Punto (geometría)

Objeto fundamental de la geometría

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Longitud
Bidimensional Plano Zona Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Zona
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
por nombre Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por período AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400 a 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Gromov
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En las matemáticas modernas , un punto se refiere generalmente a un elemento de un conjunto llamado espacio .

Más específicamente, en la geometría euclidiana , un punto es una noción primitiva sobre la que se construye la geometría, lo que significa que un punto no se puede definir en términos de objetos previamente definidos. Es decir, un punto se define solo por algunas propiedades, llamadas axiomas , que debe satisfacer. En particular, los puntos geométricos no tienen longitud , área , volumen ni ningún otro atributo dimensional . Una interpretación común es que el concepto de punto está destinado a capturar la noción de una ubicación única en el espacio euclidiano . ^[1]

Puntos en geometría euclidiana

Un conjunto finito de puntos en el espacio euclidiano bidimensional .

Los puntos, considerados en el marco de la geometría euclidiana , son uno de los objetos más fundamentales. Euclides originalmente definió el punto como "lo que no tiene parte". En el espacio euclidiano bidimensional , un punto está representado por un par ordenado ( x ,  y ) de números, donde el primer número representa convencionalmente la horizontal y a menudo se denota por x , y el segundo número representa convencionalmente la vertical y a menudo se denota por y. Esta idea se generaliza fácilmente al espacio euclidiano tridimensional, donde un punto está representado por un triplete ordenado ( x ,  y ,  z ) con el tercer número adicional que representa la profundidad y, a menudo, se denota por z . Las generalizaciones adicionales están representadas por una tupla ordenada de n términos, ( a ₁ ,  a ₂ ,…,  a _n ) donde n es la dimensión del espacio en el que se encuentra el punto.

Muchas construcciones dentro de la geometría euclidiana consisten en una colección infinita de puntos que se ajustan a ciertos axiomas. Suele estar representado por un conjunto de puntos; Por ejemplo, una línea es un conjunto infinito de puntos de la forma , donde c ₁ a c _n y d son constantes y n es la dimensión del espacio. Existen construcciones similares que definen el plano , segmento de línea y otros conceptos relacionados. Un segmento de línea que consta de un solo punto se denomina segmento de línea degenerado .${\displaystyle \scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }}$

Además de definir puntos y constructos relacionados con puntos, Euclides también postuló una idea clave sobre los puntos, que dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una línea recta. Esto se confirma fácilmente con las extensiones modernas de la geometría euclidiana, y tuvo consecuencias duraderas en su introducción, permitiendo la construcción de casi todos los conceptos geométricos conocidos en ese momento. Sin embargo, la postulación de los puntos de Euclides no fue completa ni definitiva, y ocasionalmente asumió hechos sobre puntos que no se seguían directamente de sus axiomas, como el ordenamiento de puntos en la línea o la existencia de puntos específicos. A pesar de esto, las expansiones modernas del sistema sirven para eliminar estos supuestos.

Dimensión de un punto

Hay varias definiciones desiguales de dimensión en matemáticas. En todas las definiciones comunes, un punto tiene dimensión 0.

Dimensión del espacio vectorial

Artículo principal: Dimensión (espacio vectorial)

La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente . En un espacio vectorial que consta de un solo punto (que debe ser el vector cero 0 ), no existe un subconjunto linealmente independiente. El vector cero en sí no es linealmente independiente, porque hay una combinación lineal no trivial por lo que es cero: .${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Dimensión topológica

Artículo principal: Dimensión de cobertura de Lebesgue

La dimensión topológica de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n , de modo que cada cubierta abierta finita de X admite una cubierta abierta finita de X que refina en la que ningún punto está incluido en más de n +1 elementos. Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Un punto es de dimensión cero con respecto a la dimensión de la cubierta porque cada cubierta abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en un solo conjunto abierto.

