Ecuación paramétrica


En matemáticas , una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros . [1] Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que componen un objeto geométrico, como una curva o una superficie , en cuyo caso las ecuaciones se denominan colectivamente representación paramétrica o parametrización (deletreada alternativamente como parametrización ) del objeto. . [1] [2] [3]

La curva de mariposa puede ser definido por ecuaciones paramétricas de x y y .

Por ejemplo, las ecuaciones

Forme una representación paramétrica del círculo unitario , donde t es el parámetro: Un punto ( x , y ) está en el círculo unitario si y solo si hay un valor de t tal que estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces, las ecuaciones paramétricas para las variables de salida escalares individuales se combinan en una sola ecuación paramétrica en vectores :

Las representaciones paramétricas generalmente no son únicas (consulte la sección "Ejemplos en dos dimensiones" a continuación), por lo que las mismas cantidades pueden expresarse mediante varias parametrizaciones diferentes. [1]

Además de curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades algebraicas de mayor dimensión , siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para curvas la dimensión es uno y se usa un parámetro, para superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

Las ecuaciones paramétricas se usan comúnmente en cinemática , donde la trayectoria de un objeto se representa mediante ecuaciones que dependen del tiempo como parámetro. Debido a esta aplicación, un solo parámetro suele denominarse t ; sin embargo, los parámetros pueden representar otras cantidades físicas (como variables geométricas) o pueden seleccionarse arbitrariamente por conveniencia. Las parametrizaciones no son únicas; más de un conjunto de ecuaciones paramétricas puede especificar la misma curva. [4]

Cinemática

En cinemática , las trayectorias de los objetos a través del espacio se describen comúnmente como curvas paramétricas, y cada coordenada espacial depende explícitamente de un parámetro independiente (generalmente el tiempo). Usado de esta manera, el conjunto de ecuaciones paramétricas para las coordenadas del objeto constituyen colectivamente una función de valor vectorial para la posición. Estas curvas paramétricas se pueden integrar y diferenciar en términos de términos. Por tanto, si la posición de una partícula se describe paramétricamente como

entonces su velocidad se puede encontrar como

y su aceleración como

.

Diseño asistido por ordenador

Otro uso importante de las ecuaciones paramétricas es en el campo del diseño asistido por computadora (CAD). [5] Por ejemplo, considere las siguientes tres representaciones, todas las cuales se usan comúnmente para describir curvas planas .

Cada representación tiene ventajas e inconvenientes para las aplicaciones CAD. La representación explícita puede ser muy complicada o incluso no existir. Además, no se comporta bien en las transformaciones geométricas y, en particular, en las rotaciones . Por otro lado, como una ecuación paramétrica y una ecuación implícita pueden deducirse fácilmente de una representación explícita, cuando existe una representación explícita simple, tiene las ventajas de las otras dos representaciones. Las representaciones implícitas pueden dificultar la generación de puntos de la curva e incluso decidir si hay puntos reales. Por otro lado, son muy adecuados para decidir si un punto dado está en una curva, o si está dentro o fuera de una curva cerrada. Tales decisiones pueden resultar difíciles con una representación paramétrica, pero las representaciones paramétricas son las más adecuadas para generar puntos en una curva y para trazarla. [6]

Geometría entera

Se pueden resolver numerosos problemas de geometría entera mediante ecuaciones paramétricas. Una solución clásica de este tipo es la parametrización de triángulos rectángulos de Euclides de manera que las longitudes de sus lados a , by su hipotenusa c son números enteros coprimos . Como un y b no son ambos incluso (de lo contrario un , b y c no serían primos entre sí), se puede intercambiar a tener un par, y la parametrización es entonces

donde los parámetros m y n son números primos entre sí positivos que no son ambos impares.

Al multiplicar un , b y c por un entero positivo arbitrario, se obtiene una parametrización de todos los triángulos rectángulos cuyos tres lados tienen longitudes de números enteros.

Convertir un conjunto de ecuaciones paramétricas en una sola ecuación implícita implica eliminar la variable de las ecuaciones simultáneas Este proceso se llama implícita . Si una de estas ecuaciones se puede resolver para t , la expresión obtenida se puede sustituir en la otra ecuación para obtener una ecuación que involucre solo x e y : para obtener y usando esto en da la ecuación explícita mientras que los casos más complicados darán una ecuación implícita de la forma

Si la parametrización viene dada por funciones racionales

donde p , q , r son polinomios coprimos por conjuntos , un cálculo resultante permite implícitamente. Más precisamente, la ecuación implícita es la resultante con respecto a t de xr ( t ) - p ( t ) y yr ( t ) - q ( t )

En dimensiones superiores (ya sea más de dos coordenadas o más de un parámetro), la implícita de ecuaciones paramétricas racionales puede hacerse con el cálculo de base de Gröbner ; véase la base de Gröbner § Implicitación en una dimensión superior .

Para tomar el ejemplo del círculo de radio a , las ecuaciones paramétricas

puede ser implicitized en términos de x y y por medio de la identidad trigonométrica de Pitágoras :

Como

y

obtenemos

y por lo tanto

que es la ecuación estándar de un círculo centrado en el origen.

