En matemáticas , dado un vector en un punto de una curva , ese vector se puede descomponer únicamente como una suma de dos vectores, uno tangente a la curva, llamado componente tangencial del vector, y otro perpendicular a la curva, llamado componente normal del vector. De manera similar, un vector en un punto de una superficie se puede descomponer de la misma manera.
Más en general, dada una subvariedad N de un colector de M , y un vector en el espacio tangente a M en un punto de N , que se puede descomponer en la tangente componente a N y la componente normal a N .
Definicion formal
Superficie
Más formalmente, dejemos ser una superficie, y ser un punto en la superficie. Dejar ser un vector en Entonces uno puede escribir de forma única como una suma
donde el primer vector de la suma es el componente tangencial y el segundo es el componente normal. De ello se deduce inmediatamente que estos dos vectores son perpendiculares entre sí.
Para calcular las componentes tangencial y normal, considere una unidad normal a la superficie, es decir, un vector unitario perpendicular a a Luego,
y por lo tanto
dónde ""denota el producto escalar . Otra fórmula para el componente tangencial es
dónde ""denota el producto cruzado .
Tenga en cuenta que estas fórmulas no dependen de la unidad normal en particular. utilizado (existen dos unidades normales a cualquier superficie en un punto dado, apuntando en direcciones opuestas, por lo que una de las unidades normales es el negativo de la otra).
Sub-colector
De manera más general, dada una subvariedad N de una variedad M y un punto, obtenemos una breve secuencia exacta que involucra los espacios tangentes :
El Quotianifold , la secuencia anterior se divide y el espacio tangente de M en p se descompone como una suma directa del componente tangente a N y el componente normal a N :
Así, cada vector tangente se divide como , dónde y .
Computaciones
Suponga que N viene dado por ecuaciones no degeneradas.
Si N se da explícitamente, a través de ecuaciones paramétricas (como una curva paramétrica ), entonces la derivada da un conjunto de expansión para el paquete tangente (es una base si y solo si la parametrización es una inmersión ).
Si N se da implícitamente (como en la descripción anterior de una superficie, o más generalmente como una hipersuperficie ) como un conjunto de nivel o intersección de superficies de nivel para, luego los gradientes de abarcan el espacio normal.
En ambos casos, podemos calcular nuevamente usando el producto escalar; Sin embargo, el producto cruzado es especial para 3 dimensiones.
Aplicaciones
- Multiplicadores de Lagrange : los puntos críticos restringidos son donde el componente tangencial de la derivada total desaparece.
- Superficie normal
Referencias
- Rojansky, Vladimir (1979). Campos y ondas electromagnéticos . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-63834-0.
- Benjamin Crowell (2003) Luz y materia. ( versión en línea ).