Fase (ondas)

En física y matemáticas , la fase de una función periódica ${\displaystyle F}$de alguna variable real${\displaystyle t}$(como el tiempo) es una cantidad similar a un ángulo que representa el número de períodos abarcados por esa variable. Se denota${\displaystyle \phi (t)}$y expresado en una escala tal que varía en una vuelta completa a medida que la variable${\displaystyle t}$ atraviesa cada período (y ${\displaystyle F(t)}$pasa por cada ciclo completo). Puede medirse en cualquier unidad angular , como grados o radianes , aumentando así en 360 ° o${\displaystyle 2\pi }$ como la variable ${\displaystyle t}$completa un período completo. ^[1]

Gráfico de un ciclo de una función sinusoidal. La fase para cada valor de argumento, relativa al inicio del ciclo, se muestra en la parte inferior, en grados de 0 ° a 360 ° y en radianes de 0 a 2π.

Esta convención es especialmente apropiada para una función sinusoidal , ya que su valor en cualquier argumento${\displaystyle t}$entonces se puede expresar como el seno de la fase${\displaystyle \phi (t)}$, multiplicado por algún factor (la amplitud de la sinusoide). (El coseno se puede usar en lugar del seno, dependiendo de dónde se considere que comienza cada período).

Por lo general, los turnos completos se ignoran al expresar la fase; así que eso${\displaystyle \phi (t)}$ es también una función periódica, con el mismo período que ${\displaystyle F}$, que escanea repetidamente el mismo rango de ángulos que ${\displaystyle t}$pasa por cada período. Luego,${\displaystyle F}$ se dice que está "en la misma fase" en dos valores de argumento ${\displaystyle t_{1}}$ y ${\displaystyle t_{2}}$ (es decir, ${\displaystyle \phi (t_{1})=\phi (t_{2})}$) si la diferencia entre ellos es un número entero de períodos.

El valor numérico de la fase ${\displaystyle \phi (t)}$ depende de la elección arbitraria del inicio de cada período y del intervalo de ángulos al que se mapeará cada período.

El término "fase" también se utiliza al comparar una función periódica. ${\displaystyle F}$ con una versión cambiada ${\displaystyle G}$de ella. Si el cambio en${\displaystyle t}$ se expresa como una fracción del período y luego se escala a un ángulo ${\displaystyle \varphi }$que abarca todo un turno, se obtiene el cambio de fase , el desplazamiento de fase o la diferencia de fase de${\displaystyle G}$ relativo a ${\displaystyle F}$. Si${\displaystyle F}$ es una función "canónica" para una clase de señales, como ${\displaystyle \sin(t)}$ es para todas las señales sinusoidales, entonces ${\displaystyle \varphi }$se llama la fase inicial de${\displaystyle G}$.

Definición matemática

Dejar ${\displaystyle F}$ ser una señal periódica (es decir, una función de una variable real), y ${\displaystyle T}$ser su período (es decir, el menor número real positivo tal que${\displaystyle F(t+T)=F(t)}$ para todos ${\displaystyle t}$). Entonces la fase de${\displaystyle F}$ en cualquier argumento${\displaystyle t}$ es

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}\right]\!\!\right]}$

Aquí ${\displaystyle [\![\,\cdot \,]\!]\!\,}$denota la parte fraccionaria de un número real, descartando su parte entera; es decir,${\displaystyle [\![x]\!]=x-\left\lfloor x\right\rfloor \!\,}$; y${\displaystyle t_{0}}$ es un valor de "origen" arbitrario del argumento, que se considera el comienzo de un ciclo.

Este concepto se puede visualizar imaginando un reloj con una manecilla que gira a velocidad constante, dando una vuelta completa cada${\displaystyle T}$ segundos, y apunta directamente hacia arriba en el momento ${\displaystyle t_{0}}$. La fase${\displaystyle \phi (t)}$ es entonces el ángulo desde la posición de las 12:00 hasta la posición actual de la mano, en el momento ${\displaystyle t}$, medido en el sentido de las agujas del reloj .

El concepto de fase es más útil cuando el origen ${\displaystyle t_{0}}$ se elige en función de las características de ${\displaystyle F}$. Por ejemplo, para una sinusoide, una opción conveniente es cualquier${\displaystyle t}$ donde el valor de la función cambia de cero a positivo.

La fórmula anterior da la fase como un ángulo en radianes entre 0 y ${\displaystyle 2\pi }$. Para obtener la fase como un ángulo entre${\displaystyle -\pi }$ y ${\displaystyle +\pi }$, uno usa en su lugar

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}+{\frac {1}{2}}\right]\!\!\right]-{\frac {1}{2}}\right)}$

La fase expresada en grados (de 0 ° a 360 °, o de -180 ° a + 180 °) se define de la misma manera, excepto con "360 °" en lugar de "2π".

