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Para otros usos, consulte Paridad (desambiguación) .
El "número impar" vuelve a dirigir aquí. Para la película argentina de 1962, vea Odd Number (película) .
Varillas de Cuisenaire : 5 (amarillo) no se pueden dividir uniformemente en 2 (rojo) por 2 varillas del mismo color / longitud, mientras que 6 (verde oscuro) se pueden dividir uniformemente en 2 por 3 (verde claro).

En matemáticas , la paridad es la propiedad de un número entero de si es par o impar . La paridad de un entero es par si es divisible por dos sin restos y su paridad es impar si no lo es; es decir, su resto es 1. [1] Por ejemplo, −4, 0, 82 y 178 son pares porque no hay resto al dividirlo por 2. Por el contrario, −3, 5, 7, 21 son números impares ya que dejan un resto de 1 cuando se dividen por 2.

Los números pares e impares tienen paridades opuestas, por ejemplo, 22 (número par) y 13 (número impar) tienen paridades opuestas. En particular, la paridad de cero es pareja . [2] Dos enteros consecutivos cualesquiera tienen paridad opuesta.

Una definición formal de un número par es que es un número entero de la forma n  = 2 k , donde k es un número entero; [3] Entonces se puede demostrar que un número impar es un número entero de la forma n = 2 k + 1 (o alternativamente, 2 k  - 1). Es importante darse cuenta de que la definición anterior de paridad se aplica solo a números enteros, por lo que no se puede aplicar a números como 1/2 o 4.201. Consulte la sección "Matemáticas superiores" a continuación para ver algunas extensiones de la noción de paridad a una clase más grande de "números" o en otros entornos más generales.

Los conjuntos de números pares e impares se pueden definir de la siguiente manera: [4]

  • Incluso 
  • Impar 

Un número (es decir, entero) expresado en el sistema de numeración decimal es par o impar según si su último dígito es par o impar. Es decir, si el último dígito es 1, 3, 5, 7 o 9, entonces es impar; de lo contrario, es uniforme. La misma idea funcionará con cualquier base uniforme. En particular, un número expresado en el sistema numérico binario es impar si su último dígito es 1; es par si su último dígito es 0. En una base impar, el número es par según la suma de sus dígitos; es par si y solo si la suma de sus dígitos es par. [5]

Aritmética en números pares e impares [ editar ]

Las siguientes leyes se pueden verificar utilizando las propiedades de divisibilidad . Son un caso especial de reglas en aritmética modular y se usan comúnmente para verificar si es probable que una igualdad sea correcta probando la paridad de cada lado. Al igual que con la aritmética ordinaria, la multiplicación y la suma son conmutativas y asociativas en la aritmética de módulo 2, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Sin embargo, la resta en el módulo 2 es idéntica a la suma, por lo que la resta también posee estas propiedades, lo que no es cierto para la aritmética de enteros normal.

Suma y resta [ editar ]

  • par ± par = par; [1]
  • par ± impar = impar; [1]
  • impar ± impar = par; [1]

Multiplicación [ editar ]

  • par × par = par; [1]
  • par × impar = par; [1]
  • impar × impar = impar; [1]

La estructura ({par, impar}, +, ×) es de hecho un campo con solo dos elementos .

División [ editar ]

La división de dos números enteros no necesariamente resulta en un número entero. Por ejemplo, 1 dividido por 4 es igual a 1/4, que no es par ni impar, ya que los conceptos par e impar se aplican solo a números enteros. Pero cuando el cociente es un número entero, será par si y solo si el dividendo tiene más factores de dos que el divisor. [6]

Historia [ editar ]

Los antiguos griegos consideraban que 1, la mónada , no era ni completamente impar ni completamente par. [7] Algo de este sentimiento sobrevivió hasta el siglo XIX: Friedrich Wilhelm August Fröbel en 1826 La educación del hombre instruye al maestro a instruir a los estudiantes con la afirmación de que 1 no es ni par ni impar, a lo que Fröbel agrega la idea de último momento filosófica

Es bueno dirigir aquí la atención del alumno a una gran ley de la naturaleza y del pensamiento de gran alcance. Es esto, que entre dos cosas o ideas relativamente diferentes siempre hay una tercera, en una especie de equilibrio, que parece unir las dos. Por lo tanto, aquí hay entre números pares e impares un número (uno) que no es ninguno de los dos. De manera similar, en la forma, el ángulo recto se encuentra entre los ángulos agudo y obtuso; y en el lenguaje, las semivocales o aspirantes entre mudos y vocales. Un maestro reflexivo y un alumno a quien se le enseñó a pensar por sí mismo apenas pueden dejar de notar esta y otras leyes importantes. [8]

