En mecánica cuántica , la teoría de la perturbación es un conjunto de esquemas de aproximación directamente relacionados con la perturbación matemática para describir un sistema cuántico complicado en términos de uno más simple. La idea es comenzar con un sistema simple para el que se conoce una solución matemática, y agregar un hamiltoniano "perturbador" adicional que represente una perturbación débil en el sistema. Si la perturbación no es demasiado grande, las diversas cantidades físicas asociadas con el sistema perturbado (por ejemplo, sus niveles de energía y estados propios) se puede expresar como "correcciones" a las del sistema simple. Estas correcciones, al ser pequeñas en comparación con el tamaño de las cantidades mismas, se pueden calcular utilizando métodos aproximados como las series asintóticas . Por lo tanto, el sistema complicado puede estudiarse basándose en el conocimiento del sistema más simple. En efecto, está describiendo un sistema complicado sin resolver utilizando un sistema simple con solución.
Hamiltonianos aproximados
La teoría de la perturbación es una herramienta importante para describir sistemas cuánticos reales, ya que resulta muy difícil encontrar soluciones exactas a la ecuación de Schrödinger para hamiltonianos de complejidad incluso moderada. Los hamiltonianos de los que conocemos soluciones exactas, como el átomo de hidrógeno , el oscilador armónico cuántico y la partícula en una caja , están demasiado idealizados para describir adecuadamente la mayoría de los sistemas. Usando la teoría de la perturbación, podemos usar las soluciones conocidas de estos hamiltonianos simples para generar soluciones para una variedad de sistemas más complicados.
Aplicar la teoría de la perturbación
La teoría de la perturbación es aplicable si el problema en cuestión no puede resolverse exactamente, pero puede formularse agregando un término "pequeño" a la descripción matemática del problema que se puede resolver exactamente.
Por ejemplo, al agregar un potencial eléctrico perturbativo al modelo mecánico cuántico del átomo de hidrógeno, se pueden calcular pequeños cambios en las líneas espectrales del hidrógeno causadas por la presencia de un campo eléctrico (el efecto Stark ). Esto es solo aproximado porque la suma de un potencial de Coulomb con un potencial lineal es inestable (no tiene estados límite verdaderos) aunque el tiempo de tunelización ( tasa de caída ) es muy largo. Esta inestabilidad se muestra como una ampliación de las líneas del espectro de energía, que la teoría de la perturbación no logra reproducir por completo.
Las expresiones producidas por la teoría de la perturbación no son exactas, pero pueden conducir a resultados precisos siempre que el parámetro de expansión, digamos α , sea muy pequeño. Normalmente, los resultados se expresan en términos de series de potencia finitas en α que parecen converger a los valores exactos cuando se suman a un orden superior. Sin embargo, después de un cierto orden n ~ 1 / α , los resultados empeoran cada vez más, ya que las series suelen ser divergentes (siendo series asintóticas ). Existen formas de convertirlos en series convergentes, que pueden evaluarse para parámetros de gran expansión, de manera más eficiente mediante el método variacional . Incluso las perturbaciones convergentes pueden converger a la respuesta incorrecta y las expansiones de perturbaciones divergentes a veces pueden dar buenos resultados en un orden inferior [1]
En la teoría de la electrodinámica cuántica (QED), en la que la interacción electrón - fotón se trata de forma perturbativa, se ha descubierto que el cálculo del momento magnético del electrón coincide con el experimento con once decimales. [2] En QED y otras teorías cuánticas de campos , se utilizan técnicas de cálculo especiales conocidas como diagramas de Feynman para sumar sistemáticamente los términos de la serie de potencias.