Consecuencias

Con cualquiera de las definiciones anteriores, la fase ${\displaystyle \phi (t)}$ de una señal periódica también es periódica, con el mismo período ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\quad \quad {}}$ para todos ${\displaystyle t}$.

La fase es cero al comienzo de cada período; es decir

${\displaystyle \phi (t_{0}+kT)=0\quad \quad {}}$ para cualquier entero ${\displaystyle k}$.

Además, para cualquier elección dada del origen ${\displaystyle t_{0}}$, el valor de la señal ${\displaystyle F}$ para cualquier argumento ${\displaystyle t}$ depende solo de su fase en ${\displaystyle t}$. Es decir, uno puede escribir${\displaystyle F(t)=f(\phi (t))}$, dónde ${\displaystyle f}$ es una función de un ángulo, definido solo para una única vuelta completa, que describe la variación de ${\displaystyle F}$ como ${\displaystyle t}$ rangos durante un solo período.

De hecho, cada señal periódica ${\displaystyle F}$con una forma de onda específica se puede expresar como

${\displaystyle F(t)=A\,w(\phi (t))}$

dónde ${\displaystyle w}$es una función "canónica" de un ángulo de fase de 0 a 2π, que describe solo un ciclo de esa forma de onda; y${\displaystyle A}$es un factor de escala para la amplitud. (Esta afirmación asume que la hora de inicio${\displaystyle t_{0}}$ elegido para calcular la fase de ${\displaystyle F}$ corresponde al argumento 0 de ${\displaystyle w}$.)

Agregar y comparar fases

Dado que las fases son ángulos, cualquier giro completo completo generalmente debe ignorarse al realizar operaciones aritméticas en ellas. Es decir, la suma y la diferencia de dos fases (en grados) deben calcularse mediante las fórmulas

${\displaystyle 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha +\beta }{360}}\right]\!\!\right]\quad \quad }$ y ${\displaystyle \quad \quad 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha -\beta }{360}}\right]\!\!\right]}$

respectivamente. Así, por ejemplo, la suma de los ángulos de fase 190 ° + 200 ° es 30 ° ( 190 + 200 = 390 , menos una vuelta completa), y restar 50 ° de 30 ° da una fase de 340 ° ( 30 - 50 = - 20 , más una vuelta completa).

Fórmulas similares son válidas para radianes, con ${\displaystyle 2\pi }$ en lugar de 360.

Cambio de fase

Ilustración de cambio de fase. El eje horizontal representa un ángulo (fase) que aumenta con el tiempo.

Desplazador de fase con modulador IQ

La diferencia ${\displaystyle \varphi (t)=\phi _{G}(t)-\phi _{F}(t)}$ entre las fases de dos señales periódicas ${\displaystyle F}$ y ${\displaystyle G}$se llama diferencia de fase o cambio de fase de${\displaystyle G}$ relativo a ${\displaystyle F}$. ^[1] Con valores de${\displaystyle t}$cuando la diferencia es cero, se dice que las dos señales están en fase ; de lo contrario, están desfasadas entre sí.

En la analogía del reloj, cada señal está representada por una manecilla (o puntero) del mismo reloj, ambos girando a velocidades constantes pero posiblemente diferentes. La diferencia de fase es entonces el ángulo entre las dos manecillas, medido en el sentido de las agujas del reloj.

La diferencia de fase es particularmente importante cuando dos señales se suman mediante un proceso físico, como dos ondas sonoras periódicas emitidas por dos fuentes y registradas juntas por un micrófono. Este suele ser el caso en los sistemas lineales , cuando se cumple el principio de superposición .

Para argumentos ${\displaystyle t}$cuando la diferencia de fase es cero, las dos señales tendrán el mismo signo y se reforzarán entre sí. Se dice que se está produciendo una interferencia constructiva . En argumentos${\displaystyle t}$ cuando las fases son diferentes, el valor de la suma depende de la forma de onda.

Para sinusoides

Para señales sinusoidales, cuando la diferencia de fase ${\displaystyle \varphi (t)}$ es 180 ° (${\displaystyle \pi }$radianes), se dice que las fases son opuestas y que las señales están en antifase . Entonces las señales tienen signos opuestos y se produce una interferencia destructiva .Por el contrario, una inversión de fase o inversión de fase implica un cambio de fase de 180 grados. ^[2]

Cuando la diferencia de fase ${\displaystyle \varphi (t)}$es un cuarto de vuelta (un ángulo recto, + 90 ° = π / 2 o −90 ° = 270 ° = −π / 2 = 3π / 2 ), a veces se dice que las señales sinusoidales están en cuadratura (por ejemplo, en fase y componentes en cuadratura ).

