En matemáticas, la superficie de Peano es la gráfica de la función de dos variables
Fue propuesto por Giuseppe Peano en 1899 como un contraejemplo de un criterio conjeturado para la existencia de máximos y mínimos de funciones de dos variables. [1] [2]
La superficie fue nombrada la superficie de Peano ( alemán : Peanosche Fläche ) por Georg Scheffers en su libro de 1920 Lehrbuch der darstellenden Geometrie . [1] [3] También se le ha llamado silla de montar Peano . [4] [5]
Propiedades
La función cuya gráfica es la superficie toma valores positivos entre las dos parábolas y y valores negativos en otros lugares (ver diagrama). En el origen , el punto tridimensionalen la superficie que corresponde al punto de intersección de las dos parábolas, la superficie tiene un punto silla . [6] La superficie en sí tiene una curvatura gaussiana positiva en algunas partes y una curvatura negativa en otras, separadas por otra parábola, [4] [5] lo que implica que su mapa de Gauss tiene una cúspide de Whitney . [5]
Aunque la superficie no tiene un máximo local en el origen, su intersección con cualquier plano vertical a través del origen (un plano con ecuación o ) es una curva que tiene un máximo local en el origen, [1] una propiedad descrita por Earle Raymond Hedrick como "paradójica". [7] En otras palabras, si un punto comienza en el origen del plano, y se aleja del origen a lo largo de cualquier línea recta, el valor de disminuirá al comienzo del movimiento. Sin embargo, no es un máximo local de la función, porque moverse a lo largo de una parábola como (en el diagrama: rojo) hará que el valor de la función aumente.
La superficie de Peano es una superficie cuártica .
Como contraejemplo
En 1886 Joseph Alfred Serret publicó un libro de texto [8] con un criterio propuesto para los puntos extremos de una superficie dado por
- "el máximo o el mínimo tiene lugar cuando para los valores de y para cual y (tercer y cuarto términos) desaparecen, (quinto término) tiene constantemente el signo -, o el signo + ".
Aquí, se supone que los términos lineales desaparecen y la serie de Taylor de tiene la forma dónde es una forma cuadrática como, es una forma cúbica con términos cúbicos en y , y es una forma cuartica con un polinomio cuartico homogéneo en y . Serret propone que si tiene signo constante para todos los puntos donde entonces hay un máximo o mínimo local de la superficie en .
En sus notas de 1884 para el libro de texto italiano de cálculo de Angelo Genocchi , Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale , Peano ya había proporcionado diferentes condiciones correctas para que una función alcanzara un mínimo local o un máximo local. [1] [9] En la traducción al alemán de 1899 del mismo libro de texto, proporcionó esta superficie como un contraejemplo de la condición de Serret. En el punto, Se cumplen las condiciones de Serret, pero este punto es un punto silla, no un máximo local. [1] [2] Una condición relacionada con la de Serret también fue criticada por Ludwig Scheeffer , quien usó la superficie de Peano como contraejemplo en una publicación de 1890, acreditada a Peano. [6] [10]
Modelos
Los modelos de la superficie de Peano se incluyen en la Colección de Modelos e Instrumentos Matemáticos de Göttingen en la Universidad de Göttingen , [11] y en la colección de modelos matemáticos de TU Dresden (en dos modelos diferentes). [12] El modelo de Göttingen fue el primer modelo nuevo agregado a la colección después de la Primera Guerra Mundial , y uno de los últimos agregados a la colección en general. [6]
Referencias
- ↑ a b c d e Emch, Arnold (1922). "Un modelo para la Peano Surface" . American Mathematical Monthly . 29 (10): 388–391. doi : 10.1080 / 00029890.1922.11986180 . JSTOR 2299024 . Señor 1520111 .
- ^ a b Genocchi, Angelo (1899). Peano, Giuseppe (ed.). Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung (en alemán). BG Teubner. pag. 332.
- ^ Scheffers, Georg (1920). "427. Die Peanosche Fläche" . Lehrbuch der darstellenden Geometrie (en alemán). II . págs. 261-263.
- ^ a b Krivoshapko, SN; Ivanov, VN (2015). "Superficies de silla de montar". Enciclopedia de superficies analíticas . Saltador. págs. 561–565. doi : 10.1007 / 978-3-319-11773-7_33 . Véase especialmente la sección "Peano Saddle", págs. 562–563.
- ^ a b c Francis, George K. (1987). Un libro de imágenes topológicas . Springer-Verlag, Nueva York. pag. 88. ISBN 0-387-96426-6. Señor 0880519 .
- ^ a b c Fischer, Gerd, ed. (2017). Modelos matemáticos: de las colecciones de universidades y museos - Volumen fotográfico y comentario (2ª ed.). doi : 10.1007 / 978-3-658-18865-8 . Ver en particular el Prólogo (p. Xiii) para la historia del modelo de Göttingen, Foto 122 "Penosche Fläsche / Peano Surface" (p. 119), y el Capítulo 7, Funciones, Jürgen Leiterer (RB Burckel, trad.), Sección 1.2, "The Peano Surface (Photo 122)", pp. 202-203, para una revisión de sus matemáticas.
- ^ Hedrick, ER (julio de 1907). "Un ejemplo peculiar en mínimos de superficies". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 8 (4): 172-174. doi : 10.2307 / 1967821 . JSTOR 1967821 .
- ^ Serret, JA (1886). Cours de calcul différentiel et intégral . 1 (3d ed.). París. pag. 216 - a través de Internet Archive.
- ^ Genocchi, Angelo (1884). "Massimi e minimi delle funzioni di più variabili" . En Peano, Giuseppe (ed.). Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale (en italiano). Fratelli Bocca. págs. 195-203.
- ^ Scheeffer, Ludwig (diciembre de 1890). "Theorie der Maxima und Minima einer Function von zwei Variabeln" . Mathematische Annalen (en alemán). 35 (4): 541–576. doi : 10.1007 / bf02122660 . Véanse en particular las págs. 545–546.
- ^ "Superficie de Peano" . Colección de modelos e instrumentos matemáticos de Göttingen . Universidad de Göttingen . Consultado el 13 de julio de 2020 .
- ^ Modelo 39, "Peanosche Fläche, geschichtet" y modelo 40, "Peanosche Fläche" , Mathematische Modelle, TU Dresden , consultado el 13 de julio de 2020
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Superficie de Peano" . MathWorld .