La distribución de Pareto , el nombre del italiano ingeniero civil , economista y sociólogo Vilfredo Pareto , [1] ( italiano: [ p un r e ː t O ] Estados Unidos : / p ə r eɪ t oʊ / pə- RAY -toh ), [2] es una ley de potencia distribución de probabilidad que se utiliza en la descripción de sociales , control de calidad, científicos , geofísicos , actuariales y muchos otros tipos de fenómenos observables. Aplicado originalmente para describir la distribución de la riqueza en una sociedad, se ajusta a la tendencia de que una gran parte de la riqueza está en manos de una pequeña fracción de la población. [3] [4] El principio de Pareto o "regla 80-20" que establece que el 80% de los resultados se deben al 20% de las causas se nombró en honor a Pareto, pero los conceptos son distintos, y solo las distribuciones de Pareto con valor de forma ( α ) de log 4 5 ≈ 1,16 lo reflejan con precisión. La observación empírica ha demostrado que esta distribución 80-20 se ajusta a una amplia gama de casos, incluidos los fenómenos naturales [5] y las actividades humanas. [6]
Función de densidad de probabilidad Funciones de densidad de probabilidad de Pareto Tipo I para varias con Como los enfoques de distribución dónde es la función delta de Dirac . | |||
Función de distribución acumulativa Funciones de distribución acumulativa de Pareto Tipo I para varios con | |||
Parámetros | escala ( real ) forma (real) | ||
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Modo | |||
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CF | |||
Información de Fisher | Derecha: |
Definiciones
Si X es una variable aleatoria con una distribución de Pareto (Tipo I), [7] entonces la probabilidad de que X sea mayor que algún número x , es decir, la función de supervivencia (también llamada función de cola), viene dada por
donde x m es el valor mínimo posible (necesariamente positivo) de X , y α es un parámetro positivo. La distribución de Pareto Tipo I se caracteriza por un parámetro de escala x my un parámetro de forma α , que se conoce como índice de cola . Cuando esta distribución se utiliza para modelar la distribución de la riqueza, entonces el parámetro α se denomina índice de Pareto .
Función de distribución acumulativa
De la definición, la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de Pareto con parámetros α y x m es
Función de densidad de probabilidad
De ello se deduce (por diferenciación ) que la función de densidad de probabilidad es
Cuando se traza sobre ejes lineales, la distribución asume la conocida curva en forma de J que se aproxima a cada uno de los ejes ortogonales de forma asintótica . Todos los segmentos de la curva son auto-similares (sujetos a factores de escala apropiados). Cuando se representa en una gráfica logarítmica , la distribución se representa mediante una línea recta.
Propiedades
Momentos y función característica
- El valor esperado de una variable aleatoria siguiendo una distribución de Pareto es
- La varianza de una variable aleatoria siguiendo una distribución de Pareto es
- (Si α ≤ 1, la varianza no existe).
- Los momentos crudos son
- La función de generación de momento solo se define para valores no positivos t ≤ 0 como
Por lo tanto, dado que la expectativa no converge en un intervalo abierto que contiene decimos que la función generadora de momentos no existe.
- La función característica está dada por
- donde Γ ( a , x ) es la función gamma incompleta .
Los parámetros pueden resolverse utilizando el método de momentos . [8]
Distribuciones condicionales
La distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria distribuida en Pareto, dado el caso de que sea mayor o igual que un número particular excesivo , es una distribución de Pareto con el mismo índice de Pareto pero con minimo en vez de .
Un teorema de caracterización
Suponer son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica cuya distribución de probabilidad se apoya en el intervalo para algunos . Supongamos que para todos, las dos variables aleatorias y son independientes. Entonces la distribución común es una distribución de Pareto. [ cita requerida ]
Significado geometrico
La media geométrica ( G ) es [9]
Significado armonico
La media armónica ( H ) es [9]
Representación grafica
La característica distribución curva de ' cola larga ' cuando se traza en una escala lineal, enmascara la simplicidad subyacente de la función cuando se traza en un gráfico log-log , que luego toma la forma de una línea recta con gradiente negativo: se sigue de la fórmula para la función de densidad de probabilidad que para x ≥ x m ,
Dado que α es positivo, el gradiente - ( α + 1) es negativo.
