Número perfecto

En teoría de números , un número perfecto es un entero positivo que es igual a la suma de sus divisores positivos , excluyendo el número en sí. Por ejemplo, 6 tiene divisores 1, 2 y 3 (excluyéndose a sí mismo), y 1 + 2 + 3 = 6, por lo que 6 es un número perfecto.

Ilustración del estado del número perfecto del número 6

La suma de los divisores de un número, excluyendo el número en sí, se denomina suma alícuota , por lo que un número perfecto es aquel que es igual a su suma alícuota. De manera equivalente, un número perfecto es un número que es la mitad de la suma de todos sus divisores positivos, incluido él mismo; en símbolos, σ ₁ ( n ) = 2 n donde σ ₁ es la función de suma de divisores . Por ejemplo, 28 es perfecto como 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Esta definición es antigua, ya que apareció en Elementos de Euclides (VII.22) donde se llama τέλειος ἀριθμός (número perfecto , ideal o completo ). Euclides también demostró una regla de formación (IX.36) por la cual${\displaystyle q(q+1)/2}$ es un número perfecto siempre que ${\displaystyle q}$ es un primo de la forma ${\displaystyle 2^{p}-1}$ para prima ${\displaystyle p}$—Lo que ahora se llama un prima de Mersenne . Dos milenios después, Euler demostró que todos los números incluso perfectos tienen esta forma. ^[1] Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler .

No se sabe si hay números perfectos impares, ni si existen infinitos números perfectos. Los primeros números perfectos son 6 , 28 , 496 y 8128 (secuencia A000396 en la OEIS ).

Historia

Aproximadamente en el año 300 a. C., Euclides demostró que si 2 ^p  - 1 es primo, entonces 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1) es perfecto. Los primeros cuatro números perfectos eran los únicos conocidos por las primeras matemáticas griegas , y el matemático Nicomachus notó 8128 alrededor del año 100 d.C. ^[2] En el lenguaje moderno, Nicomachus afirma sin pruebas que todo número perfecto tiene la forma${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ dónde ${\displaystyle 2^{n}-1}$es primordial. ^{[3] [4]} Parece no darse cuenta de que n en sí tiene que ser primo. También dice (erróneamente) que los números perfectos terminan en 6 u 8 alternativamente. (Los primeros 5 números perfectos terminan con los dígitos 6, 8, 6, 8, 6; pero el sexto también termina en 6.) Filón de Alejandría en su libro del siglo I "Sobre la creación" menciona los números perfectos, afirmando que el mundo se creó en 6 días y la luna orbita en 28 días porque 6 y 28 son perfectos. A Filón le siguen Orígenes , ^[5] y Dídimo el Ciego , quien agrega la observación de que solo hay cuatro números perfectos que son menos de 10,000. (Comentario sobre Génesis 1. 14-19). ^[6] San Agustín define los números perfectos en Ciudad de Dios (Libro XI, Capítulo 30) a principios del siglo V d.C., repitiendo la afirmación de que Dios creó el mundo en 6 días porque 6 es el número perfecto más pequeño. El matemático egipcio Ismail ibn Fallus (1194-1252) mencionó los siguientes tres números perfectos (33.550.336; 8.589.869.056 y 137.438.691.328) y enumeró algunos más que ahora se sabe que son incorrectos. ^[7] La primera mención europea conocida del quinto número perfecto es un manuscrito escrito entre 1456 y 1461 por un matemático desconocido. ^[8] En 1588, el matemático italiano Pietro Cataldi identificó el sexto (8.589.869.056) y el séptimo (137.438.691.328) números perfectos, y también demostró que todo número perfecto obtenido de la regla de Euclides termina con un 6 o un 8. ^{[9] [10 ] [11]}

Incluso números perfectos

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay infinitos números perfectos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Euclides demostró que 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1) es un número perfecto par siempre que 2 ^p  - 1 es primo (Elementos, Prop. IX.36).

Por ejemplo, los primeros cuatro números perfectos se generan mediante la fórmula 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1), con p un número primo , de la siguiente manera:

para p = 2: 2 ¹ (2 ^2-1  ) = 2 × 3 = 6

para p = 3: 2 ² (2 ³  - 1) = 4 × 7 = 28

para p = 5: 2 ⁴ (2 ⁵  - 1) = 16 × 31 = 496

para p = 7: 2 ⁶ (2 ⁷  - 1) = 64 × 127 = 8128.

Los números primos de la forma 2 ^p  - 1 se conocen como números primos de Mersenne , en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne , que estudió teoría de números y números perfectos. Para que 2 ^p  - 1 sea primo, es necesario que p mismo sea primo. Sin embargo, no todos los números de la forma 2 ^p  - 1 con un primo p son primos; por ejemplo, 2 ¹¹  - 1 = 2047 = 23 × 89 no es un número primo. ^[12] De hecho, los números primos de Mersenne son muy raros: de los 2.610.944 números primos p hasta 43.112.609 , ^[13] 2 ^p  - 1 es primo solo para 47 de ellos.

