En matemáticas , la fórmula de suma de Poisson es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de la transformada de Fourier continua de la función . En consecuencia, la suma periódica de una función está completamente definida por muestras discretas de la transformada de Fourier de la función original. Y a la inversa, la suma periódica de la transformada de Fourier de una función está completamente definida por muestras discretas de la función original. La fórmula de suma de Poisson fue descubierta por Siméon Denis Poisson y a veces se la llama reanimación de Poisson .
Formas de la ecuación
Considere una función aperiódica con transformada de Fourier alternativamente designado por y
La fórmula básica de suma de Poisson es :
( Ecuación 1 )
También considere las funciones periódicas, donde los parámetros y están en las mismas unidades que :
Entonces la Ec. 1 es un caso especial (P = 1, x = 0) de esta ecuación :
( Ecuación 2 )
que es una expansión de la serie de Fourier con coeficientes que son muestras de función Similarmente :
( Ecuación 3 )
también conocida como la importante transformada de Fourier de tiempo discreto .
Derivaciones |
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Se puede encontrar una prueba en Pinsky [1] o Zygmund [2] . La ecuación 2 , por ejemplo, se cumple en el sentido de que si, entonces el lado derecho es la serie de Fourier (posiblemente divergente) del lado izquierdo. Se deduce del teorema de convergencia dominado que existe y es finito para casi todos . Además, se sigue que es integrable en cualquier intervalo de longitud Por tanto, es suficiente mostrar que los coeficientes de la serie de Fourier de están Partiendo de la definición de los coeficientes de Fourier tenemos : donde el intercambio de sumatoria con integración se justifica una vez más por la convergencia dominada. Con cambio de variables () esto se convierte en : Formulación distributiva Estas ecuaciones se pueden interpretar en el lenguaje de las distribuciones [3] [4] : §7.2 para una funcióncuyas derivadas están disminuyendo rápidamente (ver función de Schwartz ). La fórmula de suma de Poisson surge como un caso particular del teorema de convolución en distribuciones templadas , utilizando la distribución en peine de Dirac y su serie de Fourier : En otras palabras, la periodización de un delta de Dirac resultando en un peine de Dirac , corresponde a la discretización de su espectro que es constantemente uno. Por lo tanto, esto nuevamente es un peine de Dirac pero con incrementos recíprocos. Para el caso La ecuación 1 sigue fácilmente : Similarmente : O : [5] : p143 |
La fórmula de suma de Poisson también se puede probar de manera bastante conceptual utilizando la compatibilidad de la dualidad de Pontryagin con secuencias breves y exactas como
Aplicabilidad
Eq.2 sostiene siemprees una función integrable continua que satisface
para algunos y cada [7] [8] Tenga en cuenta que taleses uniformemente continua , esto junto con la suposición de desintegración en, muestra que la serie que define converge uniformemente a una función continua. La ecuación 2 se cumple en el sentido fuerte de que ambos lados convergen uniforme y absolutamente al mismo límite. [8]
La ecuación 2 se cumple en unsentido puntual bajo el supuesto estrictamente más débil de que tiene variación limitada y
La serie de Fourier en el lado derecho de la Ec. 2 se entiende entonces como un límite (condicionalmente convergente) de sumas parciales simétricas.
Como se muestra arriba, la ecuación 2 se cumple bajo el supuesto mucho menos restrictivo de que es en , pero luego es necesario interpretarlo en el sentido de que el lado derecho es la (posiblemente divergente) serie de Fourier de [2] En este caso, se puede extender la región donde se mantiene la igualdad considerando métodos de sumabilidad como Cesàro sumabilidad . Al interpretar la convergencia de esta manera en la ecuación 2 , el caso se mantiene bajo las condiciones menos restrictivas que es integrable y 0 es un punto de continuidad de . Sin embargo, la Ec. 2 puede fallar incluso cuando ambos y son integrables y continuos, y las sumas convergen absolutamente. [9]
Aplicaciones
Método de imágenes
En ecuaciones diferenciales parciales , la fórmula de suma de Poisson proporciona una justificación rigurosa para la solución fundamental de la ecuación de calor con límite rectangular absorbente mediante el método de imágenes . Aquí el núcleo de calor ense conoce, y el de un rectángulo se determina tomando la periodización. De manera similar, la fórmula de suma de Poisson proporciona una conexión entre el análisis de Fourier en los espacios euclidianos y en los toros de las dimensiones correspondientes. [7] En una dimensión, la solución resultante se llama función theta .
Muestreo
En el estudio estadístico de series de tiempo, si es una función del tiempo, entonces mirar sólo sus valores en puntos de tiempo igualmente espaciados se llama "muestreo". En aplicaciones, normalmente la funciónes de banda limitada , lo que significa que hay alguna frecuencia de corte tal que es cero para las frecuencias que exceden el límite : por Para funciones de banda limitada, elegir la frecuencia de muestreo garantiza que no se pierda información: ya que puede reconstruirse a partir de estos valores muestreados. Entonces, por inversión de Fourier, también puedeEsto conduce al teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . [1]
Resumen de Ewald
Computacionalmente, la fórmula de suma de Poisson es útil ya que se garantiza que una suma de convergencia lenta en el espacio real se convierta en una suma equivalente rápidamente convergente en el espacio de Fourier. [ cita requerida ] (Una función amplia en el espacio real se convierte en una función estrecha en el espacio de Fourier y viceversa). Esta es la idea esencial detrás de la suma de Ewald .