Distribuciones relacionadas
Distribuciones de Pareto generalizadas
Existe una jerarquía [7] [10] de distribuciones de Pareto conocida como distribuciones Pareto Tipo I, II, III, IV y Feller-Pareto. [7] [10] [11] Pareto Tipo IV contiene Pareto Tipo I-III como casos especiales. La distribución de Feller-Pareto [10] [12] generaliza Pareto Tipo IV.
Pareto tipos I-IV
La jerarquía de distribución de Pareto se resume en la siguiente tabla comparando las funciones de supervivencia (CDF complementario).
Cuando μ = 0, la distribución de Pareto Tipo II también se conoce como distribución de Lomax . [13]
En esta sección, el símbolo x m , usado antes para indicar el valor mínimo de x , se reemplaza por σ .
Apoyo | Parámetros | ||
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Tipo i | |||
Tipo II | |||
Lomax | |||
Tipo III | |||
Tipo IV |
El parámetro de forma α es el índice de cola , μ es la ubicación, σ es la escala, γ es un parámetro de desigualdad. Algunos casos especiales de Pareto Tipo (IV) son
La finitud de la media y la existencia y finitud de la varianza dependen del índice de cola α (índice de desigualdad γ ). En particular, los momentos δ fraccionarios son finitos para algunos δ > 0, como se muestra en la tabla siguiente, donde δ no es necesariamente un número entero.
Condición | Condición | |||
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Tipo i | ||||
Tipo II | ||||
Tipo III | ||||
Tipo IV |
Distribución de Feller-Pareto
Feller [10] [12] define una variable de Pareto mediante la transformación U = Y −1-1 de una variable aleatoria beta Y , cuya función de densidad de probabilidad es
donde B () es la función beta . Si
entonces W tiene una distribución de Feller-Pareto FP ( μ , σ , γ , γ 1 , γ 2 ). [7]
Si y son variables Gamma independientes , otra construcción de una variable de Feller-Pareto (FP) es [14]
y escribimos W ~ FP ( μ , σ , γ , δ 1 , δ 2 ). Los casos especiales de la distribución de Feller-Pareto son
Relación con la distribución exponencial
La distribución de Pareto está relacionada con la distribución exponencial de la siguiente manera. Si X tiene una distribución de Pareto con un mínimo de x my un índice α , entonces
se distribuye exponencialmente con el parámetro de tasa α . De manera equivalente, si Y se distribuye exponencialmente con tasa α , entonces
tiene una distribución de Pareto con un mínimo de x my un índice α .
Esto se puede mostrar usando las técnicas estándar de cambio de variable:
La última expresión es la función de distribución acumulativa de una distribución exponencial con tasa α .
La distribución de Pareto se puede construir mediante distribuciones exponenciales jerárquicas. [15] Deja
. Entonces nosotros tenemos.
Relación con la distribución logarítmica normal
La distribución de Pareto y la distribución logarítmica normal son distribuciones alternativas para describir los mismos tipos de cantidades. Una de las conexiones entre los dos es que ambos son distribuciones de la exponencial de las variables aleatorias distribuidas de acuerdo con otras distribuciones comunes, respectivamente, la distribución exponencial y la distribución normal . (Consulte la sección anterior ).
Relación con la distribución de Pareto generalizada
La distribución de Pareto es un caso especial de la distribución de Pareto generalizada , que es una familia de distribuciones de forma similar, pero que contiene un parámetro adicional de tal manera que el soporte de la distribución está acotado por debajo (en un punto variable), o limitado tanto por arriba como por abajo (donde ambos son variables), con la distribución de Lomax como un caso especial. Esta familia también contiene distribuciones exponenciales cambiadas y no desplazadas .