Aunque Nicomaco había declarado (sin pruebas) que todos los números perfectos eran de la forma${\displaystyle 2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)}$ dónde ${\displaystyle 2^{n}-1}$es primo (aunque dijo esto de manera algo diferente), Ibn al-Haytham (Alhazen) alrededor del año 1000 d.C. solo conjeturó que todo número par perfecto tiene esa forma. ^[14] No fue hasta el siglo XVIII que Leonhard Euler demostró que la fórmula 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1) producirá todos los números perfectos pares. Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre los números perfectos pares y los números primos de Mersenne; cada prima de Mersenne genera un número perfecto par, y viceversa. Este resultado a menudo se conoce como el teorema de Euclides-Euler .

Una búsqueda exhaustiva realizada por el proyecto de computación distribuida GIMPS ha demostrado que los primeros 47 números perfectos pares son 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1) para

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 y 43112609 (secuencia A000043 en el OEIS ). ^[15]

También se han descubierto cuatro números perfectos más altos, a saber, aquellos para los que p = 57885161, 74207281, 77232917 y 82589933, aunque puede haber otros dentro de este rango. A diciembre de 2018^[actualizar], Se conocen 51 primos de Mersenne, ^[16] y por lo tanto 51 números perfectos pares (el mayor de los cuales es 2 ^82589932 × (2 ^82589933  - 1) con 49,724,095 dígitos). No se sabe si hay infinitos números perfectos, ni si hay infinitos números primos de Mersenne.

Además de tener la forma 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1), cada número par perfecto es el (2 ^p  - 1) ésimo número triangular (y por lo tanto igual a la suma de los enteros de 1 a 2 ^p  - 1 ) y el 2 ^{p −1} ésimo número hexagonal . Además, cada número perfecto par excepto el 6 es el ((2 ^p  + 1) / 3) ésimo número nogonal centrado y es igual a la suma de los primeros 2 ^{( p −1) / 2} cubos impares:

${\displaystyle {\begin{aligned}6=2^{1}\left(2^{2}-1\right)&=1+2+3,\\[8pt]28=2^{2}\left(2^{3}-1\right)&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496=2^{4}\left(2^{5}-1\right)&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128=2^{6}\left(2^{7}-1\right)&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336=2^{12}\left(2^{13}-1\right)&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}}$

Incluso los números perfectos (excepto 6) tienen la forma

${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {\left(2^{p}-2\right)\times \left(2^{p}+1\right)}{2}}=1+9\times T_{\left(2^{p}-2\right)/3}}$

con cada número triangular resultante T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (después de restar 1 del número perfecto y dividir el resultado entre 9) terminando en 3 o 5, la secuencia que comienza con T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903, T ₂₇₃₀ = 3727815, ... ^[17] Esto se puede reformular de la siguiente manera: sumando los dígitos de cualquier número perfecto par (excepto 6), luego sumando los dígitos del número resultante, y repetir este proceso hasta obtener un solo dígito (llamado raíz digital ), siempre produce el número 1. Por ejemplo, la raíz digital de 8128 es 1, porque 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, y 1 + 0 = 1. Esto funciona con todos los números perfectos 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1) con primos impares p y, de hecho, con todos los números de la forma 2 ^{m −1} (2 ^m  - 1) para impares entero (no necesariamente primo) m .

Debido a su forma, 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1), todo número perfecto par se representa en forma binaria como p unos seguidos de  p  - 1 ceros; por ejemplo,

6 ₁₀ = 2 ² + 2 ¹ = 110 ₂ ,

28 ₁₀ = 2 ⁴ + 2 ³ + 2 ² = 11100 ₂ ,

496 ₁₀ = 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ⁵ + 2 ⁴ = 111110000 ₂ , y

8128 ₁₀ = 2 ¹² + 2 ¹¹ + 2 ¹⁰ + 2 ⁹ + 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ = 1111111000000 ₂ .

Así, todo número perfecto par es un número pernicioso .

Todo número par perfecto es también un número práctico (cf. Conceptos relacionados ).

Números perfectos impares

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay números perfectos impares?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Se desconoce si existe algún número perfecto impar, aunque se han obtenido varios resultados. En 1496, Jacques Lefèvre afirmó que la regla de Euclides da todos los números perfectos, ^[18] lo que implica que no existe ningún número perfecto impar. Euler declaró: "Si ... hay números perfectos impares es una cuestión muy difícil". ^[19] Más recientemente, Carl Pomerance ha presentado un argumento heurístico que sugiere que de hecho no debería existir un número perfecto impar. ^[20] Todos los números perfectos son también números armónicos de Ore , y también se ha conjeturado que no hay números armónicos impares de Ore distintos del 1.

