Ecuación diferencial parcial

Funciones multivariables y sus derivadas parciales

Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes utilizadas para simular el flujo de aire alrededor de una obstrucción
Alcance Ciencias Naturales Ingenieria Astronomía Física Química Biología Geología Matemáticas Aplicadas Mecánica de Medios Continuos Teoría del caos Sistemas dinámicos Ciencias Sociales Ciencias económicas Dinámica poblacional
Clasificación
Tipos Ordinario Parcial Diferencial-algebraico Integro-diferencial Fraccionario Lineal No lineal Por tipo de variable Variables dependientes e independientes Autónomo Complejo Acoplado / desacoplado Exacto Homogéneo  / No homogéneo Características Pedido Operador Notación
Relación con los procesos Diferencia (análogo discreto) Estocástico Estocástico parcial Demora
Solución
Existencia y singularidad Teorema de Picard-Lindelöf Teorema de existencia de Peano Teorema de existencia de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Temas generales Wronskian Retrato de fase Espacio de fase Estabilidad de Lyapunov  / Asintótica  / Exponencial Tasa de convergencia Serie  / Soluciones integrales Integracion numerica Función delta de Dirac
Métodos de solución Inspección Método de características Euler Fórmula de respuesta exponencial Diferencia finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volumen finito Galerkin Petrov – Galerkin Factor de integración Transformaciones integrales Teoría de la perturbación Runge – Kutta Separación de variables Coeficientes indeterminados Variación de parámetros
Personas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t mi

Una visualización de una solución a la ecuación de calor bidimensional con la temperatura representada por la dirección vertical y el color.

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial ( PDE ) es una ecuación que impone relaciones entre las diversas derivadas parciales de una función multivariable .

A menudo se piensa que la función es una "incógnita" que se debe resolver, de manera similar a como se piensa que x es un número desconocido, que se debe resolver, en una ecuación algebraica como x ² - 3 x + 2 = 0 . Sin embargo, generalmente es imposible escribir fórmulas explícitas para soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. En consecuencia, existe una gran cantidad de investigación matemática y científica moderna sobre métodos para aproximar numéricamente soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales utilizando computadoras. Las ecuaciones diferenciales parciales también ocupan un gran sector de la investigación matemática pura., en el que las preguntas habituales son, en términos generales, sobre la identificación de características cualitativas generales de las soluciones de varias ecuaciones diferenciales parciales. ^{[ cita requerida ]}

Las ecuaciones diferenciales parciales son omnipresentes en los campos científicos de orientación matemática, como la física y la ingeniería . Por ejemplo, son fundamentales en la comprensión científica moderna del sonido, el calor, la difusión , la electrostática , la electrodinámica , la dinámica de fluidos , la elasticidad , la relatividad general y la mecánica cuántica . ^{[ cita requerida ]} También surgen de muchas consideraciones puramente matemáticas, como la geometría diferencial y el cálculo de variaciones; entre otras aplicaciones destacadas, son la herramienta fundamental en la demostración de la conjetura de Poincaré a partir de la topología geométrica .

En parte debido a esta variedad de fuentes, existe un amplio espectro de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales parciales, y se han desarrollado métodos para tratar muchas de las ecuaciones individuales que surgen. Como tal, generalmente se reconoce que no existe una "teoría general" de las ecuaciones diferenciales parciales, y que el conocimiento especializado está algo dividido entre varios subcampos esencialmente distintos. ^[1]

Las ecuaciones diferenciales ordinarias forman una subclase de ecuaciones diferenciales parciales, correspondientes a funciones de una sola variable. Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas y las ecuaciones no locales son, a partir de 2020, extensiones particularmente estudiadas de la noción "PDE". Los temas más clásicos, sobre los que todavía hay mucha investigación activa, incluyen ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas , mecánica de fluidos , ecuaciones de Boltzmann y ecuaciones diferenciales parciales dispersivas .