La distribución de Pareto con escala y forma es equivalente a la distribución de Pareto generalizada con ubicación , escala y forma . Viceversa, uno puede obtener la distribución de Pareto del GPD por y .
Distribución de Pareto acotada
Parámetros | ubicación ( real ) | ||
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Apoyo | |||
CDF | |||
Significar | | ||
Mediana | |||
Diferencia | (este es el segundo momento crudo, no la varianza) | ||
Oblicuidad | (este es el k-ésimo momento crudo, no la asimetría) |
La distribución de Pareto delimitada (o truncado) tiene tres parámetros: α , L y H . Como en la distribución estándar de Pareto, α determina la forma. L denota el valor mínimo y H denota el valor máximo.
La función de densidad de probabilidad es
- ,
donde L ≤ x ≤ H , y α > 0.
Generación de variables aleatorias de Pareto acotadas
Si U se distribuye uniformemente en (0, 1), entonces se aplica el método de transformada inversa [16]
es un Pareto-distribuido acotado.
Distribución simétrica de Pareto
El propósito de la distribución Pareto simétrica y la distribución Pareto simétrica cero es capturar alguna distribución estadística especial con un pico de probabilidad agudo y colas de probabilidad largas simétricas. Estas dos distribuciones se derivan de la distribución de Pareto. La cola de probabilidad larga normalmente significa que la probabilidad decae lentamente. La distribución de Pareto realiza un trabajo de adaptación en muchos casos. Pero si la distribución tiene una estructura simétrica con dos colas de lenta descomposición, Pareto no podría hacerlo. Luego, en su lugar, se aplica la distribución Pareto simétrica o Pareto simétrica cero. [17]
La función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución simétrica de Pareto se define de la siguiente manera: [17]
La función de densidad de probabilidad (PDF) correspondiente es: [17]
Esta distribución tiene dos parámetros: ay b. Es simétrico por b. Entonces la expectativa matemática es b. Cuando, tiene varianza de la siguiente manera:
La distribución de CDF de Pareto simétrico cero (ZSP) se define de la siguiente manera:
El PDF correspondiente es:
Esta distribución es simétrica por cero. El parámetro a está relacionado con la tasa de probabilidad de caída y (a / 2b) representa la magnitud máxima de probabilidad. [17]
Distribución de Pareto multivariante
La distribución de Pareto univariada se ha ampliado a una distribución de Pareto multivariante . [18]
Inferencia estadística
Estimación de parámetros
La función de verosimilitud para los parámetros de distribución de Pareto α y x m , dada una muestra independiente x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), es
Por lo tanto, la función de verosimilitud logarítmica es
Se puede ver que aumenta monótonamente con x m , es decir, cuanto mayor es el valor de x m , mayor es el valor de la función de verosimilitud. Por tanto, dado que x ≥ x m , concluimos que
Para encontrar el estimador de α , calculamos la derivada parcial correspondiente y determinamos dónde es cero:
Por tanto, el estimador de máxima verosimilitud para α es:
El error estadístico esperado es: [19]
Malik (1970) [20] da la distribución conjunta exacta de. En particular, y son independientes yes Pareto con el parámetro de escala x my el parámetro de forma nα , mientras quetiene una distribución gamma inversa con parámetros de forma y escala n - 1 y nα , respectivamente.