Limitaciones
Grandes perturbaciones
En algunas circunstancias, la teoría de la perturbación es un enfoque inválido. Esto sucede cuando el sistema que deseamos describir no puede ser descrito por una pequeña perturbación impuesta a algún sistema simple. En cromodinámica cuántica , por ejemplo, la interacción de los quarks con el campo de gluones no se puede tratar de forma perturbativa a bajas energías porque la constante de acoplamiento (el parámetro de expansión) se vuelve demasiado grande. [ aclaración necesaria ]
Estados no adiabáticos
La teoría de la perturbación tampoco describe estados que no se generan adiabáticamente a partir del "modelo libre", incluidos los estados ligados y diversos fenómenos colectivos como los solitones . [ cita requerida ] Imagine, por ejemplo, que tenemos un sistema de partículas libres (es decir, que no interactúan), en las que se introduce una interacción atractiva. Dependiendo de la forma de interacción, esto puede crear un conjunto completamente nuevo de autoestados correspondientes a grupos de partículas unidas entre sí. Un ejemplo de este fenómeno se puede encontrar en la superconductividad convencional , en la que la atracción mediada por fonones entre electrones de conducción conduce a la formación de pares de electrones correlacionados conocidos como pares de Cooper . Cuando se enfrenta a tales sistemas, generalmente se recurre a otros esquemas de aproximación, como el método variacional y la aproximación WKB . Esto se debe a que no hay un análogo de una partícula unida en el modelo no perturbado y la energía de un solitón suele ser la inversa del parámetro de expansión. Sin embargo, si "integramos" los fenómenos solitónicos, las correcciones no perturbativas en este caso serán minúsculas; del orden de exp (-1 / g ) o exp (-1 / g 2 ) en el parámetro de perturbación g . La teoría de la perturbación solo puede detectar soluciones "cercanas" a la solución no perturbada, incluso si hay otras soluciones para las que la expansión perturbadora no es válida. [ cita requerida ]
Cálculos difíciles
El problema de los sistemas no perturbadores se ha aliviado un poco con la llegada de las computadoras modernas . Se ha vuelto práctico obtener soluciones numéricas no perturbativas para ciertos problemas, utilizando métodos como la teoría funcional de la densidad . Estos avances han sido especialmente beneficiosos para el campo de la química cuántica . [3] También se han utilizado computadoras para realizar cálculos de teoría de perturbaciones con niveles de precisión extraordinariamente altos, lo que ha demostrado ser importante en la física de partículas para generar resultados teóricos que pueden compararse con los experimentos.
Teoría de la perturbación independiente del tiempo
La teoría de la perturbación independiente del tiempo es una de las dos categorías de la teoría de la perturbación, siendo la otra la perturbación dependiente del tiempo (ver la siguiente sección). En la teoría de la perturbación independiente del tiempo, la perturbación hamiltoniana es estática (es decir, no posee dependencia del tiempo). La teoría de la perturbación independiente del tiempo fue presentada por Erwin Schrödinger en un artículo de 1926, [4] poco después de que presentara sus teorías sobre la mecánica ondulatoria. En este artículo, Schrödinger se refirió al trabajo anterior de Lord Rayleigh , [5] quien investigó las vibraciones armónicas de una cuerda perturbada por pequeñas inhomogeneidades. Esta es la razón por la que esta teoría de la perturbación a menudo se denomina teoría de la perturbación de Rayleigh-Schrödinger . [6]
Correcciones de primer orden
El proceso comienza con un H 0 hamiltoniano no perturbado , que se supone que no tiene dependencia del tiempo. [7] Tiene niveles de energía conocidos y estados propios , que surgen de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo :
Por simplicidad, se supone que las energías son discretas. Los superíndices (0) denotan que estas cantidades están asociadas con el sistema no perturbado. Tenga en cuenta el uso de la notación bra-ket .
Luego se introduce una perturbación al hamiltoniano. Sea V un hamiltoniano que representa una perturbación física débil, como una energía potencial producida por un campo externo. (Por lo tanto, V es formalmente un operador hermitiano ). Sea λ un parámetro adimensional que puede tomar valores que varían continuamente de 0 (sin perturbación) a 1 (la perturbación completa). El hamiltoniano perturbado es:
Los niveles de energía y los estados propios del hamiltoniano perturbado están nuevamente dados por la ecuación de Schrödinger,
El objetivo es expresar E n yen términos de los niveles de energía y autoestados del viejo hamiltoniano. Si la perturbación es lo suficientemente débil, se pueden escribir como una serie de potencias (Maclaurin) en λ ,
dónde
Cuando k = 0 , estos se reducen a los valores no perturbados, que son el primer término de cada serie. Dado que la perturbación es débil, los niveles de energía y los estados propios no deben desviarse demasiado de sus valores no perturbados, y los términos deben reducirse rápidamente a medida que aumenta el orden.