Parábola

La ecuación más simple para una parábola ,

se puede parametrizar (trivialmente) utilizando un parámetro libre t , y estableciendo

Ecuaciones explícitas

De manera más general, cualquier curva dada por una ecuación explícita

se puede parametrizar (trivialmente) utilizando un parámetro libre t , y estableciendo

Circulo

Un ejemplo más sofisticado es el siguiente. Considere el círculo unitario que se describe mediante la ecuación ordinaria (cartesiana)

Esta ecuación se puede parametrizar de la siguiente manera:

Con la ecuación cartesiana es más fácil comprobar si un punto se encuentra en el círculo o no. Con la versión paramétrica es más fácil obtener puntos en una gráfica.

En algunos contextos, se prefieren las ecuaciones paramétricas que involucran solo funciones racionales (es decir, fracciones de dos polinomios ), si existen. En el caso del círculo, tal parametrización racional es

Con este par de ecuaciones paramétricas, el punto (-1, 0) no está representado por un verdadero valor de t , pero por el límite de x y y cuando t tiende a infinito .

Elipse

Una elipse en posición canónica (centro en el origen, el eje mayor a lo largo del X eje y) con semi-ejes una y b puede representarse paramétricamente como

Una elipse en posición general se puede expresar como

ya que el parámetro t varía de 0 a 2 π . Aquí es el centro de la elipse, y es el ángulo entre el -eje y el eje mayor de la elipse.

Ambas parametrizaciones pueden hacerse racionales usando la fórmula de medio ángulo de tangente y estableciendo

Curva de Lissajous

Una curva de Lissajous donde y .

Una curva de Lissajous es similar a una elipse, pero la x y Y sinusoides no están en fase. En posición canónica, una curva de Lissajous viene dada por

dónde y son constantes que describen el número de lóbulos de la figura.

Hipérbola

Una hipérbola de apertura este-oeste se puede representar paramétricamente por

o, racionalmente

Una hipérbola de apertura norte-sur se puede representar paramétricamente como

o, racionalmente

En todas estas fórmulas ( h , k ) son las coordenadas centrales de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor.

Hipotrocoide

Un hipotrocoide es una curva trazada por un punto unido a un círculo de radio r que gira alrededor del interior de un círculo fijo de radio R , donde el punto está a una distancia d del centro del círculo interior.

  • Un hipotrocoide para el que r = d
  • Un hipotrocoide para el cual R = 5, r = 3, d = 5

Las ecuaciones paramétricas de los hipotrocoides son:

Algunas funciones sofisticadas

Se muestran otros ejemplos:

Varias gráficas por variación de k
  • j = 3 k = 3
  • j = 3 k = 3
  • j = 3 k = 4
  • j = 3 k = 4
  • j = 3 k = 4
  • i = 1 j = 2

"> Reproducir medios
Hélice paramétrica animada

Hélice

Hélice paramétrica

Las ecuaciones paramétricas son convenientes para describir curvas en espacios de dimensiones superiores. Por ejemplo:

describe una curva tridimensional, la hélice , con un radio de una y el aumento por 2n b unidades por turno. Las ecuaciones son idénticas en el plano a las de un círculo. Expresiones como la anterior se escriben comúnmente como

donde r es un vector tridimensional.

Superficies paramétricas

Un toro con radio mayor R y radio menor r se puede definir paramétricamente como

donde los dos parámetros t y u ambos varían entre 0 y 2π.

  • R = 2, r = 1/2

A medida que u varía de 0 a 2π, el punto de la superficie se mueve alrededor de un círculo corto que pasa por el orificio del toro. A medida que t varía de 0 a 2π, el punto de la superficie se mueve alrededor de un círculo largo alrededor del agujero en el toro.

La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto y paralelo al vector es [7]

  • Curva
  • Estimación paramétrica
  • Vector de posición
  • Función de valor vectorial
  • Parametrización por longitud de arco
  • Derivada paramétrica

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Ecuaciones paramétricas" . MathWorld .
  2. ^ Thomas, George B .; Finney, Ross L. (1979). Cálculo y geometría analítica (quinta ed.). Addison-Wesley . pag. 91.
  3. ^ Nykamp, ​​Duane. "Ejemplo de parametrización de plano" . mathinsight.org . Consultado el 14 de abril de 2017 .
  4. ^ Spitzbart, Abraham (1975). Cálculo con geometría analítica . Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Consultado el 30 de agosto de 2015 .
  5. ^ Stewart, James (2003). Cálculo (5ª ed.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. págs.  687–689 . ISBN 0-534-39339-X.
  6. ^ Shah, Jami J .; Martti Mantyla (1995). CAD / CAM paramétrico y basado en características: conceptos, técnicas y aplicaciones . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. págs. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
  7. ^ Cálculo: simple y multivariable . John Wiley. 2012-10-29. pag. 919. ISBN 9780470888612. OCLC  828768012 .

  • Software de gráficos en Curlie
  • Aplicación web para dibujar curvas paramétricas en el plano