Introducción

Se dice que una función u ( x , y , z ) de tres variables es " armónica " o "una solución de la ecuación de Laplace " si satisface la condición

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$

Estas funciones fueron ampliamente estudiadas en el siglo XIX debido a su relevancia para la mecánica clásica . Si se le da explícitamente una función, normalmente es una cuestión de cálculo sencillo comprobar si es armónica o no. Por ejemplo

${\displaystyle u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}{\text{ and }}u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

son armónicos mientras

${\displaystyle u(x,y,z)=\sin(xy)+z}$

no es. Puede resultar sorprendente que los dos ejemplos dados de funciones armónicas sean de una forma tan sorprendentemente diferente entre sí. Esto es un reflejo del hecho de que son no , de ninguna manera inmediata, los dos casos especiales de una "fórmula de solución general" de la ecuación de Laplace. Esto contrasta notablemente con el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) más o menos similares a la ecuación de Laplace, con el objetivo de muchos libros de texto de introducción a encontrar algoritmos que conduzcan a fórmulas generales de solución. Para la ecuación de Laplace, como para un gran número de ecuaciones diferenciales parciales, tales fórmulas de solución no existen.

La naturaleza de esta falla se puede ver más concretamente en el caso de la siguiente PDE: para una función v ( x , y ) de dos variables, considere la ecuación

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.}$

Puede comprobarse directamente que cualquier función v de la forma v ( x , y ) = f ( x ) + g ( y ) , para cualquier función de variable única f y g , satisfará esta condición. Esto va mucho más allá de las opciones disponibles en las fórmulas de solución de ODE, que normalmente permiten la libre elección de algunos números. En el estudio de PDE, generalmente uno tiene la libre elección de funciones.

La naturaleza de esta elección varía de una PDE a otra. Para entenderlo para cualquier ecuación dada, los teoremas de existencia y unicidad suelen ser principios organizacionales importantes. En muchos libros de texto introductorios, el papel de los teoremas de existencia y unicidad para la EDOpuede ser algo opaco; la mitad de existencia suele ser innecesaria, ya que se puede verificar directamente cualquier fórmula de solución propuesta, mientras que la mitad de unicidad a menudo solo está presente en segundo plano para garantizar que la fórmula de solución propuesta sea lo más general posible. Por el contrario, para el PDE, los teoremas de existencia y unicidad son a menudo el único medio por el cual uno puede navegar a través de la plétora de diferentes soluciones disponibles. Por este motivo, también son fundamentales a la hora de realizar una simulación puramente numérica, ya que hay que tener conocimiento de qué datos va a prescribir el usuario y qué le queda al ordenador para que los calcule.

Para discutir tales teoremas de existencia y unicidad, es necesario ser preciso sobre el dominio de la "función desconocida". De lo contrario, hablando solo en términos como "una función de dos variables", es imposible formular los resultados de manera significativa. Es decir, el dominio de la función desconocida debe considerarse como parte de la estructura de la propia PDE.

A continuación se proporcionan dos ejemplos clásicos de tales teoremas de existencia y unicidad. A pesar de que los dos PDE en cuestión son tan similares, hay una diferencia notable en el comportamiento: para el primer PDE, uno tiene la prescripción gratuita de una sola función, mientras que para el segundo PDE, uno tiene la prescripción gratuita de dos funciones.

• Sea B el disco de radio unitario alrededor del origen en el plano. Para cualquier función continua U en el círculo unitario, hay exactamente una función u en B tal que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

y cuya restricción al círculo unidad está dada por U .

• Para cualquier función f y g en la línea real ℝ , hay exactamente una función u en ℝ × (−1, 1) tal que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

y con u ( x , 0) = f ( x ) y∂ u/∂ y( x , 0) = g ( x ) para todos los valores de x .

Son posibles aún más fenómenos. Por ejemplo, el siguiente PDE , que surge naturalmente en el campo de la geometría diferencial , ilustra un ejemplo donde hay una fórmula de solución simple y completamente explícita, pero con la libre elección de solo tres números y ni siquiera una función.

• Si u es una función en ℝ ² con

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,}$

entonces hay números a , b , y c con u ( x , y ) = ax + by + c .

