Función periódica

Función que repite sus valores a intervalos o períodos regulares

No confundir con mapeo periódico .

La "duración del período" vuelve a dirigir aquí. No debe confundirse con decimal periódico .

Redireccionamiento "aperiódico" y "no periódico" aquí. Para otros usos, consulte Aperiodic (desambiguación) .

Una función periódica es una función que repite sus valores a intervalos regulares, por ejemplo, las funciones trigonométricas , que se repiten a intervalos de 2π radianes . Las funciones periódicas se utilizan en toda la ciencia para describir oscilaciones , ondas y otros fenómenos que exhiben periodicidad . Cualquier función que no sea periódica se llama aperiódica .

Una ilustración de una función periódica con período ${\displaystyle P.}$

Definición

Se dice que una función f es periódica si, para alguna constante P distinta de cero , se da el caso de que

${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$

para todos los valores de x en el dominio. Una constante P distinta de cero para la cual este es el caso se llama período de la función. Si existe una constante P menos positiva ^[1] con esta propiedad, se denomina período fundamental (también período primitivo , período básico o período primo ). A menudo, "el" período de una función se utiliza para indicar su período fundamental. . Una función con período P se repetirá en intervalos de longitud P , y estos intervalos a veces también se denominan períodos de la función.

Geométricamente, una función periódica se puede definir como una función cuya gráfica exposiciones de traslación simetría , es decir, una función f es periódica con periodo P si el gráfico de f es invariante bajo traducción en el x -dirección por una distancia de P . Esta definición de periodicidad puede extenderse a otras formas y patrones geométricos, así como generalizarse a dimensiones superiores, como las teselaciones periódicas del plano. Una secuencia también se puede ver como una función definida en los números naturales y para una secuencia periódica estas nociones se definen en consecuencia.

Ejemplos

Un gráfico de la función seno, que muestra dos períodos completos.

Ejemplos de números reales

La función seno es periódica con período , ya que${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}$

para todos los valores de . Esta función se repite en intervalos de longitud (consulte el gráfico de la derecha).${\displaystyle x}$${\displaystyle 2\pi }$

Se ven ejemplos cotidianos cuando la variable es el tiempo ; por ejemplo, las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. El movimiento periódico es un movimiento en el que la (s) posición (es) del sistema se pueden expresar como funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función en los números reales o en los enteros , eso significa que el gráfico completo se puede formar a partir de copias de una parte en particular, repetidas a intervalos regulares.

Un ejemplo simple de una función periódica es la función que da la " parte fraccionaria " de su argumento. Su período es 1. En particular,${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5}$

La gráfica de la función es la onda de diente de sierra .${\displaystyle f}$

Una trama de y ; ambas funciones son periódicas con período 2π.${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$${\displaystyle g(x)=\cos(x)}$

Las funciones trigonométricas seno y coseno son funciones periódicas comunes, con período 2π (vea la figura de la derecha). El tema de las series de Fourier investiga la idea de que una función periódica "arbitraria" es una suma de funciones trigonométricas con períodos coincidentes.

De acuerdo con la definición anterior, algunas funciones exóticas, por ejemplo, la función de Dirichlet , también son periódicas; en el caso de la función de Dirichlet, cualquier número racional distinto de cero es un período.

Ejemplos de números complejos

Usando variables complejas tenemos la función de período común:

${\displaystyle e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.}$

Dado que las funciones coseno y seno son periódicas con período 2π, el exponencial complejo está formado por ondas coseno y seno. Esto significa que la fórmula de Euler (arriba) tiene la propiedad de que si L es el período de la función, entonces

${\displaystyle L={\frac {2\pi }{k}}.}$

Las funciones complejas pueden ser periódicas a lo largo de una línea o eje en el plano complejo, pero no en otro. Por ejemplo, es periódico a lo largo del eje imaginario pero no del eje real.${\displaystyle e^{z}}$

Funciones periódicas dobles

Una función cuyo dominio son los números complejos puede tener dos períodos inconmensurables sin ser constante. Las funciones elípticas son tales funciones. ("Incommensurable" en este contexto significa que no son múltiplos reales entre sí).

