Paralelogramo

Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos

Este artículo trata sobre la forma cuadrilátera. Para el álbum de Linda Perhacs, vea Paralelogramos (álbum) .

Paralelogramo
Este paralelogramo es un romboide ya que no tiene ángulos rectos ni lados desiguales.
Tipo	cuadrilátero
Aristas y vértices	4
Grupo de simetría	C 2 , [2] + ,
Área	b × h (base × altura); ab sin θ (producto de los lados adyacentes y el seno del ángulo del vértice determinado por ellos)
Propiedades	convexo

En geometría euclidiana , un paralelogramo es un cuadrilátero simple (que no se interseca automáticamente ) con dos pares de lados paralelos . Los lados opuestos o enfrentados de un paralelogramo tienen la misma longitud y los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen la misma medida. La congruencia de lados opuestos y ángulos opuestos es una consecuencia directa del postulado del paralelo euclidiano y ninguna condición puede probarse sin apelar al postulado del paralelo euclidiano o una de sus formulaciones equivalentes.

En comparación, un cuadrilátero con solo un par de lados paralelos es un trapecio en inglés americano o un trapecio en inglés británico.

La contraparte tridimensional de un paralelogramo es un paralelepípedo .

La etimología (en griego παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon , una forma "de líneas paralelas") refleja la definición.

Casos especiales

• Romboide : un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y los lados adyacentes son desiguales y cuyos ángulos no son ángulos rectos ^[1]
• Rectángulo : un paralelogramo con cuatro ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).
• Rombo : un paralelogramo con cuatro lados de igual longitud.
• Cuadrado : un paralelogramo con cuatro lados de igual longitud y ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).

Caracterizaciones

Un cuadrilátero simple (que no se interseca automáticamente) es un paralelogramo si y solo si alguna de las siguientes afirmaciones es verdadera: ^{[2] [3]}

• Dos pares de lados opuestos son paralelos (por definición).
• Dos pares de lados opuestos tienen la misma longitud.
• Dos pares de ángulos opuestos tienen la misma medida.
• Las diagonales se bisecan entre sí.
• Un par de lados opuestos es paralelo y de igual longitud.
• Los ángulos adyacentes son suplementarios .
• Cada diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes .
• La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales. (Esta es la ley del paralelogramo ).
• Tiene simetría rotacional de orden 2.
• La suma de las distancias desde cualquier punto interior a los lados es independiente de la ubicación del punto. ^[4] (Esta es una extensión del teorema de Viviani ).
• Hay un punto X en el plano del cuadrilátero con la propiedad de que toda línea recta que pasa por X divide el cuadrilátero en dos regiones de igual área. ^[5]

Por lo tanto, todos los paralelogramos tienen todas las propiedades enumeradas anteriormente y, a la inversa , si solo una de estas afirmaciones es verdadera en un cuadrilátero simple, entonces es un paralelogramo.

Otras propiedades

• Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición) y, por lo tanto, nunca se cruzarán.
• El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo creado por una de sus diagonales.
• El área de un paralelogramo también es igual a la magnitud del producto vectorial cruzado de dos lados adyacentes .
• Cualquier línea que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área. ^[6]
• Cualquier transformación afín no degenerada lleva un paralelogramo a otro paralelogramo.
• Un paralelogramo tiene una simetría rotacional de orden 2 (hasta 180 °) (o de orden 4 si es un cuadrado). Si también tiene exactamente dos líneas de simetría de reflexión, entonces debe ser un rombo o un oblongo (un rectángulo no cuadrado). Si tiene cuatro ejes de simetría de reflexión, es un cuadrado .
• El perímetro de un paralelogramo es 2 ( un + b ) donde un y b son las longitudes de los lados adyacentes.
• A diferencia de cualquier otro polígono convexo, un paralelogramo no se puede inscribir en ningún triángulo con menos del doble de su área. ^[7]
• Los centros de cuatro cuadrados, todos construidos interna o externamente en los lados de un paralelogramo, son los vértices de un cuadrado. ^[8]
• Si dos líneas paralelas a los lados de un paralelogramo se construyen concurrentes a una diagonal, entonces los paralelogramos formados en lados opuestos de esa diagonal son iguales en área. ^[8]
• Las diagonales de un paralelogramo lo dividen en cuatro triángulos de igual área.

Fórmula de área

Un paralelogramo se puede reorganizar en un rectángulo con la misma área.

Animación de la fórmula del área .${\displaystyle K=bh}$

Todas las fórmulas de área para cuadriláteros convexos generales se aplican a paralelogramos. Otras fórmulas son específicas para paralelogramos:

Un paralelogramo con base by altura h se puede dividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo , y reorganizarlo en un rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que el área de un paralelogramo es la misma que la de un rectángulo con la misma base y altura:

${\displaystyle K=bh.}$

El área del paralelogramo es el área de la región azul, que es el interior del paralelogramo.