Ocurrencia y aplicaciones
General
Vilfredo Pareto usó originalmente esta distribución para describir la distribución de la riqueza entre los individuos, ya que parecía mostrar bastante bien la forma en que una mayor parte de la riqueza de cualquier sociedad es propiedad de un porcentaje menor de las personas en esa sociedad. También lo usó para describir la distribución de ingresos. [4] Esta idea a veces se expresa más simplemente como el principio de Pareto o la "regla 80-20" que dice que el 20% de la población controla el 80% de la riqueza. [21] Sin embargo, la regla 80-20 corresponde a un valor particular de α y, de hecho, los datos de Pareto sobre los impuestos sobre la renta británicos en su Cours d'économie politique indican que alrededor del 30% de la población tenía alrededor del 70% de los ingresos. . [ cita requerida ] El gráfico de la función de densidad de probabilidad (PDF) al principio de este artículo muestra que la "probabilidad" o fracción de la población que posee una pequeña cantidad de riqueza por persona es bastante alta y luego disminuye constantemente a medida que aumenta la riqueza. (Sin embargo, la distribución de Pareto no es realista para la riqueza del extremo inferior. De hecho, el valor neto puede incluso ser negativo). Esta distribución no se limita a describir la riqueza o el ingreso, sino a muchas situaciones en las que se encuentra un equilibrio en el distribución de lo "pequeño" a lo "grande". Los siguientes ejemplos a veces se consideran aproximadamente distribuidos por Pareto:
- El tamaño de los asentamientos humanos (pocas ciudades, muchas aldeas / aldeas) [22] [23]
- Distribución del tamaño de archivo del tráfico de Internet que utiliza el protocolo TCP (muchos archivos más pequeños, pocos más grandes) [22]
- Tasas de error de la unidad de disco duro [24]
- Grupos de condensado de Bose-Einstein cerca del cero absoluto [25]
- Los valores de las reservas de petróleo en los campos petrolíferos (algunos campos grandes , muchos campos pequeños ) [22]
- La distribución de la longitud en los trabajos asignados a las supercomputadoras (algunas grandes, muchas pequeñas) [26]
- La rentabilidad normalizada de los precios de las existencias individuales [22]
- Tamaños de las partículas de arena [22]
- El tamaño de los meteoritos
- Gravedad de grandes pérdidas por hechos fortuitos para ciertas líneas de negocio, como responsabilidad general, automóviles comerciales y compensación para trabajadores. [27] [28]
- Cantidad de tiempo que un usuario de Steam dedicará a jugar diferentes juegos. (Algunos juegos se juegan mucho, pero la mayoría casi nunca). [2] [ ¿investigación original? ]
- En hidrología, la distribución de Pareto se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas fluviales. [29] La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Pareto a las precipitaciones máximas anuales clasificadas en un día, que muestra también el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . Los datos de lluvia se representan mediante la representación de posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
- En la confiabilidad de la distribución de servicios eléctricos (el 80% de los minutos interrumpidos del cliente ocurren aproximadamente en el 20% de los días de un año determinado).
Relación con la ley de Zipf
La distribución de Pareto es una distribución de probabilidad continua. La ley de Zipf , también llamada a veces distribución zeta , es una distribución discreta que separa los valores en una clasificación simple. Ambas son una ley de potencia simple con un exponente negativo, escaladas de modo que sus distribuciones acumuladas sean iguales a 1. Las Zipf se pueden derivar de la distribución de Pareto si la los valores (ingresos) se agrupan en rangos para que el número de personas en cada contenedor siga un patrón de 1 / rango. La distribución se normaliza definiendo así que eso dónde es el número armónico generalizado . Esto hace que la función de densidad de probabilidad de Zipf sea derivable de la de Pareto.
dónde y es un número entero que representa el rango de 1 a N, donde N es el rango de ingresos más alto. Entonces, una persona (o palabra, enlace a un sitio web o ciudad) seleccionada al azar de una población (o idioma, Internet o país) tiene probabilidad de clasificación .
Relación con el "principio de Pareto"
La " ley 80-20 ", según la cual el 20% de todas las personas recibe el 80% de todos los ingresos y el 20% de los más ricos, el 20% recibe el 80% de ese 80%, y así sucesivamente, se cumple precisamente cuando el índice de Pareto es. Este resultado puede derivarse de la fórmula de la curva de Lorenz que se muestra a continuación. Además, se ha demostrado que lo siguiente [30] es matemáticamente equivalente:
- La renta se distribuye según una distribución de Pareto con índice α > 1.
