Espacio de fase

Construcción matemática para sistemas dinámicos

Para otros usos, consulte Espacio de fase (desambiguación) .

Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes utilizadas para simular el flujo de aire alrededor de una obstrucción
Alcance Ciencias Naturales Ingenieria Astronomía Física Química Biología Geología Matemáticas Aplicadas Mecánica de Medios Continuos Teoría del caos Sistemas dinámicos Ciencias Sociales Ciencias económicas Dinámica poblacional
Clasificación
Tipos Ordinario Parcial Diferencial-algebraico Integro-diferencial Fraccionario Lineal No lineal Por tipo de variable Variables dependientes e independientes Autónomo Complejo Acoplado / desacoplado Exacto Homogéneo  / No homogéneo Características Orden Operador Notación
Relación con los procesos Diferencia (análogo discreto) Estocástico Estocástico parcial Demora
Solución
Existencia y singularidad Teorema de Picard-Lindelöf Teorema de existencia de Peano Teorema de existencia de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Temas generales Wronskian Retrato de fase Espacio de fase Estabilidad de Lyapunov  / Asintótica  / Exponencial Tasa de convergencia Serie  / Soluciones integrales Integracion numerica Función delta de Dirac
Métodos de solución Inspección Método de características Euler Fórmula de respuesta exponencial Diferencia finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volumen finito Galerkin Petrov – Galerkin Factor de integración Transformaciones integrales Teoría de la perturbación Runge – Kutta Separación de variables Coeficientes indeterminados Variación de parámetros
Gente Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
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Ruta de fase del oscilador Duffing ^{[ dudoso - discutir ]}

Espacio de fase de un sistema dinámico con estabilidad focal, que muestra una trayectoria de espacio de fase

En la teoría de sistemas dinámicos , un espacio de fase es un espacio en el que se representan todos los estados posibles de un sistema , con cada estado posible correspondiente a un punto único en el espacio de fase. Para los sistemas mecánicos , el espacio de fase generalmente consta de todos los valores posibles de las variables de posición y momento . El concepto de espacio de fase fue desarrollado a finales del siglo XIX por Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré y Josiah Willard Gibbs . ^[1]

Introducción

En un espacio de fase, cada grado de libertad o parámetro del sistema se representa como un eje de un espacio multidimensional; un sistema unidimensional se llama línea de fase , mientras que un sistema bidimensional se llama plano de fase . Para cada estado posible del sistema o combinación permitida de valores de los parámetros del sistema, se incluye un punto en el espacio multidimensional. El estado de evolución del sistema a lo largo del tiempo traza un camino (una trayectoria de espacio de fase para el sistema) a través del espacio de alta dimensión. La trayectoria del espacio de fase representa el conjunto de estados compatibles con partir de una condición inicial particular., ubicado en el espacio de fase completo que representa el conjunto de estados compatibles con partir de cualquier condición inicial. En su conjunto, el diagrama de fase representa todo lo que puede ser el sistema, y ​​su forma puede dilucidar fácilmente las cualidades del sistema que de otro modo no serían obvias. Un espacio de fase puede contener un gran número de dimensiones. Por ejemplo, un gas que contiene muchas moléculas puede requerir una dimensión separada para x , y y z de cada partícula.posiciones y momentos (6 dimensiones para un gas monoatómico idealizado), y para sistemas moleculares más complejos, se requieren dimensiones adicionales para describir los modos vibratorios de los enlaces moleculares, así como el giro alrededor de 3 ejes. Los espacios de fase son más fáciles de usar cuando se analiza el comportamiento de sistemas mecánicos restringidos al movimiento alrededor y a lo largo de varios ejes de rotación o traslación, por ejemplo, en robótica, como analizar el rango de movimiento de un brazo robótico o determinar la ruta óptima para lograr una posición particular. / resultado de impulso.

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fase (arriba). Los sistemas son una partícula masiva en un pozo de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). El conjunto inicialmente compacto se arremolina con el tiempo.

Momentos conjugados

En la mecánica clásica, cualquier elección de coordenadas generalizadas q _i para la posición (es decir, coordenadas en el espacio de configuración ) define momentos generalizados conjugados p _i que juntos definen coordenadas en el espacio de fase. De manera más abstracta, en la mecánica clásica, el espacio de fase es el paquete cotangente del espacio de configuración, y en esta interpretación, el procedimiento anterior expresa que una elección de coordenadas locales en el espacio de configuración induce una elección de coordenadas Darboux locales naturales para la estructura simpléctica estándar en un espacio cotangente. .

Conjuntos estadísticos en el espacio de fase

El movimiento de un conjunto de sistemas en este espacio es estudiado por la mecánica estadística clásica . La densidad local de puntos en tales sistemas obedece al teorema de Liouville , por lo que puede tomarse como constante. Dentro del contexto de un sistema modelo en mecánica clásica, las coordenadas del espacio de fase del sistema en un momento dado están compuestas por todas las variables dinámicas del sistema. Debido a esto, es posible calcular el estado del sistema en un momento dado en el futuro o en el pasado, mediante la integración de las ecuaciones de movimiento de Hamilton o Lagrange.