La sustitución de la expansión de la serie de potencias en la ecuación de Schrödinger produce:
Expandir esta ecuación y comparar los coeficientes de cada potencia de λ da como resultado una serie infinita de ecuaciones simultáneas . La ecuación de orden cero es simplemente la ecuación de Schrödinger para el sistema no perturbado.
La ecuación de primer orden es
Operando a través de , el primer término del lado izquierdo cancela el primer término del lado derecho. (Recuerde, el hamiltoniano imperturbable es hermitiano ). Esto conduce al cambio de energía de primer orden,
Este es simplemente el valor esperado de la perturbación hamiltoniana mientras el sistema está en el estado no perturbado.
Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: suponiendo que se aplica la perturbación, pero el sistema se mantiene en estado cuántico , que es un estado cuántico válido aunque ya no es un estado propio de energía. La perturbación hace que la energía promedio de este estado aumente en. Sin embargo, el verdadero cambio de energía es ligeramente diferente, porque el estado propio perturbado no es exactamente el mismo que. Estos cambios adicionales vienen dados por las correcciones de la energía de segundo y más alto orden.
Antes de que se calculen las correcciones del estado propio de energía, se debe abordar la cuestión de la normalización. Suponiendo eso
pero la teoría de la perturbación también asume que .
Entonces, en el primer orden en λ , lo siguiente debe ser cierto:
Dado que la fase general no está determinada en la mecánica cuántica, sin pérdida de generalidad , en la teoría independiente del tiempo se puede suponer quees puramente real. Por lo tanto,
llevando a
Para obtener la corrección de primer orden al estado propio de energía, la expresión para la corrección de energía de primer orden se inserta nuevamente en el resultado que se muestra arriba, igualando los coeficientes de primer orden de λ . Luego, usando la resolución de la identidad :
donde el están en el complemento ortogonal de.
Por tanto, la ecuación de primer orden puede expresarse como
Suponiendo que el nivel de energía de orden cero no está degenerado , es decir, que no hay un estado propio de H 0 en el complemento ortogonal de con la energia . Después de cambiar el nombre del índice ficticio de suma anterior como, alguna se puede elegir y multiplicar por donación
Lo anterior también nos da el componente de la corrección de primer orden a lo largo de .
Por lo tanto, en total, el resultado es,
El cambio de primer orden en el n -ésimo grupo de energía tiene una contribución de cada uno de los estados propios de energía k ≠ n . Cada término es proporcional al elemento de la matriz, que es una medida de cuánto mezcla la perturbación autoestado n con autoestado k ; también es inversamente proporcional a la diferencia de energía entre estados propios k y n , lo que significa que la perturbación deforma el eigenstate en mayor medida si hay más estados propios a energías cercanas. La expresión es singular si alguno de estos estados tiene la misma energía que el estado n , por lo que se asumió que no hay degeneración. La fórmula anterior para los estados propios perturbados también implica que la teoría de la perturbación puede usarse legítimamente solo cuando la magnitud absoluta de los elementos de la matriz de la perturbación es pequeña en comparación con las diferencias correspondientes en los niveles de energía no perturbados, es decir,
Correcciones de segundo orden y de orden superior
Podemos encontrar las desviaciones de orden superior mediante un procedimiento similar, aunque los cálculos se vuelven bastante tediosos con nuestra formulación actual. Nuestra prescripción de normalización da que
Hasta el segundo orden, las expresiones para las energías y los estados propios (normalizados) son:
Si se toma una normalización intermedia (es decir, si requerimos que ), obtenemos la misma expresión para la corrección de segundo orden de la función de onda, pero el último término.
Al extender el proceso aún más, se puede demostrar que la corrección de energía de tercer orden es [8]
Si introducimos la notación,
- ,
- ,
entonces se pueden escribir las correcciones de energía al quinto orden
y los estados de cuarto orden se pueden escribir
Todos los términos involucrados k j deben sumarse sobre k j de manera que el denominador no desaparezca.