Dimensión de Hausdorff

Sea X un espacio métrico . Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el d -dimensional contenido Hausdorff de S es el ínfimo del conjunto de números δ ≥ 0 tal que hay algunos (indexado) colección de bolas que cubren S con r _i > 0 para cada i ∈ yo que satisfaga .${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$

La dimensión de Hausdorff de X está definida por

${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

Un punto tiene una dimensión de Hausdorff 0 porque puede cubrirse con una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.

Geometría sin puntos

Aunque la noción de un punto generalmente se considera fundamental en la topología y la geometría convencional, hay algunos sistemas que la renuncian, por ejemplo, la geometría no conmutativa y la topología sin sentido . Un espacio "sin sentido" o "sin puntos" no se define como un conjunto , sino a través de alguna estructura ( algebraica o lógica, respectivamente) que parece un espacio funcional bien conocido en el conjunto: un álgebra de funciones continuas o un álgebra de conjuntos respectivamente. . Más precisamente, tales estructuras generalizan espacios bien conocidos de funciones de manera que la operación "tomar un valor en este punto" puede no estar definida.Una nueva tradición parte de algunos libros deAN Whitehead en el que se asume la noción de región como primitiva junto con la de inclusión o conexión .

Masas puntuales y la función delta de Dirac

Artículo principal: función delta de Dirac

A menudo, en física y matemáticas, es útil pensar que un punto tiene una masa o carga distinta de cero (esto es especialmente común en el electromagnetismo clásico , donde los electrones se idealizan como puntos con carga distinta de cero). La función delta de Dirac , o función δ , es (informalmente) una función generalizada en la recta numérica real que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno en toda la recta real. ^{[2] [3] [4]} La función delta a veces se piensa como un pico infinitamente alto, infinitamente delgado en el origen, con un área total uno debajo del pico, y representa físicamente una masa puntual idealizada ocarga puntual . ^[5] Fue introducido por el físico teórico Paul Dirac . En el contexto del procesamiento de señales , a menudo se lo denomina símbolo (o función) de impulso unitario . ^[6] Su análogo discreto es la función delta de Kronecker que generalmente se define en un dominio finito y toma valores 0 y 1.

Ver también

• Punto de acumulación
• Espacio afín
• Punto límite
• Punto crítico
• Cúspide
• Fundamentos de la geometría
• Posición (geometría)
• Puntual
• Punto singular de una curva
• Geometría sin puntos de Whitehead

Referencias

1. Ohmer, Merlin M. (1969). Geometría elemental para profesores . Lectura: Addison-Wesley. pag. 34–37 . OCLC  00218666 .
2. Dirac 1958 , §15 La función δ, p. 58 harvnb error: no target: CITEREFDirac1958 (help)
3. Gel'fand y Shilov 1968 , Volumen I, §§1.1, 1.3 harvnb error: no target: CITEREFGel'fandShilov1968 (help)
4. Schwartz , 1950 , p. 3 harvnb error: no target: CITEREFSchwartz1950 (help)
5. Arfken y Weber 2000 , p. 84 harvnb error: no target: CITEREFArfkenWeber2000 (help)
6. Bracewell 1986 , Capítulo 5 harvnb error: no target: CITEREFBracewell1986 (help)

• Clarke, Bowman, 1985, " Individuos y puntos ", Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "Punto, línea y superficie como conjuntos de sólidos", The Journal of Philosophy 19 : 449–61.
• Gerla, G., 1995, " Pointless Geometries " en Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos . Holanda Septentrional: 1015–31.
• Whitehead, AN , 1919. Una investigación sobre los principios del conocimiento natural . Universidad de Cambridge. Presionar. 2a ed., 1925.
• Whitehead, AN, 1920. El concepto de naturaleza . Universidad de Cambridge. Presionar. Libro de bolsillo de 2004, Prometheus Books. Siendo las Conferencias Tarner de 1919 dictadas en el Trinity College .
• Whitehead, AN, 1979 (1929). Proceso y realidad . Prensa Libre.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Puntos (matemáticas) .

• "Punto" . PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Point" . MathWorld .