- Existe un número 0 ≤ p ≤ 1/2 tal que el 100 p % de todas las personas recibe el 100 (1 - p )% de todos los ingresos, y de manera similar para cada n > 0, 100 p n % real (no necesariamente entero) todas las personas reciben el 100 (1 - p ) n porcentaje de todos los ingresos. α y p están relacionados por
Esto no se aplica solo a los ingresos, sino también a la riqueza o cualquier otra cosa que pueda modelarse mediante esta distribución.
Esto excluye las distribuciones de Pareto en las que 0 < α ≤ 1, que, como se señaló anteriormente, tienen un valor esperado infinito y, por lo tanto, no pueden modelar razonablemente la distribución del ingreso.
Relación con la ley de Price
La ley de la raíz cuadrada de Price a veces se ofrece como una propiedad o similar a la distribución de Pareto. Sin embargo, la ley solo se cumple en el caso de que. Tenga en cuenta que en este caso, la cantidad total y esperada de riqueza no están definidas, y la regla solo se aplica asintóticamente a muestras aleatorias. El Principio de Pareto ampliado mencionado anteriormente es una regla mucho más general.
Curva de Lorenz y coeficiente de Gini
La curva de Lorenz se utiliza a menudo para caracterizar las distribuciones de ingresos y riqueza. Para cualquier distribución, el Lorenz curva L ( F ) está escrita en términos de la PDF f o el CDF F como
donde x ( F ) es la inversa de la CDF. Para la distribución de Pareto,
y la curva de Lorenz se calcula para ser
Para el denominador es infinito, dando L = 0. En el gráfico de la derecha se muestran ejemplos de la curva de Lorenz para varias distribuciones de Pareto.
Según Oxfam (2016), las 62 personas más ricas tienen tanta riqueza como la mitad más pobre de la población mundial. [31] Podemos estimar el índice de Pareto que se aplicaría a esta situación. Dejando ε igual tenemos:
o
La solución es que α equivale aproximadamente a 1,15 y aproximadamente el 9% de la riqueza pertenece a cada uno de los dos grupos. Pero en realidad, el 69% más pobre de la población adulta mundial posee solo alrededor del 3% de la riqueza. [32]
El coeficiente de Gini es una medida de la desviación de la curva de Lorenz de la línea de equidistribución que es una línea que conecta [0, 0] y [1, 1], que se muestra en negro ( α = ∞) en la gráfica de Lorenz en derecho. Específicamente, el coeficiente de Gini es el doble del área entre la curva de Lorenz y la línea de equidistribución. Luego se calcula el coeficiente de Gini para la distribución de Pareto (para) ser - estar
(ver Aaberge 2005).
Métodos computacionales
Generación de muestra aleatoria
Se pueden generar muestras aleatorias utilizando muestreo por transformación inversa . Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo unitario (0, 1], la variable T dada por
está distribuido por Pareto. [33] Si U se distribuye uniformemente en [0, 1), se puede intercambiar con (1 - U ).
Ver también
- Ley de Bradford
- Ley de Gutenberg-Richter
- Efecto Mateo
- Análisis de Pareto
- Eficiencia de Pareto
- Interpolación de Pareto
- Distribuciones de probabilidad de la ley de potencias
- Ley del esturión
- Modelo de generación de tráfico
- Ley de Zipf
- Distribución de cola pesada
Referencias
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Experimentamos con 5 distribuciones diferentes (Geométrica, Weibull, Rayleigh, Pareto y Lognormal), que se usan comúnmente en el contexto de confiabilidad del sistema, y evaluamos su ajuste a través de las diferencias cuadráticas totales entre las frecuencias reales e hipotetizadas ( estadística χ 2 ) . Constantemente, en todos los modelos encontramos que la distribución geométrica no se ajusta bien, mientras que la distribución de Pareto proporciona el mejor ajuste.
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( ayuda )
enlaces externos
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- Syntraf1.c es un programa en C para generar tráfico de paquetes sintéticos con un tamaño de ráfaga de Pareto acotado y un tiempo entre ráfagas exponencial.