A diferencia de los ejemplos anteriores, este PDE no es lineal, debido a las raíces cuadradas y los cuadrados. Una PDE lineal es aquella que, si es homogénea, la suma de dos soluciones cualesquiera también es una solución, y todos los múltiplos constantes de cualquier solución también son una solución.

Posesión

La postura correcta se refiere a un paquete esquemático común de información sobre un PDE. Para decir que un PDE está bien planteado, se debe tener:

• un teorema de existencia y unicidad, que afirma que mediante la prescripción de algunas funciones elegidas libremente, uno puede señalar una solución específica de la PDE
• al cambiar continuamente las opciones libres, uno cambia continuamente la solución correspondiente

Esto es, por la necesidad de ser aplicable a varios PDE diferentes, algo vago. El requisito de "continuidad", en particular, es ambiguo, ya que por lo general existen muchos medios no equivalentes por los cuales se puede definir rigurosamente. Sin embargo, es algo inusual estudiar un PDE sin especificar una forma en la que está bien planteado.

Existencia de soluciones locales

En una forma levemente débil, el teorema de Cauchy-Kowalevski esencialmente establece que si los términos en una ecuación diferencial parcial están formados por funciones analíticas , entonces en ciertas regiones, necesariamente existen soluciones de la PDE que también son funciones analíticas. Aunque este es un resultado fundamental, en muchas situaciones no es útil ya que no se puede controlar fácilmente el dominio de las soluciones producidas. Además, existen ejemplos conocidos de ecuaciones diferenciales parciales lineales cuyos coeficientes tienen derivadas de todos los órdenes (que sin embargo no son analíticas) pero que no tienen ninguna solución: este ejemplo sorprendente fue descubierto por Hans Lewyen 1957. De modo que el teorema de Cauchy-Kowalevski está necesariamente limitado en su alcance a funciones analíticas. Este contexto excluye muchos fenómenos de interés tanto físico como matemático.

Clasificación

Notación

Al escribir PDE, es común denotar derivadas parciales usando subíndices. Por ejemplo:

${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).}$

En la situación general de que u es una función de n variables, entonces u _i denota la primera derivada parcial relativa a la i 'ésima entrada, u _ij denota la segunda derivada parcial relativa a las i ' ésima y j 'ésima entrada, y así sobre.

La letra griega Δ denota el operador de Laplace ; si u es una función de n variables, entonces

${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$

En la literatura de física, el operador de Laplace se denota a menudo por ∇ ² ; en la literatura matemática, ∇ ² u también puede denotar la matriz hessiana de u .

Ecuaciones de primer orden

Artículo principal: Ecuación diferencial parcial de primer orden

Ecuaciones lineales y no lineales

Una PDE se llama lineal si es lineal en la incógnita y sus derivadas. Por ejemplo, para una función u de x y y , un segundo orden lineal PDE es de la forma

${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$

donde a _i y f son funciones de las variables independientes solamente. (A menudo los derivados parciales mixtas u _xy y u _YX serán equiparados, pero esto no se requiere para la discusión de la linealidad.) Si la una _i son constantes (independientes de x y y ), entonces la PDE se llama lineal con coeficientes constantes . Si f es cero en todas partes, entonces la PDE lineal es homogénea ; de lo contrario, no es homogénea . (Esto es independiente de la homogeneización asintótica, que estudia los efectos de las oscilaciones de alta frecuencia en los coeficientes sobre las soluciones a las PDE).

Las PDE más cercanas a las lineales son las PDE semilineales , donde las derivadas de orden más alto aparecen solo como términos lineales, con coeficientes que son funciones de las variables independientes únicamente. Las derivadas de orden inferior y la función desconocida pueden aparecer arbitrariamente de otra manera. Por ejemplo, una PDE semilineal de segundo orden general en dos variables es

${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

En una PDE cuasilineal, las derivadas de orden más alto también aparecen solo como términos lineales, pero con coeficientes posiblemente funciones de las derivadas desconocidas y de orden inferior:

${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

Muchas de las PDE fundamentales en física son cuasilineales, como las ecuaciones de Einstein de la relatividad general y las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de fluidos.

