En estadística , un modelo paramétrico o una familia paramétrica o un modelo de dimensión finita es una clase particular de modelos estadísticos . Específicamente, un modelo paramétrico es una familia de distribuciones de probabilidad que tiene un número finito de parámetros.
Definición
Un modelo estadístico es una colección de distribuciones de probabilidad en algún espacio muestral . Suponemos que la colección, 𝒫 , está indexada por algún conjunto Θ . El conjunto Θ se denomina conjunto de parámetros o, más comúnmente, espacio de parámetros . Para cada θ ∈ Θ , sea P θ el miembro correspondiente de la colección; entonces P θ es una función de distribución acumulativa . Entonces, un modelo estadístico se puede escribir como
El modelo es un modelo paramétrico si Θ ⊆ ℝ k para algún entero positivo k .
Cuando el modelo consta de distribuciones absolutamente continuas, a menudo se especifica en términos de funciones de densidad de probabilidad correspondientes :
Ejemplos de
- La familia de distribuciones de Poisson está parametrizada por un solo número λ > 0 :
- La familia normal está parametrizada por θ = ( μ , σ ) , donde μ ∈ ℝ es un parámetro de ubicación y σ > 0 es un parámetro de escala:
- El modelo de traducción de Weibull tiene un parámetro tridimensional θ = ( λ , β , μ ) :
- El modelo binomial está parametrizada por θ = ( n , p ) , donde n es un entero no negativo y p es una probabilidad (es decir, p ≥ 0 y p ≤ 1 ):
Observaciones generales
Un modelo paramétrico se llama identificable si el mapeo θ ↦ P θ es invertible, es decir, no hay dos valores de parámetro diferentes θ 1 y θ 2 tales que P θ 1 = P θ 2 .
Comparaciones con otras clases de modelos
Los modelos paramétricos se contrastan con los modelos semi-paramétricos , semi-no paramétricos y no paramétricos , todos los cuales consisten en un conjunto infinito de "parámetros" para su descripción. La distinción entre estas cuatro clases es la siguiente: [ cita requerida ]
- en un modelo " paramétrico " todos los parámetros están en espacios de parámetros de dimensión finita;
- un modelo es " no paramétrico " si todos los parámetros están en espacios de parámetros de dimensión infinita;
- un modelo " semiparamétrico " contiene parámetros de interés de dimensión finita y parámetros de molestia de dimensión infinita ;
- un modelo " semi-no paramétrico " tiene parámetros desconocidos tanto de dimensión finita como de dimensión infinita de interés.
Algunos estadísticos creen que los conceptos "paramétrico", "no paramétrico" y "semiparamétrico" son ambiguos. [1] También se puede observar que el conjunto de todas las medidas de probabilidad tiene cardinalidad de continuo y, por lo tanto, es posible parametrizar cualquier modelo mediante un solo número en el intervalo (0,1). [2] Esta dificultad puede evitarse considerando solo modelos paramétricos "suaves".
Ver también
Notas
- ^ Le Cam y Yang 2000 , §7.4
- ^ Bickel y col. 1998 , pág. 2
Bibliografía
- Bickel, Peter J .; Doksum, Kjell A. (2001), Estadística matemática: temas básicos y seleccionados , Volumen 1 (Segunda edición (impresión actualizada 2007)), Prentice-Hall
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tiene texto extra ( ayuda ) - Bickel, Peter J .; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner, Jon A. (1998), Estimación eficiente y adaptativa para modelos semiparamétricos , Springer
- Davison, AC (2003), Modelos estadísticos , Cambridge University Press
- Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asintótica en estadística: algunos conceptos básicos , Springer
- Lehmann, Erich L .; Casella, George (1998), Teoría de la estimación puntual (2a ed.), Springer
- Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Teoría de la decisión estadística: estimación, prueba y selección , Springer
- Pfanzagl, Johann; con la ayuda de R. Hamböker (1994), Teoría estadística paramétrica , Walter de Gruyter , MR 1291393