Ejemplos

Ilustración de cómo se construiría un retrato de fase para el movimiento de un péndulo simple .

Flujo de series de tiempo en el espacio de fases especificado por la ecuación diferencial de un péndulo . El eje X corresponde a la posición del péndulo y el eje Y a su velocidad.

Dimensiones reducidas

Artículos principales: línea de fase (matemáticas) y plano de fase

Para sistemas simples, puede haber tan solo uno o dos grados de libertad. Un grado de libertad ocurre cuando uno tiene una ecuación diferencial ordinaria autónoma en una sola variable, con el sistema unidimensional resultante que se llama línea de fase , y el comportamiento cualitativo del sistema es inmediatamente visible desde la línea de fase. Los ejemplos no triviales más simples son el modelo / decaimiento de crecimiento exponencial (un equilibrio inestable / estable) y el modelo de crecimiento logístico (dos equilibrios, uno estable, uno inestable).${\displaystyle dy/dt=f(y),}$

El espacio de fase de un sistema bidimensional se llama plano de fase , que ocurre en la mecánica clásica para una sola partícula que se mueve en una dimensión, y donde las dos variables son la posición y la velocidad. En este caso, un bosquejo del retrato de fase puede proporcionar información cualitativa sobre la dinámica del sistema, como el ciclo límite del oscilador de Van der Pol que se muestra en el diagrama.

Aquí, el eje horizontal da la posición y el eje vertical la velocidad. A medida que el sistema evoluciona, su estado sigue una de las líneas (trayectorias) del diagrama de fase.

Retrato de fase del oscilador de Van der Pol

Teoría del caos

Los ejemplos clásicos de diagramas de fase de la teoría del caos son:

• el atractor de Lorenz
• crecimiento de la población (es decir, mapa logístico )
• plano de parámetros de polinomios cuadráticos complejos con conjunto de Mandelbrot .

Gráfico de fase

Una gráfica de las variables de posición y momento en función del tiempo a veces se denomina gráfica de fase o diagrama de fase . Sin embargo, la última expresión, " diagrama de fases ", suele reservarse en las ciencias físicas para un diagrama que muestra las diversas regiones de estabilidad de las fases termodinámicas de un sistema químico, que consta de presión , temperatura y composición.

Mecánica cuántica

En la mecánica cuántica , las coordenadas p y q de espacio de fase normalmente se convierten en hermitianos en un espacio de Hilbert .

Pero, alternativamente, pueden conservar su interpretación clásica, siempre que sus funciones se compongan de formas algebraicas novedosas (a través del producto estrella de Groenewold de 1946 ). Esto es consistente con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Todo observable de la mecánica cuántica corresponde a una función o distribución única en el espacio de fase, y viceversa, según lo especificado por Hermann Weyl (1927) y complementado por John von Neumann (1931); Eugene Wigner (1932); y, en una gran síntesis, por HJ Groenewold (1946). Con JE Moyal (1949), estos completaron los cimientos de la formulación del espacio de fase.de la mecánica cuántica , una reformulación completa y lógicamente autónoma de la mecánica cuántica. ^[2] (Sus abstracciones modernas incluyen la cuantificación de la deformación y la cuantificación geométrica ).

Los valores esperados en la cuantificación del espacio de fase se obtienen de forma isomórfica para rastrear los observables del operador con la matriz de densidad en el espacio de Hilbert: se obtienen mediante integrales de observables en el espacio de fase, con la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner sirviendo efectivamente como medida.

Así, al expresar la mecánica cuántica en el espacio de fase (el mismo ámbito que para la mecánica clásica), el mapa de Weyl facilita el reconocimiento de la mecánica cuántica como una deformación (generalización) de la mecánica clásica, con el parámetro de deformación ħ / S , donde S es la acción de el proceso relevante. (Otras deformaciones familiares en física implican la deformación de la mecánica newtoniana clásica en mecánica relativista , con el parámetro de deformación v / c ; ^{[ cita requerida ]} o la deformación de la gravedad newtoniana en relatividad general, con parámetro de deformación radio de Schwarzschild / dimensión característica.) ^{[ cita requerida ]}

Las expresiones clásicas, los observables y las operaciones (como los corchetes de Poisson) se modifican mediante correcciones cuánticas dependientes de ħ, ya que la multiplicación conmutativa convencional que se aplica en la mecánica clásica se generaliza a la multiplicación de estrellas no conmutativa que caracteriza a la mecánica cuántica y subyace a su principio de incertidumbre.