Una PDE sin propiedades de linealidad se denomina completamente no lineal y posee no linealidades en una o más de las derivadas de mayor orden. Un ejemplo es la ecuación de Monge-Ampère , que surge en geometría diferencial . ^[2]

Ecuaciones lineales de segundo orden

Las ecuaciones diferenciales parciales elípticas , parabólicas e hiperbólicas de orden dos han sido ampliamente estudiadas desde principios del siglo XX. Sin embargo, hay muchos otros tipos importantes de PDE, incluida la ecuación de Korteweg-de Vries . También hay híbridos como la ecuación de Euler-Tricomi , que varían de elípticos a hiperbólicos para diferentes regiones del dominio. También hay extensiones importantes de estos tipos básicos a PDE de orden superior, pero dicho conocimiento es más especializado.

La clasificación elíptica / parabólica / hiperbólica proporciona una guía para las condiciones iniciales y de contorno adecuadas y para la suavidad de las soluciones. Suponiendo que u _xy = u _yx , la PDE lineal general de segundo orden en dos variables independientes tiene la forma

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$

donde los coeficientes A , B , C ... pueden depender de x y y . Si A ² + B ² + C ² > 0 sobre una región del plano xy , la PDE es de segundo orden en esa región. Esta forma es análoga a la ecuación para una sección cónica:

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$

Más precisamente, reemplazando ∂ _x por X , e igualmente por otras variables (formalmente esto se hace mediante una transformada de Fourier ), convierte una PDE de coeficiente constante en un polinomio del mismo grado, con los términos del grado más alto (un polinomio homogéneo , aquí una forma cuadrática ) siendo la más significativa para la clasificación.

Así como se clasifican las secciones cónicas y las formas cuadráticas en parabólicas, hiperbólicas y elípticas basándose en el discriminante B ² - 4 AC , se puede hacer lo mismo para una PDE de segundo orden en un punto dado. Sin embargo, el discriminante en una PDE viene dado por B ² - AC debido a que la convención del término xy es 2 B en lugar de B ; formalmente, el discriminante (de la forma cuadrática asociada) es (2 B ) ² - 4 AC = 4 ( B ² - AC ), con el factor de 4 eliminado por simplicidad.

1. B ² - AC <0 ( ecuación diferencial parcial elíptica ): Las soluciones de las PDE elípticas son tan suaves como lo permitan los coeficientes, dentro del interior de la región donde se definen la ecuación y las soluciones. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación de Laplace son analíticas dentro del dominio donde están definidas, pero las soluciones pueden asumir valores de frontera que no son uniformes. El movimiento de un fluido a velocidades subsónicas se puede aproximar con PDE elípticas, y la ecuación de Euler-Tricomi es elíptica donde x <0 .
2. B ² - AC = 0 ( ecuación diferencial parcial parabólica ): Las ecuaciones que son parabólicas en cada punto se pueden transformar en una forma análoga a la ecuación de calor mediante un cambio de variables independientes. Las soluciones se suavizan a medida que aumenta la variable de tiempo transformada. La ecuación de Euler-Tricomi tiene tipo parabólico en la línea donde x = 0 .
3. B ² - AC > 0 ( ecuación diferencial parcial hiperbólica ): las ecuaciones hiperbólicas retienen cualquier discontinuidad de funciones o derivadas en los datos iniciales. Un ejemplo es la ecuación de onda . El movimiento de un fluido a velocidades supersónicas puede aproximarse con PDE hiperbólicas, y la ecuación de Euler-Tricomi es hiperbólica donde x > 0 .

Si hay n variables independientes x ₁ , x ₂ ,…, x _n , una ecuación diferencial parcial lineal general de segundo orden tiene la forma

${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad {\text{ plus lower-order terms}}=0.}$

La clasificación depende de la firma de los valores propios de la matriz de coeficientes a _{i , j} .