Es posible relacionar la corrección de k -ésimo orden con la energía E n con la función de correlación conectada al k- punto de la perturbación V en el estado. Para, hay que considerar la transformada inversa de Laplace del correlador de dos puntos:
dónde es el operador perturbador V en la imagen de interacción, que evoluciona en tiempo euclidiano. Luego
Existen fórmulas similares para todos los órdenes en la teoría de la perturbación, lo que permite expresar en términos de la transformada inversa de Laplace de la función de correlación conectada
Para ser precisos, si escribimos
entonces el cambio de energía de k -ésimo orden viene dado por [9]
Efectos de la degeneración
Supongamos que dos o más estados propios de energía del hamiltoniano imperturbable están degenerados . El cambio de energía de primer orden no está bien definido, ya que no existe una forma única de elegir una base de estados propios para el sistema no perturbado. Los diversos estados propios de una energía dada se perturbarán con diferentes energías, o bien pueden no poseer una familia continua de perturbaciones en absoluto.
Esto se manifiesta en el cálculo del estado propio perturbado a través del hecho de que el operador
no tiene una inversa bien definida.
Sea D el subespacio atravesado por estos autoestados degenerados. No importa cuán pequeña sea la perturbación, en el subespacio degenerado D las diferencias de energía entre los estados propios de H son distintas de cero, por lo que se asegura la mezcla completa de al menos algunos de estos estados. Típicamente, los valores propios se dividirán, y los eigenspaces se convertirán en simples (unidimensional), o al menos de la dimensión más pequeña que D .
Las perturbaciones exitosas no serán "pequeñas" en relación con una base de D mal elegida . En su lugar, tenemos en cuenta la perturbación "pequeña" si el nuevo estado propio está cerca del subespacio D . El nuevo hamiltoniano debe estar diagonalizado en D , o una ligera variación de D , por así decirlo. Estos autoestados perturbados en D son ahora la base de la expansión de la perturbación,
Para la perturbación de primer orden, necesitamos resolver el hamiltoniano perturbado restringido al subespacio degenerado D ,
simultáneamente para todos los autoestados degenerados, donde son correcciones de primer orden a los niveles de energía degenerados, y "pequeño" es un vector de ortogonal a D . Esto equivale a diagonalizar la matriz
Este procedimiento es aproximado, ya que descuidamos los estados fuera del subespacio D ("pequeño"). La división de energías degeneradas.se observa generalmente. Aunque la división puede ser pequeña,, en comparación con el rango de energías que se encuentran en el sistema, es crucial para comprender ciertos detalles, como las líneas espectrales en los experimentos de resonancia de espín de electrones .
Las correcciones de orden superior debidas a otros estados propios fuera de D se pueden encontrar de la misma manera que para el caso no degenerado,
El operador del lado izquierdo no es singular cuando se aplica a estados propios fuera de D , por lo que podemos escribir
pero el efecto sobre los estados degenerados es de .
Los estados casi degenerados también deben tratarse de manera similar, cuando las divisiones hamiltonianas originales no son más grandes que la perturbación en el subespacio casi degenerado. Se encuentra una aplicación en el modelo de electrones casi libres , donde la casi degeneración, tratada adecuadamente, da lugar a una brecha de energía incluso para pequeñas perturbaciones. Otros estados propios solo cambiarán la energía absoluta de todos los estados casi degenerados simultáneamente.
Generalización al caso multiparámetro
La generalización de la teoría de la perturbación independiente del tiempo al caso en el que existen múltiples parámetros pequeños. en lugar de λ se puede formular de manera más sistemática utilizando el lenguaje de la geometría diferencial , que básicamente define las derivadas de los estados cuánticos y calcula las correcciones perturbativas tomando derivadas iterativamente en el punto no perturbado.
Hamiltoniano y operador de fuerza
Desde el punto de vista de la geometría diferencial, un hamiltoniano parametrizado se considera una función definida en la variedad de parámetros que mapea cada conjunto particular de parámetros.a un operador hermitiano H ( x μ ) que actúa sobre el espacio de Hilbert. Los parámetros aquí pueden ser campo externo, fuerza de interacción o parámetros de conducción en la transición de fase cuántica . Sea E n ( x μ ) yser la n -ésima energía propia y el estado propio de H ( x μ ) respectivamente. En el lenguaje de la geometría diferencial, los estadosForman un paquete de vectores sobre la variedad de parámetros, sobre el cual se pueden definir las derivadas de estos estados. La teoría de la perturbación debe responder a la siguiente pregunta: dado y en un punto de referencia imperturbable , cómo estimar la E n ( x μ ) yen x μ cerca de ese punto de referencia.