Termodinámica y mecánica estadística

En los contextos de termodinámica y mecánica estadística , el término espacio de fases tiene dos significados: por un lado, se usa en el mismo sentido que en la mecánica clásica. Si un sistema termodinámico consta de N partículas, entonces un punto en el espacio de fase de 6 N- dimensiones describe el estado dinámico de cada partícula en ese sistema, ya que cada partícula está asociada con variables de tres posiciones y tres variables de momento. En este sentido, siempre que las partículas sean distinguibles , se dice que un punto en el espacio de fase es un microestado del sistema. (Para partículas indistinguibles, un microestado consistirá en un conjunto de N! puntos, correspondientes a todos los posibles intercambios de las partículas N. ) N está típicamente en el orden del número de Avogadro , por lo que describir el sistema a un nivel microscópico a menudo no es práctico. Esto conduce al uso del espacio de fase en un sentido diferente.

El espacio de fase también puede referirse al espacio que está parametrizado por los estados macroscópicos del sistema, como presión, temperatura, etc. Por ejemplo, uno puede ver el diagrama de presión-volumen o los diagramas de entropía-temperatura como una descripción de parte de esta fase. espacio. Un punto en este espacio de fase se denomina correspondientemente macroestado. Puede haber fácilmente más de un microestado con el mismo macroestado. Por ejemplo, para una temperatura fija, el sistema podría tener muchas configuraciones dinámicas a nivel microscópico. Cuando se usa en este sentido, una fase es una región del espacio de fases donde el sistema en cuestión se encuentra, por ejemplo, en la fase líquida o en la fase sólida , etc.

Dado que hay muchos más microestados que macroestados, el espacio de fase en el primer sentido suele ser una variedad de dimensiones mucho mayores que en el segundo sentido. Claramente, se requieren muchos más parámetros para registrar cada detalle del sistema hasta la escala molecular o atómica que simplemente especificar, digamos, la temperatura o la presión del sistema.

Óptica

El espacio de fase se utiliza ampliamente en la óptica sin imágenes , ^[3] la rama de la óptica dedicada a la iluminación. También es un concepto importante en la óptica hamiltoniana .

Fase integral

En la mecánica estadística clásica (energías continuas), el concepto de espacio de fase proporciona un análogo clásico a la función de partición (suma de estados) conocida como integral de fase. ^[4] En lugar de sumar el factor de Boltzmann sobre estados de energía discretamente espaciados (definidos por números cuánticos enteros apropiadospara cada grado de libertad) se puede integrar en un espacio de fase continuo. Dicha integración consta esencialmente de dos partes: integración del componente de impulso de todos los grados de libertad (espacio de impulso) e integración del componente de posición de todos los grados de libertad (espacio de configuración). Una vez que se conoce la integral de fase, se puede relacionar con la función de partición clásica mediante la multiplicación de una constante de normalización que representa el número de estados de energía cuántica por unidad de espacio de fase. Esta constante de normalización es simplemente la inversa de la constante de Planck elevada a una potencia igual al número de grados de libertad del sistema. ^[5]

Ver también

• Minisuperspacio
• Línea de fase , caja unidimensional
• Plano de fase , caso bidimensional
• Retrato de fase
• Método de espacio de fase
• Espacio de parámetros
• Separatrix

Aplicaciones

• Espacio de fase óptica
• Espacio de estado (controles) para obtener información sobre el espacio de estado (similar al estado de fase) en la ingeniería de control.
• Espacio de estados para información sobre el espacio de estados con estados discretos en informática.
• Dinámica molecular

Matemáticas

• Paquete cotangente
• Sistema dinámico
• Variedad simpléctica
• Transformada de Wigner-Weyl

Física

• Mecanica clasica
• Mecánica hamiltoniana
• Mecánica lagrangiana
• Espacio de estados (física) para obtener información sobre el espacio de estados en física
• Formulación de espacio de fase de la mecánica cuántica

Referencias

1. Nolte, DD (2010). "La historia enredada del espacio de fase" . Física hoy . 63 (4): 33–38. Código Bibliográfico : 2010PhT .... 63d..33N . doi : 10.1063 / 1.3397041 . S2CID  17205307 .
2. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fase". Boletín de física de Asia Pacífico . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142 / S2251158X12000069 . S2CID 119230734 . 
3. Chaves, Julio (2015). Introducción a la óptica sin imágenes, segunda edición . Prensa CRC . ISBN 978-1482206739.
4. Laurendeau, Normand M. (2005). Termodinámica estadística: fundamentos y aplicaciones . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-84635-8.
5. Vu-Quoc, L. (2008). "Configuración integral" . Archivado desde el original el 28 de abril de 2012.

Lectura adicional

• Nolte, DD (2015). Introducción a la dinámica moderna: caos, redes, espacio y tiempo . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-965703-2.
• Nolte, DD (2018). Galileo Unbound: un camino a través de la vida, el universo y todo . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-880584-7.

Enlaces externos

• "Espacio de fase" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]