En matemáticas , una potencia perfecta es un número entero positivo que se puede descomponer en factores iguales, y cuya raíz se puede extraer exactamente, es decir, un número entero positivo que se puede expresar como una potencia entera de otro entero positivo. Más formalmente, n es una potencia perfecta si existen números naturales m > 1 y k > 1 tales que m k = n . En este caso, n puede llamarse una k- ésima potencia perfecta . Si k = 2 o k = 3, entonces nse llama cuadrado perfecto o cubo perfecto , respectivamente. A veces, 0 y 1 también se consideran potencias perfectas (0 k = 0 para cualquier k > 0, 1 k = 1 para cualquier k ).
Ejemplos y sumas
Una secuencia de poderes perfectos puede ser generado por iteración a través de los posibles valores de m y k . Las primeras potencias perfectas ascendentes en orden numérico (que muestran potencias duplicadas) son (secuencia A072103 en la OEIS ):
La suma de los recíprocos de los poderes perfectos (incluidos los duplicados como 3 4 y 9 2 , ambos iguales a 81) es 1:
que se puede probar de la siguiente manera:
Los primeros poderes perfectos sin duplicados son:
- (a veces 0 y 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256 , 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (secuencia A001597 en la OEIS )
La suma de los recíprocos de las potencias perfectas p sin duplicados es: [1]
donde μ ( k ) es la función de Möbius y ζ ( k ) es la función zeta de Riemann .
Según Euler , Goldbach demostró (en una carta ahora perdida) que la suma de1/p - 1sobre el conjunto de potencias perfectas p , excluyendo 1 y excluyendo duplicados, es 1:
Esto a veces se conoce como el teorema de Goldbach-Euler .
Detectando poderes perfectos
La detección de si un número natural n dado es una potencia perfecta puede lograrse de muchas formas diferentes, con distintos niveles de complejidad . Uno de los métodos más simples es considerar todos los valores posibles de k en cada uno de los divisores de n , hasta. Entonces, si los divisores de están entonces uno de los valores debe ser igual an si n es de hecho una potencia perfecta.
Este método se puede simplificar inmediatamente considerando en cambio solo los valores primos de k . Esto es porque sipara un compuesto donde p es primo, entonces esto simplemente se puede reescribir como. Debido a este resultado, el valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.
Si se conoce la factorización completa de n , digamos donde el son primos distintos, entonces n es una potencia perfecta si y solo si donde mcd denota el máximo común divisor . Como ejemplo, considere n = 2 96 · 3 60 · 7 24 . Dado que mcd (96, 60, 24) = 12, n es una 12ª potencia perfecta (y una sexta potencia perfecta, 4ª potencia, cubo y cuadrado, ya que 6, 4, 3 y 2 dividen 12).
Brechas entre poderes perfectos
En 2002, el matemático rumano Preda Mihăilescu demostró que el único par de poderes perfectos consecutivos es 2 3 = 8 y 3 2 = 9, demostrando así la conjetura de Catalán .
La conjetura de Pillai establece que para cualquier entero positivo k dado solo hay un número finito de pares de potencias perfectas cuya diferencia es k . Este es un problema sin resolver. [2]
Ver también
Referencias
- Daniel J. Bernstein (1998). "Detección de potencias perfectas en tiempo esencialmente lineal" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 67 (223): 1253–1283. doi : 10.1090 / S0025-5718-98-00952-1 .