Si las frecuencias son diferentes, la diferencia de fase ${\displaystyle \varphi (t)}$ aumenta linealmente con el argumento ${\displaystyle t}$. Los cambios periódicos de refuerzo y oposición causan un fenómeno llamado golpe .

Para señales cambiadas

La diferencia de fase es especialmente importante al comparar una señal periódica. ${\displaystyle F}$ con una versión modificada y posiblemente escalada ${\displaystyle G}$de ella. Es decir, suponga que${\displaystyle G(t)=\alpha \,F(t+\tau )}$ para algunas constantes ${\displaystyle \alpha ,\tau }$ y todo ${\displaystyle t}$. Suponga también que el origen para calcular la fase de${\displaystyle G}$también se ha cambiado. En ese caso, la diferencia de fase${\displaystyle \varphi }$ es una constante (independiente de ${\displaystyle t}$), llamado desplazamiento de fase o desplazamiento de fase de${\displaystyle G}$ relativo a ${\displaystyle F}$. En la analogía del reloj, esta situación corresponde a que las dos manecillas giran a la misma velocidad, por lo que el ángulo entre ellas es constante.

En este caso, el cambio de fase es simplemente el cambio de argumento ${\displaystyle \tau }$, expresado como una fracción del período común ${\displaystyle T}$(en términos de la operación de módulo ) de las dos señales y luego escalado a una vuelta completa:

${\displaystyle \varphi =2\pi \left[\!\!\left[{\frac {\tau }{T}}\right]\!\!\right].}$

Si ${\displaystyle F}$ es un representante "canónico" de una clase de señales, como ${\displaystyle \sin(t)}$ es para todas las señales sinusoidales, entonces el cambio de fase ${\displaystyle \varphi }$llamado simplemente la fase inicial de${\displaystyle G}$.

Por lo tanto, cuando dos señales periódicas tienen la misma frecuencia, siempre están en fase o siempre desfasadas. Físicamente, esta situación ocurre comúnmente, por muchas razones. Por ejemplo, las dos señales pueden ser una onda de sonido periódica grabada por dos micrófonos en ubicaciones separadas. O, a la inversa, pueden ser ondas de sonido periódicas creadas por dos altavoces separados de la misma señal eléctrica y grabadas por un solo micrófono. Pueden ser una señal de radio que llega a la antena receptora en línea recta y una copia de la misma que se refleja en un gran edificio cercano.

Un ejemplo bien conocido de diferencia de fase es la longitud de las sombras que se ven en diferentes puntos de la Tierra. Para una primera aproximación, si${\displaystyle F(t)}$ es la longitud vista en el tiempo ${\displaystyle t}$ en un lugar, y ${\displaystyle G}$es la longitud vista al mismo tiempo a una longitud de 30 ° al oeste de ese punto, entonces la diferencia de fase entre las dos señales será de 30 ° (asumiendo que, en cada señal, cada período comienza cuando la sombra es más corta).

Para sinusoides con la misma frecuencia

Para señales sinusoidales (y algunas otras formas de onda, como cuadradas o triangulares simétricas), un cambio de fase de 180 ° es equivalente a un cambio de fase de 0 ° con negación de la amplitud. Cuando se suman dos señales con estas formas de onda, mismo período y fases opuestas, la suma${\displaystyle F+G}$ es idénticamente cero o es una señal sinusoidal con el mismo período y fase, cuya amplitud es la diferencia de las amplitudes originales.

El desplazamiento de fase de la función coseno con respecto a la función seno es de + 90 °. De ello se deduce que, para dos señales sinusoidales${\displaystyle F}$ y ${\displaystyle G}$ con la misma frecuencia y amplitudes ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, y ${\displaystyle G}$ tiene un desplazamiento de fase de + 90 ° con respecto a ${\displaystyle F}$, la suma ${\displaystyle F+G}$ es una señal sinusoidal con la misma frecuencia, con amplitud ${\displaystyle C}$ y cambio de fase ${\displaystyle -90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }}$ de ${\displaystyle F}$, tal que

${\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\quad \quad {}}$ y ${\displaystyle {}\quad \quad \sin(\varphi )=B/C}$.

Señales en fase

Señales fuera de fase

Representación de comparación de fases. ^[3]

Izquierda: la parte real de una onda plana que se mueve de arriba a abajo. Derecha: la misma onda después de una sección central sufrió un cambio de fase, por ejemplo, al pasar a través de un vidrio de diferente grosor que las otras partes.