Sin pérdida de generalidad, el sistema de coordenadas se puede cambiar, de modo que el punto de referencia está configurado para ser el origen. El siguiente hamiltoniano parametrizado linealmente se utiliza con frecuencia
Si los parámetros x μ se consideran coordenadas generalizadas, entonces F μ debe identificarse como los operadores de fuerza generalizados relacionados con esas coordenadas. Diferentes índices μ etiquetan las diferentes fuerzas a lo largo de diferentes direcciones en la variedad de parámetros. Por ejemplo, si x μ denota el campo magnético externo en la dirección μ , entonces F μ debería ser la magnetización en la misma dirección.
Teoría de la perturbación como expansión de la serie de potencias
La validez de la teoría de la perturbación radica en el supuesto adiabático, que asume que las energías propias y los estados propios del hamiltoniano son funciones suaves de parámetros de modo que sus valores en la región de proximidad se pueden calcular en series de potencia (como la expansión de Taylor ) de los parámetros:
Aquí ∂ μ denota la derivada con respecto a x μ . Al aplicar al estado, debe entenderse como la derivada covariante si el paquete de vectores está equipado con una conexión que no desaparece . Todos los términos del lado derecho de la serie se evalúan en x μ = 0 , por ejemplo, E n ≡ E n (0) y. Esta convención se adoptará a lo largo de esta subsección, en el sentido de que se supone que todas las funciones sin la dependencia del parámetro explícitamente establecida se evalúan en el origen. La serie de potencias puede converger lentamente o incluso no converger cuando los niveles de energía están cerca unos de otros. La suposición adiabática se rompe cuando hay degeneración del nivel de energía y, por lo tanto, la teoría de la perturbación no es aplicable en ese caso.
Teoremas de Hellmann-Feynman
La expansión de la serie de potencias anterior se puede evaluar fácilmente si existe un enfoque sistemático para calcular las derivadas en cualquier orden. Usando la regla de la cadena , las derivadas se pueden descomponer en la derivada simple en la energía o en el estado. Los teoremas de Hellmann-Feynman se utilizan para calcular estas derivadas simples. El primer teorema de Hellmann-Feynman da la derivada de la energía,
El segundo teorema de Hellmann-Feynman da la derivada del estado (resuelto por la base completa con m ≠ n),
Para el hamiltoniano linealmente parametrizado, ∂ μ H simplemente representa el operador de fuerza generalizada F μ .
Los teoremas pueden derivarse simplemente aplicando el operador diferencial ∂ μ a ambos lados de la ecuación de Schrödinger que lee
Luego se superponen con el estado de izquierda a derecha y utilice la ecuación de Schrödinger de nuevo,
Dado que los estados propios del hamiltoniano siempre forman una base ortonormal , los casos de m = n y m ≠ n se pueden discutir por separado. El primer caso conducirá al primer teorema y el segundo caso al segundo teorema, que se puede mostrar inmediatamente reordenando los términos. Con las reglas diferenciales dadas por los teoremas de Hellmann-Feynman, la corrección perturbativa a las energías y estados se puede calcular de forma sistemática.
Corrección de energía y estado.
Para el segundo orden, la corrección de energía dice
dónde denota la función de la pieza real . La derivada de primer orden ∂ μ E n viene dada directamente por el primer teorema de Hellmann-Feynman. Para obtener la derivada de segundo orden ∂ μ ∂ ν E n , simplemente aplicando el operador diferencial ∂ μ al resultado de la derivada de primer orden, que dice
Tenga en cuenta que para el hamiltoniano parametrizado linealmente, no hay una segunda derivada ∂ μ ∂ ν H = 0 en el nivel del operador. Resuelva la derivada de estado insertando el conjunto completo de bases,
entonces todas las partes se pueden calcular usando los teoremas de Hellmann-Feynman. En términos de derivadas de Lie,de acuerdo con la definición de la conexión para el paquete de vectores. Por tanto, el caso m = n se puede excluir de la suma, lo que evita la singularidad del denominador de energía. El mismo procedimiento puede llevarse a cabo para derivadas de orden superior, a partir de las cuales se obtienen correcciones de orden superior.