Matemáticas superiores [ editar ]

Dimensiones más altas y clases de números más generales [ editar ]

aBCDmiFgramoh
8
Tablero de ajedrez480.svg
c8 cruz negra
e8 cruz negra
b7 cruz negra
f7 cruz negra
d6 caballero negro
b5 cruz negra
f5 cruz negra
c4 cruz negra
e4 cruz negra
obispo blanco c1
alfil blanco f1
8
77
66
55
44
33
22
11
aBCDmiFgramoh
Los dos alfiles blancos se limitan a casillas de paridad opuesta; el caballero negro solo puede saltar a casillas de paridad alterna.

Las coordenadas enteras de puntos en espacios euclidianos de dos o más dimensiones también tienen una paridad, generalmente definida como la paridad de la suma de las coordenadas. Por ejemplo, la celosía cúbica centrada en las caras y sus generalizaciones de dimensiones superiores, las celosías D n , constan de todos los puntos enteros cuya suma de coordenadas es par. [9] Esta característica se manifiesta en el ajedrez , donde la paridad de una casilla se indica por su color: los alfiles están limitados a casillas de la misma paridad; los caballeros alternan la paridad entre los movimientos. [10] Esta forma de paridad se utilizó para resolver el problema del tablero de ajedrez mutilado.: si se eliminan dos casillas de las esquinas opuestas de un tablero de ajedrez, entonces el tablero restante no se puede cubrir con fichas de dominó, porque cada ficha de dominó cubre una casilla de cada paridad y hay dos casillas más de una paridad que de la otra. [11]

La paridad de un número ordinal puede definirse como par si el número es un ordinal límite, o un ordinal límite más un número par finito, e impar en caso contrario. [12]

Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R cuyo índice es 2. Los elementos de la clase lateral pueden llamarse pares , mientras que los elementos de la clase lateral pueden llamarse impares . Como ejemplo, sea R = Z (2) la localización de Z en el ideal primo (2). A continuación, un elemento de R es par o impar si y sólo si su numerador es así en Z .

Teoría de números [ editar ]

Los números pares forman un ideal en el anillo de los números enteros, [13] pero los números impares no lo hacen - esto es claro por el hecho de que el elemento de identidad para la suma, cero, es un elemento de los números pares solamente. Un entero es par si es congruente con 0 módulo este ideal, es decir, si es congruente con 0 módulo 2, e impar si es congruente con 1 módulo 2.

Todos los números primos son impares, con una excepción: el número primo 2. [14] Todos los números perfectos conocidos son pares; se desconoce si existen números perfectos impares. [15]

La conjetura de Goldbach establece que todo entero par mayor que 2 puede representarse como una suma de dos números primos. Los cálculos informáticos modernos han demostrado que esta conjetura es cierta para números enteros de hasta al menos 4 × 10 18 , pero aún no se han encontrado pruebas generales . [dieciséis]

Teoría de grupos [ editar ]

La venganza de Rubik en estado resuelto

La paridad de una permutación (como se define en el álgebra abstracta ) es la paridad del número de transposiciones en las que se puede descomponer la permutación. [17] Por ejemplo, (ABC) a (BCA) es par porque se puede hacer intercambiando A y B luego C y A (dos transposiciones). Se puede demostrar que ninguna permutación puede descomponerse tanto en un número par como en un número impar de transposiciones. Por tanto, lo anterior es una definición adecuada. En Rubik's Cube , Megaminx y otros rompecabezas retorcidos, los movimientos del rompecabezas solo permiten permutaciones uniformes de las piezas del rompecabezas, por lo que la paridad es importante para comprender el espacio de configuración de estos rompecabezas. [18]

El teorema de Feit-Thompson establece que un grupo finito siempre se puede resolver si su orden es un número impar. Este es un ejemplo de números impares que juegan un papel en un teorema matemático avanzado donde el método de aplicación de la hipótesis simple de "orden impar" está lejos de ser obvio. [19]

Análisis [ editar ]

La paridad de una función describe cómo cambian sus valores cuando sus argumentos se intercambian con sus negaciones. Una función par, como la potencia par de una variable, da el mismo resultado para cualquier argumento que para su negación. Una función impar, como la potencia impar de una variable, da para cualquier argumento la negación de su resultado cuando se le da la negación de ese argumento. Es posible que una función no sea ni par ni impar, y para el caso f ( x ) = 0, que sea tanto par como impar. [20] La serie de Taylor de una función par contiene solo términos cuyo exponente es un número par, y la serie de Taylor de una función impar contiene solo términos cuyo exponente es un número impar. [21]

