Suma periódica

Suma de los valores de una función cada _P_ compensaciones

En el procesamiento de señales , cualquier función periódica , con un período P , puede ser representada por una suma de un número infinito de instancias de una función aperiódica, , que se compensan por múltiplos enteros de P . Esta representación se llama suma periódica:${\displaystyle s_{P}(t)}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t-nP).}$

Una transformada de Fourier y 3 variaciones causadas por muestreo periódico (en el intervalo T) y / o suma periódica (en el intervalo P) de la función subyacente en el dominio del tiempo.

Cuando     está representado alternativamente como un complejo de series de Fourier , los coeficientes de Fourier son proporcionales a los valores (o "muestras") de la continua transformación de Fourier ,   a intervalos de 1 / P . ^{[1] [2]}   Esa identidad es una forma de la fórmula de suma de Poisson . De manera similar, una serie de Fourier cuyos coeficientes son muestras de     a intervalos constantes ( T ) es equivalente a una suma periódica de la     que se conoce como transformada de Fourier de tiempo discreto .${\displaystyle s_{P}(t)}$${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ {\mathcal {F}}\{s(t)\},}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f),}$

La suma periódica de una función delta de Dirac es el peine de Dirac . Asimismo, la suma periódica de una función integrable es su convolución con el peine de Dirac.

Espacio de cociente como dominio

Si una función periódica se representa utilizando el dominio del espacio del cociente, entonces se puede escribir${\displaystyle \mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}s(\tau )}$

en lugar de. Los argumentos de son clases de equivalencia de números reales que comparten la misma parte fraccionaria cuando se dividen por .${\displaystyle \varphi _{P}}$${\displaystyle P}$

Citas

1. Pinsky, Mark (2001). Introducción al análisis de Fourier y wavelets . Brooks / Cole. ISBN 978-0534376604.
2. Zygmund, Antoni (1988). Serie trigonométrica (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521358859.

Ver también

• Peine de Dirac
• Convolución circular
• Transformada de Fourier de tiempo discreto