entre líneas. Para otros usos, consulte Paralelo (desambiguación) .

"Líneas paralelas" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte Líneas paralelas (desambiguación) .

Dibujo artístico de líneas y curvas paralelas.

En geometría , las líneas paralelas son líneas en un plano que no se encuentran; es decir, se dice que dos líneas rectas en un plano que no se cruzan en ningún punto son paralelas. Coloquialmente, se dice que las curvas que no se tocan ni se cruzan y mantienen una distancia mínima fija son paralelas. También se dice que una línea y un plano, o dos planos, en el espacio euclidiano tridimensional que no comparten un punto son paralelos. Sin embargo, dos líneas en un espacio tridimensional que no se encuentran deben estar en un plano común para ser consideradas paralelas; de lo contrario se llaman líneas oblicuas. Los planos paralelos son planos en el mismo espacio tridimensional que nunca se encuentran.

Las líneas paralelas son objeto de Euclides 's postulado paralelo . ^{[1] El} paralelismo es principalmente una propiedad de geometrías afines y la geometría euclidiana es un ejemplo especial de este tipo de geometría. En algunas otras geometrías, como la geometría hiperbólica , las líneas pueden tener propiedades análogas que se denominan paralelismo.

Símbolo

El símbolo paralelo es . ^{[2] [3]} Por ejemplo, indica que la línea AB es paralela a la línea  CD .${\displaystyle \parallel }$${\displaystyle AB\parallel CD}$

En el juego de caracteres Unicode , los signos "paralelo" y "no paralelo" tienen puntos de código U + 2225 (∥) y U + 2226 (∦), respectivamente. Además, U + 22D5 (⋕) representa la relación "igual y paralelo a". ^[4]

El mismo símbolo se utiliza para una función binaria en ingeniería eléctrica (el operador paralelo ). Es distinto de los corchetes de doble línea vertical que indican una norma , así como del operador lógico u ( ||) en varios lenguajes de programación.

Paralelismo euclidiano

Dos líneas en un plano

Condiciones para el paralelismo

Como se muestra por las marcas de graduación, las líneas de un y b son paralelas. Esto puede demostrarse porque la transversal t produce congruente ángulos correspondientes , que se muestra aquí tanto a la derecha de la transversal, una por encima y adyacente a la línea una y la otra encima y adyacente a la línea b .${\displaystyle \theta }$

Dada paralelo líneas rectas l y m en el espacio euclidiano , las siguientes propiedades son equivalentes:

1. Cada punto de la línea m está ubicado exactamente a la misma distancia (mínima) de la línea l ( líneas equidistantes ).
2. La línea m está en el mismo plano que la línea l pero no se cruza con l (recuerde que las líneas se extienden hasta el infinito en cualquier dirección).
3. Cuando las líneas m y l son a la vez cortadas por una tercera línea recta (una transversal ) en el mismo plano, los ángulos correspondientes de intersección con el transversal son congruentes .

Dado que estas son propiedades equivalentes, cualquiera de ellas podría tomarse como la definición de líneas paralelas en el espacio euclidiano, pero la primera y la tercera propiedades implican medición y, por tanto, son "más complicadas" que la segunda. Por tanto, la segunda propiedad es la que se suele elegir como propiedad definitoria de las líneas paralelas en la geometría euclidiana. ^[5] Las otras propiedades son entonces consecuencia del Postulado Paralelo de Euclides . Otra propiedad que también involucra la medición es que las líneas paralelas entre sí tienen el mismo gradiente (pendiente).

Historia

La definición de líneas paralelas como un par de líneas rectas en un plano que no se encuentran aparece como la Definición 23 en el Libro I de los Elementos de Euclides . ^[6] Otros griegos discutieron definiciones alternativas, a menudo como parte de un intento de probar el postulado paralelo . Proclus atribuye una definición de líneas paralelas como líneas equidistantes a Posidonius y cita a Géminus en una línea similar. Simplicius también menciona la definición de Posidonius así como su modificación por el filósofo Aganis. ^[6]

A finales del siglo XIX, en Inglaterra, Euclid's Elements seguía siendo el libro de texto estándar en las escuelas secundarias. El tratamiento tradicional de la geometría estaba siendo presionado para cambiar por los nuevos desarrollos en la geometría proyectiva y la geometría no euclidiana , por lo que se escribieron varios libros de texto nuevos para la enseñanza de la geometría en este momento. Una diferencia importante entre estos textos de reforma, tanto entre ellos como entre ellos y Euclides, es el tratamiento de las líneas paralelas. ^[7] Estos textos de reforma no estuvieron exentos de críticos y uno de ellos, Charles Dodgson (también conocido como Lewis Carroll ), escribió una obra de teatro, Euclid and His Modern Rivals , en la que se critican estos textos. ^[8]