1. Elíptica: los valores propios son todos positivos o negativos.
2. Parabólico: los valores propios son todos positivos o negativos, excepto uno que es cero.
3. Hiperbólico: hay solo un autovalor negativo y todos los demás son positivos, o solo hay un autovalor positivo y todos los demás son negativos.
4. Ultrahiperbólico: hay más de un autovalor positivo y más de un autovalor negativo, y no hay autovalores cero. Existe solo una teoría limitada para las ecuaciones ultrahiperbólicas (Courant y Hilbert, 1962).

Sistemas de ecuaciones de primer orden y superficies características

La clasificación de ecuaciones diferenciales parciales puede extenderse a sistemas de ecuaciones de primer orden, donde la u desconocida es ahora un vector con m componentes, y las matrices de coeficientes A _ν son matrices de m por m para ν = 1, 2,…, n . La ecuación diferencial parcial toma la forma

${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$

donde las matrices de coeficientes A _ν y el vector B pueden depender de x y u . Si se da una hipersuperficie S en forma implícita

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$

donde φ tiene un gradiente distinto de cero, entonces S es una superficie característica para el operador L en un punto dado si la forma característica desaparece:

${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$

La interpretación geométrica de esta condición es la siguiente: si los datos para u se prescriben en la superficie S , entonces puede ser posible determinar la derivada normal de u en S a partir de la ecuación diferencial. Si los datos sobre S y la ecuación diferencial determinan la derivada normal de u sobre S , entonces S no es característico. Si los datos sobre S y la ecuación diferencial no determinan la derivada normal de u sobre S , entonces la superficie es característica, Y la ecuación diferencial restringe los datos en S : la ecuación diferencial es interna a S .

1. Un sistema de primer orden Lu = 0 es elíptica si no hay superficie es característico para L : los valores de u en S y la ecuación diferencial siempre determinar la derivada normal de u en S .
2. Un sistema de primer orden es hiperbólico en un punto si hay una superficie espacial S con normal ξ en ese punto. Esto significa que, dado cualquier vector no trivial η ortogonal a ξ , y un multiplicador escalar λ , la ecuación Q ( λξ + η ) = 0 tiene m raíces reales λ ₁ , λ ₂ ,…, λ _m . El sistema es estrictamente hiperbólicosi estas raíces son siempre distintas. La interpretación geométrica de esta condición es la siguiente: la forma característica Q ( ζ ) = 0 define un cono (el cono normal) con coordenadas homogéneas ζ. En el caso hiperbólico, este cono tiene m láminas, y el eje ζ = λξ corre dentro de estas láminas: no cruza ninguna de ellas. Pero cuando se desplaza desde el origen por η, este eje se cruza con todas las hojas. En el caso de la elíptica, el cono normal no tiene hojas reales.

Soluciones analíticas

Separación de variables

Artículo principal: Ecuación diferencial parcial separable

Las PDE lineales se pueden reducir a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante la importante técnica de separación de variables. Esta técnica se basa en una característica de las soluciones de ecuaciones diferenciales: si uno puede encontrar cualquier solución que resuelva la ecuación y satisfaga las condiciones de contorno, entonces es la solución (esto también se aplica a las EDO). Suponemos como un ansatz que la dependencia de una solución de los parámetros espacio y tiempo se puede escribir como un producto de términos que dependen cada uno de un solo parámetro, y luego vemos si esto se puede hacer para resolver el problema. ^[3]

En el método de separación de variables, uno reduce una PDE a una PDE en menos variables, que es una ecuación diferencial ordinaria si en una variable, estas son a su vez más fáciles de resolver.

Esto es posible para PDE simples, que se denominan ecuaciones diferenciales parciales separables , y el dominio es generalmente un rectángulo (un producto de intervalos). Los PDE separables corresponden a matrices diagonales ; si se piensa en "el valor de x fijo " como una coordenada, cada coordenada se puede entender por separado.

Esto se generaliza al método de características y también se usa en transformadas integrales .