El mismo esquema computacional es aplicable para la corrección de estados. El resultado del segundo orden es el siguiente
En la deducción participarán tanto los derivados energéticos como los estatales. Siempre que se encuentre una derivada de estado, resuélvala insertando el conjunto completo de bases, entonces es aplicable el teorema de Hellmann-Feynman. Debido a que la diferenciación se puede calcular sistemáticamente, el enfoque de expansión en serie para las correcciones perturbativas se puede codificar en computadoras con software de procesamiento simbólico como Mathematica .
Hamiltoniano eficaz
Sea H (0) el hamiltoniano completamente restringido en el subespacio de baja energía o en el subespacio de alta energía , de modo que no hay un elemento de matriz en H (0) que conecte los subespacios de baja y alta energía, es decir Si . Sean F μ = ∂ μ H los términos de acoplamiento que conectan los subespacios. Luego, cuando los grados de libertad de alta energía se integran, el hamiltoniano efectivo en el subespacio de baja energía dice [10]
Aquí están restringidos en el subespacio de baja energía. El resultado anterior puede derivarse de la expansión de la serie de potencias de.
De manera formal, es posible definir un hamiltoniano eficaz que proporcione exactamente los estados de baja energía y las funciones de onda. [11] En la práctica, generalmente se requiere algún tipo de aproximación (teoría de la perturbación).
Teoría de la perturbación dependiente del tiempo
Método de variación de constantes
La teoría de la perturbación dependiente del tiempo, desarrollada por Paul Dirac , estudia el efecto de una perturbación dependiente del tiempo V ( t ) aplicada a un Hamiltoniano H 0 independiente del tiempo . [12]
Dado que el hamiltoniano perturbado depende del tiempo, también lo son sus niveles de energía y estados propios. Por tanto, los objetivos de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo son ligeramente diferentes de los de la teoría de la perturbación independiente del tiempo. Uno está interesado en las siguientes cantidades:
- El valor esperado dependiente del tiempo de algún A observable , para un estado inicial dado.
- Las amplitudes dependientes del tiempo [ aclaración necesaria ] de esos estados cuánticos que son mercados propios de energía (vectores propios) en el sistema no perturbado.
La primera cantidad es importante porque da lugar al resultado clásico de una medición A realizada en un número macroscópico de copias del sistema perturbado. Por ejemplo, podríamos tomar A como el desplazamiento en la dirección x del electrón en un átomo de hidrógeno, en cuyo caso el valor esperado, cuando se multiplica por un coeficiente apropiado, da la polarización dieléctrica dependiente del tiempo de un gas hidrógeno. Con una elección apropiada de perturbación (es decir, un potencial eléctrico oscilante), esto permite calcular la permitividad de CA del gas.
La segunda cantidad analiza la probabilidad de ocupación dependiente del tiempo para cada estado propio. Esto es particularmente útil en la física del láser , donde uno está interesado en las poblaciones de diferentes estados atómicos en un gas cuando se aplica un campo eléctrico dependiente del tiempo. Estas probabilidades también son útiles para calcular el "ensanchamiento cuántico" de líneas espectrales (ver ensanchamiento de líneas ) y la desintegración de partículas en física de partículas y física nuclear .
Examinaremos brevemente el método detrás de la formulación de Dirac de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo. Elija una base energéticapara el sistema imperturbable. (Eliminamos los superíndices (0) para los estados propios, porque no es útil hablar de niveles de energía y estados propios para el sistema perturbado).
Si el sistema imperturbable es un autoestado (del hamiltoniano) en el tiempo t = 0, su estado en los tiempos posteriores varía solo por una fase (en la imagen de Schrödinger , donde los vectores de estado evolucionan en el tiempo y los operadores son constantes),
Ahora, introduzca un Hamiltoniano perturbador V ( t ) dependiente del tiempo . El hamiltoniano del sistema perturbado es
Dejar denotar el estado cuántico del sistema perturbado en el tiempo t . Obedece a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,
El estado cuántico en cada instante se puede expresar como una combinación lineal de la base propia completa de :
( 1 )
donde las c n ( t ) s deben ser determinadas funciones complejas de t a las que nos referiremos como amplitudes (estrictamente hablando, son las amplitudes en la imagen de Dirac ).
Hemos extraído explícitamente los factores de fase exponencial en el lado derecho. Esto es solo una cuestión de convención y puede hacerse sin perder la generalidad. La razón por la que nos metemos en este problema es que cuando el sistema se inicia en el estadoy no hay perturbación presente, las amplitudes tienen la propiedad conveniente de que, para todo t , c j ( t ) = 1 y c n ( t ) = 0 si n ≠ j .