Teoría de juegos combinatoria [ editar ]

En la teoría de juegos combinatorios , un número maligno es un número que tiene un número par de unos en su representación binaria , y un número odioso es un número que tiene un número impar de unos en su representación binaria; estos números juegan un papel importante en la estrategia del juego Kayles . [22] La función de paridad asigna un número al número de unos en su representación binaria, módulo 2 , por lo que su valor es cero para los números malos y uno para los números odiosos. La secuencia de Thue-Morse , una secuencia infinita de ceros y unos, tiene un 0 en la posición i cuando ies malvado, y un 1 en esa posición cuando i es odioso. [23]

Aplicaciones adicionales [ editar ]

En la teoría de la información , un bit de paridad agregado a un número binario proporciona la forma más simple de código de detección de errores . Si se cambia un solo bit en el valor resultante, entonces ya no tendrá la paridad correcta: cambiar un bit en el número original le da una paridad diferente a la registrada, y cambiar el bit de paridad sin cambiar el número que era derivado de nuevo produce un resultado incorrecto. De esta forma, todos los errores de transmisión de un solo bit pueden detectarse de forma fiable. [24] Algunos códigos de detección de errores más sofisticados también se basan en el uso de múltiples bits de paridad para subconjuntos de bits del valor codificado original. [25]

En instrumentos de viento con orificio cilíndrico y en efecto cerrado en un extremo, como el clarinete en la boquilla, los armónicos producidos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental . (Con tubos cilíndricos abiertos en ambos extremos, utilizados por ejemplo en algunas paradas de órgano como el diapasón abierto , los armónicos son incluso múltiplos de la misma frecuencia para la longitud del orificio dada, pero esto tiene el efecto de duplicar la frecuencia fundamental y todo se producen múltiplos de esta frecuencia fundamental.) Ver serie armónica (música) . [26]

En algunos países, la numeración de las casas se elige de modo que las casas de un lado de la calle tengan números pares y las casas del otro lado tengan números impares. [27] De manera similar, entre las carreteras numeradas de los Estados Unidos , los números pares indican principalmente las carreteras este-oeste, mientras que los números impares indican principalmente las carreteras norte-sur. [28] Entre los números de vuelo de las aerolíneas, los números pares típicamente identifican vuelos hacia el este o hacia el norte, y los números impares típicamente identifican vuelos hacia el oeste o hacia el sur. [29]

Ver también [ editar ]

  • Divisor

Referencias [ editar ]

  1. ^ a b c d e f g Vijaya, AV; Rodríguez, Dora, Figuring Out Mathematics , Pearson Education India, págs. 20–21, ISBN 9788131703571.
  2. ^ Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory , World Scientific, p. 178, ISBN 9789814335232.
  3. ^ Bassarear, Tom (2010), Matemáticas para profesores de escuela primaria , Cengage Learning, p. 198, ISBN 9780840054630.
  4. ^ Sidebotham, Thomas H. (2003), La A a la Z de las matemáticas: una guía básica , John Wiley & Sons, p. 181, ISBN 9780471461630.
  5. ^ Owen, Ruth L. (1992), "Divisibilidad en bases" (PDF) , El Pentágono: una revista de matemáticas para estudiantes , 51 (2): 17-20, archivado desde el original (PDF) el 17 de marzo de 2015 .
  6. ^ Pólya, George ; Tarjan, Robert E .; Woods, Donald R. (2009), Notes on Introductory Combinatorics , Springer, págs. 21-22, ISBN 9780817649524.
  7. ^ Tankha (2006), Filosofía griega antigua: Tales a Gorgias , Pearson Education India, p. 136, ISBN 9788177589399.
  8. ^ Froebel, Friedrich; Traductora Josephine Jarvis (1885). La educación del hombre . Nueva York: A Lovell & Company. págs.  240 .
  9. ^ Conway, JH; Sloane, NJA (1999), Empaquetaduras de esferas , celosías y grupos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 290 (3ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, p. 10, ISBN 978-0-387-98585-5, MR  1662447.
  10. ^ Pandolfini, Bruce (1995), Chess Thinking: El diccionario visual de movimientos, reglas, estrategias y conceptos del ajedrez , Simon y Schuster, págs. 273-274, ISBN 9780671795023.
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  12. ^ Bruckner, Andrew M .; Bruckner, Judith B .; Thomson, Brian S. (1997), Real Analysis , pág. 37, ISBN 978-0-13-458886-5.
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