Método de características

Artículo principal: Método de características

En casos especiales, se pueden encontrar curvas características en las que la ecuación se reduce a una EDO: el cambio de coordenadas en el dominio para enderezar estas curvas permite la separación de variables y se denomina método de características .

De manera más general, se pueden encontrar superficies características.

Transformación integral

Una transformada integral puede transformar la PDE en una más simple, en particular, una PDE separable. Esto corresponde a diagonalizar a un operador.

Un ejemplo importante de esto es el análisis de Fourier , que diagonaliza la ecuación de calor utilizando la base propia de ondas sinusoidales.

Si el dominio es finito o periódico, una suma infinita de soluciones como una serie de Fourier es apropiada, pero una integral de soluciones como una integral de Fourier generalmente se requiere para dominios infinitos. La solución para una fuente puntual para la ecuación de calor dada arriba es un ejemplo del uso de una integral de Fourier.

Cambio de variables

A menudo, un PDE se puede reducir a una forma más simple con una solución conocida mediante un cambio adecuado de variables . Por ejemplo, el PDE de Black-Scholes

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

es reducible a la ecuación del calor

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

por el cambio de variables (para obtener detalles completos, consulte Solución de la ecuación de Black Scholes en la Wayback Machine (archivado el 11 de abril de 2008))

${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=Kv(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left({\tfrac {S}{K}}\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$

Solución fundamental

Artículo principal: solución fundamental

Las ecuaciones no homogéneas ^{[ aclaración necesaria ] a} menudo se pueden resolver (para PDE de coeficiente constante, siempre se resuelven) encontrando la solución fundamental (la solución para una fuente puntual), luego tomando la convolución con las condiciones de contorno para obtener la solución.

Esto es análogo en el procesamiento de señales a entender un filtro por su respuesta de impulso .

Principio de superposición

Más información: principio de superposición

El principio de superposición se aplica a cualquier sistema lineal, incluidos los sistemas lineales de PDE. Una visualización común de este concepto es la interacción de dos ondas en fase que se combinan para dar como resultado una mayor amplitud, por ejemplo, sin x + sin x = 2 sin x . El mismo principio se puede observar en las PDE donde las soluciones pueden ser reales o complejas y aditivas. Si u ₁ y u ₂ son soluciones de PDE lineal en algún espacio funcional R , entonces u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ con cualquier constante c ₁y c ₂ también son una solución de esa PDE en el mismo espacio funcional.

Métodos para ecuaciones no lineales

Ver también: ecuación diferencial parcial no lineal

No existen métodos de aplicación general para resolver PDE no lineales. Aún así, los resultados de existencia y unicidad (como el teorema de Cauchy-Kowalevski ) son a menudo posibles, al igual que las pruebas de importantes propiedades cualitativas y cuantitativas de las soluciones (obtener estos resultados es una parte importante del análisis ). Existe una solución computacional para las PDE no lineales, el método de paso dividido , para ecuaciones específicas como la ecuación de Schrödinger no lineal .

Sin embargo, algunas técnicas se pueden utilizar para varios tipos de ecuaciones. El h -principio es el método más poderoso para resolver underdetermined ecuaciones. La teoría de Riquier-Janet es un método eficaz para obtener información sobre muchos sistemas analíticos sobredeterminados .

El método de características se puede utilizar en algunos casos muy especiales para resolver ecuaciones diferenciales parciales.

En algunos casos, una PDE se puede resolver mediante un análisis de perturbación en el que la solución se considera una corrección de una ecuación con una solución conocida. Las alternativas son técnicas de análisis numérico desde esquemas de diferencias finitas simples hasta métodos de elementos finitos y multirredes más maduros . Muchos problemas interesantes en ciencia e ingeniería se resuelven de esta manera utilizando computadoras , a veces supercomputadoras de alto rendimiento .