El cuadrado de la amplitud absoluta c n ( t ) es la probabilidad de que el sistema esté en el estado n en el tiempo t , ya que
Conectando la ecuación de Schrödinger y usando el hecho de que ∂ / ∂ t actúa por una regla de producto , se obtiene
Resolviendo la identidad delante de V y multiplicando por el sujetador a la izquierda, esto se puede reducir a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas para las amplitudes,
donde hemos usado la ecuación ( 1 ) para evaluar la suma de n en el segundo término, luego usamos el hecho de que.
Los elementos de la matriz de V desempeñan un papel similar al de la teoría de perturbaciones independientes del tiempo, siendo proporcionales a la velocidad a la que se desplazan las amplitudes entre estados. Sin embargo, tenga en cuenta que la dirección del cambio se modifica por el factor de fase exponencial. En tiempos mucho más largos que la diferencia de energía E k - E n , la fase se enrolla alrededor de 0 varias veces. Si la dependencia del tiempo de V es suficientemente lenta, esto puede hacer que oscilen las amplitudes de estado. (Por ejemplo, estas oscilaciones son útiles para gestionar las transiciones radiativas en un láser ).
Hasta este punto, no hemos hecho aproximaciones, por lo que este conjunto de ecuaciones diferenciales es exacto. Al proporcionar valores iniciales apropiados c n ( t ) , en principio podríamos encontrar una solución exacta (es decir, no perturbativa). Esto se hace fácilmente cuando solo hay dos niveles de energía ( n = 1, 2), y esta solución es útil para modelar sistemas como la molécula de amoníaco .
Sin embargo, las soluciones exactas son difíciles de encontrar cuando hay muchos niveles de energía y, en cambio, se buscan soluciones perturbadoras. Estos se pueden obtener expresando las ecuaciones en forma integral,
Sustituyendo repetidamente esta expresión por c n en el lado derecho, se obtiene una solución iterativa,
donde, por ejemplo, el término de primer orden es
De esto se siguen varios resultados adicionales, como la regla de oro de Fermi , que relaciona la tasa de transiciones entre estados cuánticos con la densidad de estados a energías particulares; o la serie de Dyson , obtenida aplicando el método iterativo al operador de evolución temporal , que es uno de los puntos de partida del método de los diagramas de Feynman .
Método de la serie Dyson
Las perturbaciones dependientes del tiempo se pueden reorganizar mediante la técnica de la serie Dyson . La ecuación de Schrödinger
tiene la solución formal
donde T es el operador de pedido de tiempo,
Por lo tanto, el exponencial representa la siguiente serie de Dyson ,
Tenga en cuenta que en el segundo término, el 1/2! El factor cancela exactamente la doble contribución debida al operador de pedido de tiempo, etc.
Considere el siguiente problema de perturbación
asumiendo que el parámetro λ es pequeño y que el problema ha sido resuelto.
Realice la siguiente transformación unitaria a la imagen de interacción (o imagen de Dirac),
En consecuencia, la ecuación de Schrödinger se simplifica a
por lo que se resuelve a través de la serie Dyson anterior ,
como una serie de perturbaciones con λ pequeña .
Usando la solución del problema imperturbable y (en aras de la simplicidad, suponga un espectro discreto puro), produce, a primer orden,
Por lo tanto, el sistema, inicialmente en el estado imperturbable , a fuerza de la perturbación puede entrar en el estado . La amplitud de probabilidad de transición correspondiente al primer orden es
como se detalla en la sección anterior, mientras que la correspondiente probabilidad de transición a un continuo la proporciona la regla de oro de Fermi .
Como acotación al margen, tenga en cuenta que la teoría de la perturbación independiente del tiempo también se organiza dentro de esta serie de Dyson de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo. Para ver esto, escriba el operador de evolución unitaria, obtenido de la serie de Dyson anterior , como
y considere que la perturbación V es independiente del tiempo.