Cualquier número perfecto impar N debe cumplir las siguientes condiciones:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^[21]
• N no es divisible por 105. ^[22]
• N tiene la forma N ≡ 1 (mod 12) o N ≡ 117 (mod 468) o N ≡ 81 (mod 324). ^[23]
• N tiene la forma

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

dónde:

• q ,  p ₁ , ...,  p _k son primos distintos (Euler).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
• El factor primo más pequeño de N es menor que (2 k  + 8) / 3. ^[24]
• O q ^α  > 10 ⁶² , o p _j ^{2 e _j}  > 10 ⁶² para algunos j . ^[21]
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[25] [26]}
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq (21k-18)/8}$. ^{[27] [28]}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$. ^[29]

• El factor primo más grande de N es mayor que 10 ^{8 [30]} y menor que${\displaystyle (3N)^{1/3}.}$ ^[31]
• El segundo factor primo más grande es mayor que 10 ⁴ y es menor que${\displaystyle (2N)^{1/5}}$. ^{[32] [33]}
• El tercer factor primo más grande es superior a 100. ^[34]
• N tiene al menos 101 factores primos y al menos 10 factores primos distintos. ^{[21] [35]} Si 3 no es uno de los factores de N , entonces N tiene al menos 12 factores primos distintos. ^[36]

Además, se conocen varios resultados menores con respecto a los exponentes e ₁ , ...,  e _k en

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}}.}$

• No todos e _i  ≡ 1 ( mod 3). ^[37]
• No todos e _i  ≡ 2 ( mod 5). ^[38]
• Si todo e _i  ≡ 1 ( mod 3) o 2 ( mod 5), entonces el factor primo más pequeño de N debe estar entre 10 ⁸ y 10 ¹⁰⁰⁰ . ^[38]
• Más en general, si todo 2 e _i 1 tiene un factor primordial en un conjunto finito dado S , entonces el factor primo más pequeño de N debe ser menor que una constante efectivamente computable dependiendo sólo de S . ^[38]
• Si ( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) con t unos y u dos, entonces${\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$. ^[39]
• ( E ₁ , ...,  e _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^[40] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) . ^[41]
• Si e ₁ = ... = e _k = e , entonces
  • e no puede ser 3, ^[42] 5, 24, ^[43] 6, 8, 11, 14 o 18. ^[41]
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$ y ${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$. ^[44]

En 1888, Sylvester declaró: ^[45]

... una meditación prolongada sobre el tema me ha convencido de que la existencia de uno de esos [números perfectos impares] —su escape, por así decirlo, de la compleja red de condiciones que lo encierran por todos lados — sería un poco breve de un milagro.

Muchas de las propiedades probadas acerca de los números perfectos impares también se aplican a los números de Descartes , y Pace Nielsen ha sugerido que un estudio suficiente de esos números puede conducir a una prueba de que no existen números perfectos impares. ^[46]

Resultados menores

Todos los números incluso perfectos tienen una forma muy precisa; los números perfectos impares no existen o son raros. Hay una serie de resultados sobre números perfectos que, en realidad, son bastante fáciles de probar, pero no obstante, superficialmente impresionantes; algunos de ellos también se rigen por la fuerte ley de números pequeños de Richard Guy :

• El único número perfecto par de la forma x ³  + 1 es 28 ( Makowski 1962 ). ^[47]
• 28 es también el único número perfecto par que es una suma de dos cubos positivos de números enteros ( Gallardo 2010 ). ^[48]
• Los recíprocos de los divisores de un número perfecto N deben sumar 2 (para obtener esto, tome la definición de un número perfecto,${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$, y dividir ambos lados por n ):
  • Para 6, tenemos ${\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2}$;
  • Para 28, tenemos ${\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$etc.
• El número de divisores de un número perfecto (par o impar) debe ser par, porque N no puede ser un cuadrado perfecto. ^[49]
  • De estos dos resultados se deduce que todo número perfecto es el número armónico de un mineral .
• Los números pares perfectos no son números trapezoidales ; es decir, no se pueden representar como la diferencia de dos números triangulares positivos no consecutivos . Solo hay tres tipos de números no trapezoidales: números perfectos pares, potencias de dos y los números de la forma.${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$formado como el producto de un fermat prima ${\displaystyle 2^{n}+1}$con una potencia de dos de una manera similar a la construcción de números perfectos pares a partir de primos de Mersenne. ^[50]
• El número de números perfectos menores que n es menor que${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$, donde c > 0 es una constante. ^[51] De hecho, es${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$, usando notación pequeña-o . ^[52]
• Todo número perfecto par termina en 6 o 28, base diez; y, con la única excepción de 6, termina en 1, base 9. ^{[53] [54]} Por lo tanto, en particular, la raíz digital de todos los números perfectos pares distintos de 6 es 1.
• El único número perfecto sin cuadrados es 6. ^[55]

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números abundantes , primitivos abundantes , altamente abundantes , sobreabundantes , colosalmente abundantes , altamente compuestos , superiores altamente compuestos , extraños y perfectos por debajo de 100 en relación con los números deficientes y compuestos.