Uno de los primeros libros de texto de reforma fue Elementary Geometry de 1868 de James Maurice Wilson. ^[9] Wilson basó su definición de líneas paralelas en la noción primitiva de dirección . Según Wilhelm Killing ^[10], la idea se remonta a Leibniz . ^[11] Wilson, sin definir la dirección ya que es un primitivo, usa el término en otras definiciones como su sexta definición, "Dos líneas rectas que se encuentran tienen diferentes direcciones, y la diferencia de sus direcciones es el ángulo entre ellas. " Wilson (1868), pag. 2) En la definición 15 introduce líneas paralelas de esta manera; "Las líneas rectas que tienen la misma dirección , pero no son partes de la misma línea recta, se denominan líneas paralelas ". Wilson (1868 , p. 12) Augustus De Morgan revisó este texto y lo declaró un fracaso, principalmente sobre la base de esta definición y la forma en que Wilson lo usó para probar cosas sobre líneas paralelas. Dodgson también dedica una gran parte de su obra (Acto II, Escena VI § 1) a denunciar el tratamiento de los paralelos por parte de Wilson. Wilson editó este concepto de la tercera y las ediciones superiores de su texto. ^[12]

Otras propiedades, propuestas por otros reformadores, utilizadas como reemplazos para la definición de líneas paralelas, no fueron mucho mejor. La principal dificultad, como señaló Dodgson, era que para usarlos de esta manera era necesario agregar axiomas adicionales al sistema. La definición de línea equidistante de Posidonio, expuesta por Francis Cuthbertson en su texto de 1874 Euclidean Geometry adolece del problema de que los puntos que se encuentran a una distancia determinada fija en un lado de una línea recta deben mostrarse para formar una línea recta. Esto no se puede probar y debe asumirse que es cierto. ^[13] Los ángulos correspondientes formados por una propiedad transversal, utilizados por WD Cooley en su texto de 1860, Los elementos de la geometría, simplificados y explicadosrequiere una prueba del hecho de que si una transversal se encuentra con un par de rectas en ángulos correspondientes congruentes, entonces todas las transversales deben hacerlo. Nuevamente, se necesita un nuevo axioma para justificar esta afirmación.

Construcción

Las tres propiedades anteriores conducen a tres métodos diferentes de construcción ^[14] de líneas paralelas.

El problema: dibuja una línea a través de un paralelo a l .

• Propiedad 1: La línea m tiene en todas partes la misma distancia que la línea l .

• Propiedad 2: Tome una línea aleatoria que atraviese a que interseque a l en x . Mueve el punto x al infinito.

• Propiedad 3: Tanto l y m compartir una línea transversal a través de una que se cruzan ellos en 90 °.

Distancia entre dos líneas paralelas

Artículo principal: Distancia entre dos líneas

Debido a que las líneas paralelas en un plano euclidiano son equidistantes, existe una distancia única entre las dos líneas paralelas. Dadas las ecuaciones de dos rectas paralelas no verticales ni horizontales,

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

la distancia entre las dos líneas se puede encontrar localizando dos puntos (uno en cada línea) que se encuentran en una perpendicular común a las líneas paralelas y calculando la distancia entre ellas. Dado que las rectas tienen pendiente m , una perpendicular común tendría pendiente −1 / my podemos tomar la recta con la ecuación y = - x / m como una perpendicular común. Resuelve los sistemas lineales

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

y

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

para obtener las coordenadas de los puntos. Las soluciones a los sistemas lineales son los puntos

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

y

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

Estas fórmulas aún dan las coordenadas de los puntos correctos incluso si las líneas paralelas son horizontales (es decir, m = 0). La distancia entre los puntos es

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

que se reduce a

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Cuando las líneas están dadas por la forma general de la ecuación de una línea (se incluyen las líneas horizontales y verticales):

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

su distancia se puede expresar como

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Dos líneas en un espacio tridimensional

No es necesario que dos líneas en el mismo espacio tridimensional que no se crucen sean paralelas. Sólo si están en un plano común se les llama paralelos; de lo contrario, se denominan líneas oblicuas .

Dos líneas distintas l y m en el espacio tridimensional son paralelas si y sólo si la distancia de un punto P en la línea m para el punto de la línea más cercana l es independiente de la ubicación de P en la línea m . Esto nunca se aplica a las líneas sesgadas.

