En matemáticas , específicamente en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de existencia de Peano , teorema de Peano o teorema de Cauchy-Peano , llamado así por Giuseppe Peano y Augustin-Louis Cauchy , es un teorema fundamental que garantiza la existencia de soluciones a ciertos problemas de valor inicial .
Historia
Peano publicó por primera vez el teorema en 1886 con una demostración incorrecta. [1] En 1890 publicó una nueva prueba correcta utilizando aproximaciones sucesivas. [2]
Teorema
Dejar ser un subconjunto abierto de R × R con
una función continua y
una ecuación diferencial continua , explícita de primer orden definida en D , luego cada problema de valor inicial
para f con tiene una solución local
dónde es un barrio de en , tal que para todos . [3]
La solución no tiene por qué ser única: un mismo valor inicial puede dar lugar a muchas soluciones diferentes .
Teoremas relacionados
El teorema de Peano se puede comparar con otro resultado de existencia en el mismo contexto, el teorema de Picard-Lindelöf . El teorema de Picard-Lindelöf asume más y concluye más. Requiere continuidad de Lipschitz , mientras que el teorema de Peano requiere sólo continuidad; pero prueba tanto la existencia como la unicidad donde el teorema de Peano prueba solo la existencia de soluciones. Para ilustrar, considere la ecuación diferencial ordinaria
- en el dominio
Según el teorema de Peano, esta ecuación tiene soluciones, pero el teorema de Picard-Lindelöf no se aplica ya que el lado derecho no es Lipschitz continuo en ninguna vecindad que contenga 0. Por lo tanto, podemos concluir la existencia pero no la unicidad. Resulta que esta ecuación diferencial ordinaria tiene dos tipos de soluciones cuando comienza en, ya sea o . La transición entre y puede suceder en cualquier .
El teorema de existencia de Carathéodory es una generalización del teorema de existencia de Peano con condiciones más débiles que la continuidad.
Notas
- ↑ Peano, G. (1886). "Sull'integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine" . Atti Accad. Sci. Torino . 21 : 437–445.
- ^ Peano, G. (1890). "Demostración de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires". Mathematische Annalen . 37 (2): 182–228. doi : 10.1007 / BF01200235 .
- ↑ ( Coddington y Levinson , 1955 , p. 6)
Referencias
- Osgood, WF (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy / dx = f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik . 9 : 331–345.
- Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill .
- Murray, Francis J .; Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales ordinarias (Reimpresión ed.). Nueva York: Krieger.
- Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.