Propiedades

Las funciones periódicas pueden tomar valores muchas veces. Más específicamente, si una función es periódica con período , entonces para todos en el dominio de y todos los enteros positivos ,${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x+nP)=f(x)}$

Si es una función con período , entonces , donde es un número real distinto de cero, tal que está dentro del dominio de , es periódico con período . Por ejemplo, tiene un período, por lo tanto, tendrá un período .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f(ax)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ax}$${\displaystyle f}$${\textstyle {\frac {P}{|a|}}}$${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \sin(5x)}$${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$

Algunas funciones periódicas pueden describirse mediante series de Fourier . Por ejemplo, para L 2 funciones , el teorema de Carleson estados que tienen un punto a punto ( Lebesgue ) en casi todas partes convergentes series de Fourier . La serie de Fourier solo se puede utilizar para funciones periódicas o para funciones en un intervalo acotado (compacto). Si es una función periódica con período que se puede describir mediante una serie de Fourier, los coeficientes de la serie se pueden describir mediante una integral sobre un intervalo de longitud .${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Cualquier función que consta solo de funciones periódicas con el mismo período también es periódica (con período igual o menor). dicha declaración incluye:

• Suma, resta, multiplicación y división de funciones periódicas.
• Sacar una potencia o una raíz de una función periódica (siempre que se defina para todo x)

Generalizaciones

Funciones antiperiódicas

Un subconjunto común de funciones periódicas es el de funciones antiperiódicas . Esta es una función f tal que f ( x  +  P ) = - f ( x ) para todo x . (Por lo tanto, un P función -antiperiodic es un 2 P función -periodic.) Por ejemplo, las funciones seno y coseno son π-antiperiodic y 2π-periódica. Mientras que una función P -antiperiódica es una función 2 P -periódica, lo contrario no es necesariamente cierto.

Funciones periódicas de Bloch

Aparece una generalización adicional en el contexto de los teoremas de Bloch y la teoría de Floquet , que gobiernan la solución de varias ecuaciones diferenciales periódicas. En este contexto, la solución (en una dimensión) suele ser una función de la forma:

${\displaystyle f(x+P)=e^{ikP}f(x)}$

donde k es un número real o complejo (el vector de onda de Bloch o el exponente de Floquet ). Las funciones de esta forma a veces se denominan periódicas de Bloch en este contexto. Una función periódica es el caso especial k  = 0, y una función de antiperiodic es el caso especial k  = π / P .

Espacios de cociente como dominio

En el procesamiento de señales se encuentra el problema de que las series de Fourier representan funciones periódicas y que las series de Fourier satisfacen los teoremas de convolución (es decir, la convolución de las series de Fourier corresponde a la multiplicación de la función periódica representada y viceversa), pero las funciones periódicas no se pueden convolucionar con la definición habitual, ya que las integrales involucradas divergen. Una posible salida es definir una función periódica en un dominio limitado pero periódico. Para ello, puede utilizar la noción de espacio de cociente :

${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}}$.

Es decir, cada elemento de es una clase de equivalencia de números reales que comparten la misma parte fraccionaria . Por lo tanto, una función como es una representación de una función periódica 1.${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }}$${\displaystyle f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R} }$

Periodo de cálculo

Considere una forma de onda real que consta de frecuencias superpuestas, expresadas en un conjunto como relaciones a una frecuencia fundamental, f: F = 1 ⁄ f  [f ₁ f ₂ f ₃ … f _N ] donde todos los elementos distintos de cero ≥1 y al menos uno de los elementos del conjunto es 1. Para encontrar el período, T, primero encuentre el mínimo común denominador de todos los elementos del conjunto. El período se puede encontrar como T = LCD ⁄ f . Considere que para una sinusoide simple, T = 1 ⁄ f . Por lo tanto, el LCD puede verse como un multiplicador de periodicidad.

• Para el conjunto que representa todas las notas de la escala mayor occidental: [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] el LCD es 24, por lo tanto, T = 24 ⁄ f .
• Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada mayor: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] el LCD es 4, por lo tanto, T = 4 ⁄ f .
• Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada menor: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] el LCD es 10, por lo tanto, T = 10 ⁄ f .

Si no existe un mínimo común denominador, por ejemplo, si uno de los elementos anteriores fuera irracional, entonces la onda no sería periódica. ^[2]

Ver también

• Ola continua
• Lista de funciones periódicas
• Secuencia periódica
• Función casi periódica
• Amplitud
• Tono definido
• Función doblemente periódica
• Frecuencia
• Oscilación
• Función cuasiperiódica
• Longitud de onda
• Suma periódica
• Estacionalidad
• Variación secular

Referencias

1. Para algunas funciones, como una función constante o la función de Dirichlet (la función indicadora de los números racionales ), es posible que no exista un período menos positivo (el mínimo de todos los períodos positivos P es cero).
2. https://www.ece.rice.edu/~srs1/files/Lec6.pdf

• Ekeland, Ivar (1990). "Uno". Métodos de convexidad en la mecánica hamiltoniana . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)]. 19 . Berlín: Springer-Verlag. págs. x + 247. ISBN 3-540-50613-6. Señor  1051888 .

Enlaces externos

• "Función periódica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones periódicas en MathWorld