Una línea y un plano

Una línea my un plano q en el espacio tridimensional, la línea que no se encuentra en ese plano, son paralelos si y solo si no se cruzan.

De manera equivalente, son paralelas si y solo si la distancia desde un punto P en la línea m al punto más cercano en el plano q es independiente de la ubicación de P en la línea m .

Dos aviones

De manera similar al hecho de que las líneas paralelas deben estar ubicadas en el mismo plano, los planos paralelos deben estar ubicados en el mismo espacio tridimensional y no tener ningún punto en común.

Dos planos distintos q y r son paralelas si y sólo si la distancia de un punto P en el plano q al punto más cercano en el plano r es independiente de la ubicación de P en el plano q . Esto nunca se mantendrá si los dos planos no están en el mismo espacio tridimensional.

Extensión a la geometría no euclidiana

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En geometría no euclidiana , es más común hablar de geodésicas que de líneas (rectas). Una geodésica es el camino más corto entre dos puntos en una geometría determinada. En física, esto puede interpretarse como el camino que sigue una partícula si no se le aplica fuerza. En geometría no euclidiana (geometría elíptica o hiperbólica ) las tres propiedades euclidianas mencionadas anteriormente no son equivalentes y solo la segunda, (la línea m está en el mismo plano que la línea l pero no interseca l) ya que no involucra medidas es útil en geometrías no euclidianas. En geometría general, las tres propiedades anteriores dan tres tipos diferentes de curvas, curvas equidistantes , geodésicas paralelas ygeodésicas que comparten una perpendicular común , respectivamente.

Geometría hiperbólica

Ver también: geometría hiperbólica

Líneas intersecantes , paralelas y ultraparalelas a través de a con respecto a l en el plano hiperbólico. Las líneas paralelas parecen cortarse l justo al lado de la imagen. Esto es solo un artefacto de la visualización. En un plano hiperbólico real, las líneas se acercarán entre sí y se 'encontrarán' en el infinito.

Mientras que en la geometría euclidiana dos geodésicas pueden cruzarse o ser paralelas, en la geometría hiperbólica hay tres posibilidades. Dos geodésicas pertenecientes al mismo plano pueden ser:

1. intersección , si se intersecan en un punto común en el plano,
2. paralelos , si no se cruzan en el plano, pero convergen a un punto límite común en el infinito ( punto ideal ), o
3. ultra paralelos , si no tienen un punto límite común en el infinito.

En la literatura, las geodésicas ultra paralelas a menudo se denominan no intersectantes . Las geodésicas que se cruzan en el infinito se denominan paralelas limitantes .

Como en la ilustración a través de un punto a que no está en la línea l, hay dos líneas paralelas limitantes , una para cada punto ideal de dirección de la línea l. Separa las líneas que intersecan la línea ly las que son ultra paralelas a la línea l .

Las líneas ultra paralelas tienen una sola perpendicular común ( teorema ultraparalelo ) y divergen en ambos lados de esta perpendicular común.

Geometría esférica o elíptica

Ver también: geometría esférica y geometría elíptica

En la esfera no existe una línea paralela. La línea a es un círculo máximo , el equivalente a una línea recta en geometría esférica. La línea c es equidistante a la línea a, pero no es un círculo máximo. Es un paralelo de latitud. La línea b es otra geodésica que interseca a en dos puntos antípodas. Comparten dos perpendiculares comunes (una mostrada en azul).

En geometría esférica , todas las geodésicas son grandes círculos . Los grandes círculos dividen la esfera en dos hemisferios iguales y todos los grandes círculos se cruzan entre sí. Por lo tanto, no hay geodésicas paralelas a una geodésica dada, ya que todas las geodésicas se cruzan. Las curvas equidistantes en la esfera se denominan paralelos de latitud análogos a las líneas de latitud en un globo. Se pueden generar paralelos de latitud por la intersección de la esfera con un plano paralelo a un plano que pasa por el centro de la esfera.

Variante reflexiva

Si l, m, n son tres líneas distintas, entonces${\displaystyle l\parallel m\ \land \ m\parallel n\ \implies \ l\parallel n.}$

En este caso, el paralelismo es una relación transitiva . Sin embargo, en el caso de l = n , las líneas superpuestas no se consideran paralelas en la geometría euclidiana. La relación binaria entre líneas paralelas es evidentemente una relación simétrica . Según los principios de Euclides, el paralelismo no es una relación reflexiva y, por lo tanto, no es una relación de equivalencia . Sin embargo, en geometría afín, un lápiz de líneas paralelas se toma como una clase de equivalencia en el conjunto de líneas donde el paralelismo es una relación de equivalencia.^{[15] [16] [17]}

Con este fin, Emil Artin (1957) adoptó una definición de paralelismo donde dos líneas son paralelas si tienen todos o ninguno de sus puntos en común. ^[18] Entonces una línea es paralela a sí misma de modo que las propiedades reflexivas y transitivas pertenecen a este tipo de paralelismo, creando una relación de equivalencia en el conjunto de líneas. En el estudio de la geometría de incidencia , esta variante de paralelismo se utiliza en el plano afín .