Método de grupo de mentiras

A partir de 1870, el trabajo de Sophus Lie puso la teoría de las ecuaciones diferenciales sobre una base más satisfactoria. Mostró que las teorías de la integración de los matemáticos mayores pueden, mediante la introducción de lo que ahora se llaman grupos de Lie , remitirse a una fuente común; y que las ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten las mismas transformaciones infinitesimales presentan dificultades de integración comparables. También enfatizó el tema de las transformaciones del contacto .

Un enfoque general para resolver PDE utiliza la propiedad de simetría de las ecuaciones diferenciales, las transformaciones infinitesimales continuas de soluciones a soluciones ( teoría de Lie ). La teoría de grupos continuos , las álgebras de Lie y la geometría diferencial se utilizan para comprender la estructura de ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales para generar ecuaciones integrables, encontrar sus pares Lax , operadores de recursión, transformada de Bäcklund y finalmente encontrar soluciones analíticas exactas para el PDE.

Los métodos de simetría han sido reconocidos para estudiar ecuaciones diferenciales que surgen en matemáticas, física, ingeniería y muchas otras disciplinas.

Métodos semianalíticos

El método de descomposición de Adomian , el método de pequeños parámetros artificiales de Lyapunov y su método de perturbación de homotopía son todos casos especiales del método de análisis de homotopía más general . Estos son métodos de expansión en serie y, a excepción del método de Lyapunov, son independientes de pequeños parámetros físicos en comparación con la conocida teoría de perturbaciones , lo que les da a estos métodos una mayor flexibilidad y generalidad de solución.

Soluciones numéricas

Los tres métodos numéricos más utilizados para resolver PDE son el método de elementos finitos (FEM), los métodos de volumen finito (FVM) y los métodos de diferencias finitas (FDM), así como otro tipo de métodos llamados métodos Meshfree , que fueron hechos para resolver problemas donde los métodos antes mencionados son limitados. El FEM tiene una posición destacada entre estos métodos y especialmente su excepcionalmente eficiente versión hp-FEM de orden superior . Otras versiones híbridas de los métodos FEM y Meshfree incluyen el método de elementos finitos generalizados (GFEM), el método de elementos finitos extendidos (XFEM), el método de elementos finitos espectrales (SFEM),meshfree método de elementos finitos , discontinua Galerkin método de elementos finitos (DGFEM), Element-Free Galerkin Método (EFGM), interpolando Element-Free Galerkin Método (IEFGM), etc.

Método de elementos finitos

Artículo principal: método de elementos finitos

El método de elementos finitos (FEM) (su aplicación práctica a menudo conocida como análisis de elementos finitos (FEA)) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) así como de ecuaciones integrales. El enfoque de la solución se basa en eliminar completamente la ecuación diferencial (problemas de estado estacionario) o en convertir la PDE en un sistema aproximado de ecuaciones diferenciales ordinarias, que luego se integran numéricamente utilizando técnicas estándar como el método de Euler, Runge-Kutta, etc.

Método de diferencias finitas

Artículo principal: método de diferencias finitas

Los métodos de diferencias finitas son métodos numéricos para aproximar las soluciones a ecuaciones diferenciales usando ecuaciones en diferencias finitas para aproximar derivadas.

Método de volumen finito

Artículo principal: método de volumen finito

De manera similar al método de diferencias finitas o al método de elementos finitos, los valores se calculan en lugares discretos en una geometría mallada. "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. En el método de volumen finito, las integrales de superficie en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de volumen, utilizando el teorema de la divergencia . Estos términos luego se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que ingresa a un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos conservan la masa por diseño.

