En matemáticas , una secuencia periódica (a veces llamada ciclo ) es una secuencia para la cual los mismos términos se repiten una y otra vez:
- a 1 , a 2 , ..., a p , a 1 , a 2 , ..., a p , a 1 , a 2 , ..., a p , ...
El número p de términos repetidos se llama período ( período ).
Definición
Una secuencia periódica es una secuencia a 1 , a 2 , a 3 , ... satisfaciendo
- una norte + p = una norte
para todos los valores de n . Si una secuencia se considera una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales , entonces una secuencia periódica es simplemente un tipo especial de función periódica .
Ejemplos de
La secuencia de dígitos en la expansión decimal de 1/7 es periódica con el período 6:
De manera más general, la secuencia de dígitos en la expansión decimal de cualquier número racional es eventualmente periódica (ver más abajo).
La secuencia de potencias de −1 es periódica con el período dos:
De manera más general, la secuencia de potencias de cualquier raíz de unidad es periódica. Lo mismo es válido para las potencias de cualquier elemento de orden finito en un grupo .
Un punto periódico para una función f : X → X es un punto x cuya órbita
es una secuencia periódica. Aquí,significa la composición n veces mayor de f aplicada ax . Los puntos periódicos son importantes en la teoría de sistemas dinámicos . Toda función, desde un conjunto finito a sí misma, tiene un punto periódico; La detección de ciclos es el problema algorítmico de encontrar ese punto.
Secuencias periódicas 0, 1
Cualquier secuencia periódica se puede construir mediante la suma, resta, multiplicación y división de secuencias periódicas que constan de ceros y unos. Las secuencias periódicas de cero y uno se pueden expresar como sumas de funciones trigonométricas:
Generalizaciones
Una secuencia es eventualmente periódica si puede hacerse periódica eliminando un número finito de términos desde el principio. Por ejemplo, la secuencia de dígitos en la expansión decimal de 1/56 es eventualmente periódica:
- 1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...
Una secuencia es asintóticamente periódica si sus términos se acercan a los de una secuencia periódica. Es decir, la secuencia x 1 , x 2 , x 3 , ... es asintóticamente periódica si existe una secuencia periódica a 1 , a 2 , a 3 , ... para la cual
Por ejemplo, la secuencia
- 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...
es asintóticamente periódica, ya que sus términos se acercan a los de la secuencia periódica 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....