Ver también

• Paralelo de Clifford
• Limitar paralelo
• Curva paralela
• Teorema ultraparalelo

Notas

1. Aunque este postulado solo se refiere a cuando las líneas se encuentran, es necesario para demostrar la singularidad de las líneas paralelas en el sentido del axioma de Playfair .
2. Kersey (el mayor), John (1673). Álgebra . Libro IV. Londres. pag. 177.
3. Cajori, Florian (1993) [septiembre de 1928]. "§ 184, § 359, § 368". Una historia de notaciones matemáticas: notaciones en matemáticas elementales . 1 (dos volúmenes en una reimpresión inalterada ed.). Chicago, EE. UU .: empresa editorial Open Court . págs.  193, 402–403, 411–412 . ISBN 0-486-67766-4. LCCN  93-29211 . Consultado el 22 de julio de 2019 . §359. [...] ∥ para ocurre paralelo en Oughtred 's Opuscula mathematica hactenus inedita (1677) [p. 197], obra póstuma (§ 184) […] §368. Señales de líneas paralelas. […] Cuando el signo de igualdad de Recorde se abrió paso en el continente, las líneas verticales se empezaron a utilizar para el paralelismo. Encontramos ∥ para "paralelo" en Kersey , [14] Caswell , Jones , [15] Wilson, [16] Emerson, [17] Kambly, [18] y los escritores de los últimos cincuenta años que ya han sido citados en relación con otras pictografías. Antes de aproximadamente 1875 no ocurre con tanta frecuencia […] Hall y Stevens [1] usan "par [1] o ∥" para el paralelo […] [14] John Kersey , Álgebra (Londres, 1673), Libro IV, p. 177. [15] W. Jones , Synopsis palmarioum matheseos (Londres, 1706). [16] John Wilson, Trigonometry (Edimburgo, 1714), explicación de los personajes. [17] W. Emerson , Elements of Geometry (Londres, 1763), pág. 4. [18] L. Kambly  [ de ] , Die Elementar-Mathematik , Parte 2: Planimetrie, 43. edición (Breslau, 1876), pág. 8. […] [1] HS Hall y FH Stevens, Euclid's Elements , Partes I y II (Londres, 1889), p. 10. […] [1]
4. "Operadores matemáticos - Consorcio Unicode" (PDF) . Consultado el 21 de abril de 2013 .
5. Wylie Jr. 1964 , págs. 92-94
6. Heath , 1956 , págs. 190-194.
7. Richards 1988 , Cap. 4: Euclides y el escolar inglés. págs. 161-200
8. Carroll, Lewis (2009) [1879], Euclid y sus rivales modernos , Barnes & Noble, ISBN 978-1-4351-2348-9
9. Wilson 1868
10. Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I , p. 5
11. Heath 1956 , p. 194
12. Richards , 1988 , págs. 180-184.
13. Heath 1956 , p. 194
14. Solo el tercero es una construcción de regla y compás, los dos primeros son procesos infinitarios (requieren un "número infinito de pasos").
15. HSM Coxeter (1961) Introducción a la geometría , p 192, John Wiley & Sons
16. Wanda Szmielew (1983) De afín a la geometría euclidiana , p 17, D. Reidel ISBN 90-277-1243-3 
17. Andy Liu (2011) "¿Es el paralelismo una relación de equivalencia?", The College Mathematics Journal 42 (5): 372
18. Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , página 52

Referencias

• Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (2ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.), Nueva York: Dover Publications

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). La traducción autorizada de Heath más una extensa investigación histórica y comentarios detallados a lo largo del texto.   

• Richards, Joan L. (1988), Visiones matemáticas: La búsqueda de la geometría en la Inglaterra victoriana , Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Wilson, James Maurice (1868), Elementary Geometry (1a ed.), Londres: Macmillan and Co.
• Wylie Jr., CR (1964), Fundamentos de la geometría , McGraw – Hill

Lectura adicional

• Papadopoulos, Athanase; Théret, Guillaume (2014), La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert: Présentation, traduction et commentaires , París: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5

Enlaces externos

• Construir una línea paralela a través de un punto dado con brújula y regla no graduada