Fuera de fase AE

Un ejemplo del mundo real de una diferencia de fase sónica ocurre en el gorjeo de una flauta nativa americana . La amplitud de diferentes componentes armónicos de la misma nota sostenida en la flauta domina en diferentes puntos del ciclo de fase. La diferencia de fase entre los diferentes armónicos se puede observar en un espectrograma del sonido de una flauta gorjeante. ^[4]

Comparación de fases

La comparación de fase es una comparación de la fase de dos formas de onda, generalmente de la misma frecuencia nominal. En tiempo y frecuencia, el propósito de una comparación de fase es generalmente determinar el desplazamiento de frecuencia (diferencia entre ciclos de señal) con respecto a una referencia. ^[3]

Se puede realizar una comparación de fase conectando dos señales a un osciloscopio de dos canales . El osciloscopio mostrará dos señales sinusoidales, como se muestra en el gráfico de la derecha. En la imagen adyacente, la señal sinusoidal superior es la frecuencia de prueba y la señal sinusoidal inferior representa una señal de la referencia.

Si las dos frecuencias fueran exactamente iguales, su relación de fase no cambiaría y ambas parecerían estar estacionarias en la pantalla del osciloscopio. Dado que las dos frecuencias no son exactamente iguales, la referencia parece estar estacionaria y la señal de prueba se mueve. Midiendo la tasa de movimiento de la señal de prueba, se puede determinar el desplazamiento entre frecuencias.

Se han dibujado líneas verticales a través de los puntos donde cada señal sinusoidal pasa por cero. La parte inferior de la figura muestra barras cuyo ancho representa la diferencia de fase entre las señales. En este caso, la diferencia de fase aumenta, lo que indica que la señal de prueba tiene una frecuencia más baja que la de referencia. ^[3]

Fórmula para la fase de una oscilación o una señal periódica

La fase de una oscilación o señal se refiere a una función sinusoidal como la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A\cdot \cos(2\pi ft+\varphi )\\y(t)&=A\cdot \sin(2\pi ft+\varphi )=A\cdot \cos \left(2\pi ft+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

dónde ${\displaystyle \textstyle A}$, ${\displaystyle \textstyle f}$, y ${\displaystyle \textstyle \varphi }$son parámetros constantes llamados amplitud , frecuencia y fase de la sinusoide. Estas señales son periódicas con período${\displaystyle \textstyle T={\frac {1}{f}}}$, y son idénticos excepto por un desplazamiento de ${\displaystyle \textstyle {\frac {T}{4}}}$ a lo largo de ${\displaystyle \textstyle t}$eje. El término fase puede referirse a varias cosas diferentes :

• Puede hacer referencia a una referencia específica, como ${\displaystyle \textstyle \cos(2\pi ft)}$, en cuyo caso diríamos la fase de${\displaystyle \textstyle x(t)}$ es ${\displaystyle \textstyle \varphi }$, y la fase de${\displaystyle \textstyle y(t)}$ es ${\displaystyle \textstyle \varphi -{\frac {\pi }{2}}}$.
• Puede referirse a ${\displaystyle \textstyle \varphi }$, en cuyo caso diríamos ${\displaystyle \textstyle x(t)}$ y ${\displaystyle \textstyle y(t)}$tienen la misma fase pero son relativos a sus propias referencias específicas.
• En el contexto de las formas de onda de comunicación, el ángulo variable en el tiempo ${\displaystyle \textstyle 2\pi ft+\varphi }$, o su valor principal , se conoce como fase instantánea , a menudo simplemente fase .

Ver también

• Fase absoluta
• Componentes en fase y en cuadratura
• Fase instantánea
• Curva de Lissajous
• Cancelación de fase
• Problema de fase
• Velocidad de fase
• Fasor
• Polarización
• Coherencia , la calidad de una onda para mostrar una relación de fase bien definida en diferentes regiones de su dominio de definición.
• Transformada de Hilbert , un método de cambio de fase en 90 °
• Cambio de fase de reflexión

Referencias

1. Ballou, Glen (2005). Manual para ingenieros de sonido (3 ed.). Focal Press, Gulf Professional Publishing. pag. 1499. ISBN 978-0-240-80758-4.
2. [1]
3. Tiempo y frecuencia de la A a la Z (2010-05-12). "Fase" . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) . Consultado el 12 de junio de 2016 .Este contenido se ha copiado y pegado de una página web de NIST y es de dominio público .
4. Clint Goss; Barry Higgins (2013). "El gorjeo" . Flutopedia . Consultado el 6 de marzo de 2013 .

enlaces externos

• " ¿Qué es una fase? ". Prof. Jeffrey Hass. " Una cartilla acústica ", Sección 8. Universidad de Indiana . © 2003. Ver también: ( páginas 1 a 3. © 2013)
• Ángulo de fase, diferencia de fase, retardo de tiempo y frecuencia
• ECE 209: Fuentes de desplazamiento de fase : analiza las fuentes de desplazamiento de fase en el dominio del tiempo en circuitos lineales simples invariantes en el tiempo.
• Física de código abierto JavaScript HTML5
• Applet de Java de diferencia de fase