La suma de los divisores propios da varios otros tipos de números. Los números donde la suma es menor que el número en sí se denominan deficientes , y cuando es mayor que el número, abundantes . Estos términos, junto con perfecto en sí, provienen de la numerología griega . Un par de números que son la suma de los divisores propios del otro se denominan amistosos , y los ciclos de números más grandes se denominan sociables . Un número entero positivo tal que cada entero positivo más pequeño sea una suma de divisores distintos es un número práctico .

Por definición, un número perfecto es un punto fijo de la función divisor restringida s ( n ) = σ ( n ) - n , y la secuencia de alícuotas asociada con un número perfecto es una secuencia constante. Todos los números perfectos también son${\displaystyle {\mathcal {S}}}$-números perfectos o números de Granville .

Un número semiperfecto es un número natural que es igual a la suma de todos o algunos de sus divisores propios. Un número semiperfecto que es igual a la suma de todos sus divisores propios es un número perfecto. Los números más abundantes también son semiperfectos; los números abundantes que no son semiperfectos se denominan números extraños .

Ver también

• Número hiperperfecto
• Grupo Leinster
• Lista de números perfectos
• Multiplica el número perfecto
• Números superperfectos

Notas

1. Caldwell, Chris, "Una prueba de que todos los números incluso perfectos son una potencia de dos veces un primo de Mersenne" .
2. Dickson, LE (1919). Historia de la teoría de los números, vol. Yo . Washington: Institución Carnegie de Washington. pag. 4.
3. "Números perfectos" . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Consultado el 9 de mayo de 2018 .
4. En Introducción a la aritmética , capítulo 16, dice de los números perfectos: "Hay un método para producirlos, limpio e infalible, que ni pasa por ninguno de los números perfectos ni deja de diferenciar ninguno de los que no lo son, que se lleva a cabo de la siguiente manera. " Luego continúa explicando un procedimiento que equivale a encontrar un número triangular basado en un número primo de Mersenne.
5. Comentario al Evangelio de Juan 28.1.1-4, con más referencias en laedición de Sources Chrétiennes : vol. 385, 58–61.
6. http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05_philonic_arithmological_exegesis.pdf
7. Roshdi Rashed, El desarrollo de las matemáticas árabes: entre la aritmética y el álgebra (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), págs. 328–329.
8. Bayerische Staatsbibliothek , Clm 14908. Véase David Eugene Smith (1925). Historia de las Matemáticas: Volumen II . Nueva York: Dover. pag. 21. ISBN 0-486-20430-8.
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12. Todos los factores de 2 ^p  - 1 son congruentes con 1 mod 2 p . Por ejemplo, 2 ¹¹  - 1 = 2047 = 23 × 89, y tanto 23 como 89 producen un resto de 1 cuando se dividen por 11. Además, siempre que p es un primo de Sophie Germain , es decir, 2 p  + 1 también es primo. y 2 p  + 1 es congruente con 1 o 7 mod 8, entonces 2 p  + 1 será un factor de 2 ^p  - 1, que es el caso de p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEIS :  A002515 .
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Referencias

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• Kanold, H.-J. (1941). "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 183 : 98-109.
• Steuerwald, R. "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl". S.-B. Bayer. Akad. Wiss . 1937 : 69–72.

Otras lecturas

• Nankar, ML: "Historia de los números perfectos", Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Hagis, P. (1973). "Un límite inferior para el conjunto de números primos perfectos impares" . Matemáticas de la Computación . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307 / 2005530 . JSTOR  2005530 .
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• Riesel, H. Números primos y métodos informáticos para la factorización , Birkhauser, 1985.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs.  15 –98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .

enlaces externos

• "Número perfecto" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• David Moews: números perfectos, amistosos y sociables
• Números perfectos: historia y teoría
• Weisstein, Eric W. "Número perfecto" . MathWorld .
• Secuencia OEIS A000396 (números perfectos)
• OddPerfect.org Un proyecto de computación distribuida proyectada para buscar números perfectos impares.
• Gran búsqueda de Internet Mersenne Prime (GIMPS)
• Perfect Numbers , foro de matemáticas en Drexel.
• Grimes, James. "8128: Números perfectos" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 31 de mayo de 2013 . Consultado el 2 de abril de 2013 .