La fórmula del área base × altura también se puede derivar usando la figura de la derecha. El área K del paralelogramo a la derecha (el área azul) es el área total del rectángulo menos el área de los dos triángulos naranjas. El área del rectángulo es

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

y el área de un solo triángulo naranja es

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {1}{2}}A\times H.\,}$

Por lo tanto, el área del paralelogramo es

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$

Otra fórmula de área, para dos lados B y C y el ángulo θ, es

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

El área de un paralelogramo con lados B y C ( B ≠ C ) y el ángulo en la intersección de las diagonales está dada por ^[9]${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

Cuando el paralelogramo se especifica a partir de las longitudes B y C de dos lados adyacentes junto con la longitud D ₁ de cualquiera de las diagonales, entonces el área se puede encontrar a partir de la fórmula de Heron . Específicamente es

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}}$

donde y el factor principal 2 proviene del hecho de que la diagonal elegida divide el paralelogramo en dos triángulos congruentes.${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$

Área en términos de coordenadas cartesianas de vértices

Deje vectores y dejar que denotan la matriz con elementos de una y b . Entonces el área del paralelogramo generada por una y b es igual a .${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$

Deja vectores y deja . Entonces el área del paralelogramo generada por una y b es igual a .${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$

Deja puntos . Entonces el área del paralelogramo con vértices en un , b y c es equivalente al valor absoluto del determinante de una matriz construida utilizando un , b y c como filas con la última columna acolchada utilizando los como sigue:${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle K=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.}$

Prueba de que las diagonales se bisecan

Para probar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, usaremos triángulos congruentes :

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (los ángulos alternos internos son iguales en medida)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (los ángulos alternos internos son iguales en medida) .

(ya que estos son ángulos que forma una transversal con líneas paralelas AB y DC ).

Además, el lado AB tiene la misma longitud que el lado DC , ya que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Por tanto, los triángulos ABE y CDE son congruentes (postulado ASA, dos ángulos correspondientes y el lado incluido ).

Por lo tanto,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

Dado que las diagonales AC y BD se dividen entre sí en segmentos de igual longitud, las diagonales se bisecan entre sí.

Por separado, dado que las diagonales AC y BD se bisecan entre sí en el punto E , el punto E es el punto medio de cada diagonal.

Celosía de paralelogramos

Los paralelogramos pueden enlosar el plano por traslación. Si los bordes son iguales o los ángulos son rectos, la simetría de la celosía es mayor. Estos representan las cuatro celosías de Bravais en 2 dimensiones .

Celosías

Formulario	Cuadrado	Rectángulo	Rombo	Paralelogramo
Sistema	Cuadrado (tetragonal)	Rectangular (ortorrómbico)	Rectangular centrado (ortorrómbico)	Oblicua (monoclínica)
Restricciones	α = 90 °, a = b	α = 90 °	a = b	Ninguno
Simetría	p4m, [4,4], orden 8 n	pmm, [∞, 2, ∞], orden 4 n		p1, [∞ + , 2, ∞ + ], orden 2 n
Formulario

Paralelogramos que surgen de otras figuras

Prueba sin palabras del teorema de Varignon :
1. Un cuadrilátero arbitrario y sus diagonales.
2. Las bases de triángulos similares son paralelas a la diagonal azul.
3. Lo mismo ocurre con la diagonal roja.
4. Los pares de bases forman un paralelogramo con la mitad del área del cuadrilátero, A _q , como la suma de las áreas de los cuatro triángulos grandes, A _l es 2 A _q (cada uno de los dos pares reconstruye el cuadrilátero) mientras que el de los triángulos pequeños, A _s es un cuarto de A _l (la mitad de las dimensiones lineales produce un cuarto de área) y el área del paralelogramo es A _qmenos A _s .

Triángulo automático

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones que sus lados (aunque en un orden diferente). Si ABC es un triángulo automático en el que el vértice A está opuesto al lado a , G es el centroide (donde se cruzan las tres medianas de ABC ) y AL es una de las medianas extendidas de ABC con L en el círculo circunferencial de ABC , entonces BGCL es un paralelogramo.

Paralelogramo de Varignon

Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo, llamado paralelogramo de Varignon. Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (es decir, no se interseca automáticamente), entonces el área del paralelogramo de Varignon es la mitad del área del cuadrilátero.

Paralelogramo tangente de una elipse

Para una elipse , se dice que dos diámetros están conjugados si y solo si la línea tangente a la elipse en un punto final de un diámetro es paralela al otro diámetro. Cada par de diámetros conjugados de una elipse tiene un paralelogramo tangente correspondiente , a veces llamado paralelogramo delimitador, formado por las líneas tangentes a la elipse en los cuatro puntos finales de los diámetros conjugados. Todos los paralelogramos tangentes de una elipse dada tienen la misma área.

Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados o de cualquier paralelogramo tangente.

Caras de un paralelepípedo

Un paralelepípedo es una figura tridimensional cuyas seis caras son paralelogramos.

Ver también

• Paralelogramo fundamental (desambiguación)
• Antiparalelogramo

Referencias

1. "CIMT - La página ya no está disponible en los servidores de la Universidad de Plymouth" (PDF) . www.cimt.plymouth.ac.uk . Archivado desde el original (PDF) el 14 de mayo de 2014.
2. Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer, Métodos para la geometría euclidiana , Asociación matemática de América, 2010, págs. 51-52.
3. Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición", Publicación de la era de la información, 2008, p. 22.
4. Chen, Zhibo y Liang, Tian. "El inverso del teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, págs. 390–391.
5. Problema 5, Olimpiada matemática británica de 2006 , [1] .
6. Dunn, JA y JE Pretty, "Reducir a la mitad un triángulo", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, p. 105.
7. Weisstein, Eric W. "Circunscripción de triángulo" . Wolfram Math World .
8. Weisstein, Eric W. "Paralelogramo". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html
9. Mitchell, Douglas W., "El área de un cuadrilátero", Gaceta Matemática , julio de 2009.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con paralelogramos .

• Paralelogramo y Rombo - Curso animado (Construcción, Circunferencia, Área)
• Weisstein, Eric W. "Paralelogramo" . MathWorld .
• Paralelogramo interactivo: lados, ángulos y pendiente
• Área del paralelogramo en el corte del nudo
• Triángulos equiláteros en los lados de un paralelogramo en el corte del nudo
• Definición y propiedades de un paralelogramo con subprograma animado
• Subprograma interactivo que muestra el subprograma interactivo de cálculo del área de paralelogramo