El método de la energía

El método de la energía es un procedimiento matemático que se puede utilizar para verificar si los problemas de valores de frontera iniciales están bien planteados. ^[4] En el siguiente ejemplo, el método de la energía se utiliza para decidir dónde y qué condiciones de frontera deben imponerse de modo que el IBVP resultante esté bien posicionado. Considere la PDE hiperbólica unidimensional dada por

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,}$

donde es una constante y es una función desconocida con condición inicial . Multiplicar e integrar sobre el dominio da${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\operatorname {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.}$

Usando eso

${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},}$

donde la integración por partes se ha utilizado para la segunda relación, obtenemos

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.}$

Aquí denota la norma L2 estándar. Para lograr una buena postura, requerimos que la energía de la solución no sea creciente, es decir , la que se logra especificando en si y en si . Esto corresponde a la imposición de condiciones de frontera únicamente en la entrada. Tenga en cuenta que la buena posición permite el crecimiento en términos de datos (inicial y límite) y, por lo tanto, es suficiente mostrar que se mantiene cuando todos los datos se establecen en cero.${\displaystyle \|\cdot \|}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle x=b}$${\displaystyle \alpha <0}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$

Ver también

Algunas PDE comunes

• Ecuación de calor
• Ecuación de onda
• Ecuación de Laplace
• Ecuación de Helmholtz
• Ecuación de Klein-Gordon
• Ecuación de Poisson
• Ecuación de Navier-Stokes
• Ecuación de Burger

Tipos de condiciones de contorno

• Condición de frontera de Dirichlet
• Condición de frontera de Neumann
• Condición de frontera de Robin
• Problema de Cauchy

Varios temas

• Paquete Jet
• Transformada de Laplace aplicada a ecuaciones diferenciales
• Lista de temas de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales
• Ecuación diferencial matricial
• Ecuaciones diferenciales parciales numéricas
• Ecuación algebraica diferencial parcial
• Relación de recurrencia
• Procesos estocásticos y problemas de valores de frontera

Notas

1. Klainerman, Sergiu . PDE como sujeto unificado. GAFA 2000 (Tel Aviv, 1999). Geom. Funct. Anal. 2000, volumen especial, parte I, 279–315.
2. Klainerman, Sergiu (2008), "Ecuaciones diferenciales parciales", en Gowers, Timothy; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 455–483
3. Gershenfeld, Neil (2000). La naturaleza del modelado matemático (Reimpreso (con corrección) ed.). Cambridge: Universidad de Cambridge. Presionar. pag. 27 . ISBN 0521570956.
4. Gustafsson, Bertil (2008). Métodos de diferencia de orden alto para PDE dependiente del tiempo . Serie Springer en Matemática Computacional. 38 . Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-540-74993-6 . ISBN 978-3-540-74992-9.

Referencias

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• Gustafsson, Bertil (2008). Métodos de diferencia de orden alto para PDE dependiente del tiempo . Serie Springer en Matemática Computacional. 38 . Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-540-74993-6 . ISBN 978-3-540-74992-9.

Lectura adicional

• Cajori, Florian (1928). "La historia temprana de las ecuaciones diferenciales parciales y de la diferenciación e integración parciales" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 35 (9): 459–467. doi : 10.2307 / 2298771 . JSTOR  2298771 . Archivado desde el original (PDF) el 23 de noviembre de 2018 . Consultado el 15 de mayo de 2016 .
• Nirenberg, Louis (1994). "Ecuaciones diferenciales parciales en la primera mitad del siglo". Desarrollo de las matemáticas 1900–1950 (Luxemburgo, 1992), 479–515, Birkhäuser, Basilea.
• Brezis, H. y Browder, F. (1998). "Ecuaciones diferenciales parciales en el siglo XX". Advances in Mathematics, 135 (1), 76-144. doi: 10.1006 / aima.1997.1713

Enlaces externos

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• Libros de texto de Wikilibros

• "Ecuación diferencial, parcial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones diferenciales parciales: Soluciones exactas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones diferenciales parciales: Índice en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones diferenciales parciales: métodos en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Problemas de ejemplo con soluciones en exampleproblems.com
• Ecuaciones diferenciales parciales en mathworld.wolfram.com
• Ecuaciones diferenciales parciales con Mathematica
• Ecuaciones diferenciales parciales en Cleve Moler: Computación numérica con MATLAB
• Ecuaciones diferenciales parciales en nag.com
• Sanderson, Grant (21 de abril de 2019). "¿Pero qué es una ecuación diferencial parcial?" . 3Blue1Brown : a través de YouTube .