Usando la resolución de identidad
con para un espectro discreto puro, escriba
Es evidente que, en segundo orden, se deben sumar todos los estados intermedios. Asumiry el límite asintótico de tiempos mayores. Esto significa que, en cada contribución de la serie de perturbaciones, se debe sumar un factor multiplicativoen los integrandos para ε arbitrariamente pequeño. Así, el límite t → ∞ devuelve el estado final del sistema eliminando todos los términos oscilantes, pero manteniendo los seculares. Por tanto, las integrales son computables y, al separar los términos diagonales de los demás, se obtiene
donde la serie temporal secular produce los valores propios del problema perturbado especificado anteriormente, de forma recursiva; mientras que la parte restante de la constante de tiempo produce las correcciones a las funciones propias estacionarias también dadas anteriormente (.)
El operador de evolución unitaria es aplicable a estados propios arbitrarios del problema imperturbable y, en este caso, produce una serie secular que se mantiene en pequeños momentos.
Teoría de la perturbación fuerte
De manera similar a las pequeñas perturbaciones, es posible desarrollar una fuerte teoría de las perturbaciones. Considere como de costumbre la ecuación de Schrödinger
y consideramos la cuestión de si existe una serie dual de Dyson que se aplique en el límite de una perturbación cada vez más grande. Esta pregunta se puede responder de forma afirmativa [13] y la serie es la conocida serie adiabática. [14] Este enfoque es bastante general y se puede mostrar de la siguiente manera. Considere el problema de la perturbación
siendo λ → ∞ . Nuestro objetivo es encontrar una solución en la forma
pero una sustitución directa en la ecuación anterior no produce resultados útiles. Esta situación se puede ajustar haciendo un reajuste de la variable de tiempo como produciendo las siguientes ecuaciones significativas
que se puede resolver una vez que conocemos la solución de la ecuación de orden principal . Pero sabemos que en este caso podemos utilizar la aproximación adiabática . Cuándono depende del momento en que uno obtenga la serie Wigner-Kirkwood que se usa a menudo en mecánica estadística . De hecho, en este caso introducimos la transformación unitaria
que define una imagen libre ya que estamos tratando de eliminar el término de interacción. Ahora, de forma dual con respecto a las pequeñas perturbaciones, tenemos que resolver la ecuación de Schrödinger
y vemos que el parámetro de expansión λ aparece solo en el exponencial y, por lo tanto, la serie de Dyson correspondiente , una serie de Dyson dual , es significativa en λ s grandes y es
Después del cambio de escala en el tiempo podemos ver que esto es de hecho una serie en justificando de esta forma el nombre de serie dual Dyson . La razón es que hemos obtenido esta serie simplemente intercambiando H 0 y V y podemos pasar de una a otra aplicando este intercambio. A esto se le llama principio de dualidad en la teoría de la perturbación. La elecciónproduce, como ya se dijo, una serie de Wigner-Kirkwood que es una expansión de gradiente. La serie Wigner-Kirkwood es una serie semiclásica con valores propios dados exactamente como para la aproximación WKB . [15]
Ejemplos de
Ejemplo de teoría de perturbación de primer orden: energía del estado fundamental del oscilador cuártico
Considere el oscilador armónico cuántico con la perturbación potencial cuántica y el hamiltoniano
El estado fundamental del oscilador armónico es
() y la energía del estado fundamental no perturbado es
Usando la fórmula de corrección de primer orden obtenemos
o
Ejemplo de teoría de perturbaciones de primer y segundo orden: péndulo cuántico
Considere el péndulo matemático cuántico con el hamiltoniano
con la energía potencial tomado como la perturbación, es decir
Las funciones de onda cuántica normalizadas no perturbadas son las del rotor rígido y están dadas por
y las energias
La corrección de energía de primer orden al rotor debido a la energía potencial es
Usando la fórmula para la corrección de segundo orden, se obtiene
o
o
Energía potencial como perturbación
Cuando el estado no perturbado es un movimiento libre de una partícula con energía cinética , la solución de la ecuación de Schrödinger
corresponde a ondas planas con número de onda . Si hay una energía potencial débil presente en el espacio, en la primera aproximación, el estado perturbado es descrito por la ecuación
cuya integral particular es [16]
dónde . En el caso bidimensional, la solución es
dónde y es la función de Hankel del primer tipo . En el caso unidimensional, la solución es
dónde .
Aplicaciones
- Ciclo de rabi
- La regla de oro de Fermi
- Espectroscopia de espín de muón
- Correlación angular perturbada
Referencias
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enlaces externos
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