Puntos de celosía en una esfera
La fórmula de suma de Poisson se puede utilizar para derivar la fórmula asintótica de Landau para el número de puntos de celosía en una gran esfera euclidiana. También se puede usar para mostrar que si una función integrable, y ambos tienen soporte compacto entonces[1]
Teoría de los números
En teoría de números , la suma de Poisson también se puede utilizar para derivar una variedad de ecuaciones funcionales, incluida la ecuación funcional para la función zeta de Riemann . [10]
Un uso importante de la suma de Poisson concierne a las funciones theta : sumas periódicas de gaussianos. Poner, por un número complejo en el semiplano superior, y define la función theta:
La relación entre y resulta ser importante para la teoría de números, ya que este tipo de relación es una de las propiedades definitorias de una forma modular . Por elección y usando el hecho de que uno puede concluir :
- poniendo
De esto se sigue que tiene una propiedad de transformación simple bajo y esto puede usarse para probar la fórmula de Jacobi para el número de formas diferentes de expresar un número entero como la suma de ocho cuadrados perfectos.
Empaquetaduras de esferas
Cohn y Elkies [11] demostraron un límite superior en la densidad de empaquetaduras de esferas utilizando la fórmula de suma de Poisson, que posteriormente condujo a una prueba de empaquetaduras de esferas óptimas en las dimensiones 8 y 24.
Otro
- Dejar por y por Llegar
- Puede usarse para probar la ecuación funcional de la función theta.
- La fórmula de suma de Poisson aparece en los cuadernos de Ramanujan y puede usarse para probar algunas de sus fórmulas, en particular puede usarse para probar una de las fórmulas en la primera carta de Ramanujan a Hardy. [ aclaración necesaria ]
- Se puede utilizar para calcular la suma cuadrática de Gauss.
Generalizaciones
La fórmula de suma de Poisson se mantiene en el espacio euclidiano de dimensión arbitraria. Dejarser el enrejado en que consta de puntos con coordenadas enteras; es el grupo de caracteres , o Pontryagin dual , de[ dudoso ] . Para una función en , considere la serie dada sumando las traducciones de por elementos de :
Teorema para en , la serie anterior converge puntualmente en casi todas partes y, por lo tanto, define una función periódica en yace en con
Además, para todos en (Transformada de Fourier en ) es igual a (Transformada de Fourier en ).
Cuándo es además continuo, y tanto y decaer suficientemente rápido en el infinito, entonces uno puede "invertir" el dominio de nuevo a y hacer una declaración más fuerte. Más precisamente, si
para algunos C , δ> 0, entonces
- [8] : VII §2
donde ambas series convergen absoluta y uniformemente en Λ. Cuando d = 1 y x = 0, esto da la ecuación 1 anterior.
De manera más general, una versión de la declaración es válida si Λ se reemplaza por una celosía más general en . El retículo dual Λ ′ se puede definir como un subconjunto del espacio vectorial dual o, alternativamente, mediante la dualidad de Pontryagin . Entonces, la afirmación es que la suma de las funciones delta en cada punto de Λ, y en cada punto de Λ ′, son nuevamente transformadas de Fourier como distribuciones, sujetas a la normalización correcta.
Esto se aplica en la teoría de las funciones theta y es un método posible en geometría de números . De hecho, en un trabajo más reciente sobre el recuento de puntos de celosía en regiones, se usa de manera rutinaria: sumar la función indicadora de una región D sobre puntos de celosía es exactamente la cuestión, de modo que el LHS de la fórmula de suma es lo que se busca y el RHS algo que puede ser atacado por análisis matemático .
Fórmula de trazas de Selberg
Se requiere una mayor generalización a grupos abelianos localmente compactos en la teoría de números . En el análisis armónico no conmutativo , la idea se lleva aún más lejos en la fórmula de trazas de Selberg , pero adquiere un carácter mucho más profundo.
Una serie de matemáticos que aplican el análisis armónico a la teoría de números, en particular Martin Eichler, Atle Selberg , Robert Langlands y James Arthur, han generalizado la fórmula de suma de Poisson a la transformada de Fourier en grupos algebraicos reductivos no conmutativos localmente compactos. con un subgrupo discreto tal que tiene volumen finito. Por ejemplo, pueden ser los puntos reales de y pueden ser los puntos integrales de . En esta configuración, desempeña el papel de la recta numérica real en la versión clásica de la suma de Poisson, y juega el papel de los enteros que aparecen en la suma. La versión generalizada de la suma de Poisson se llama Fórmula de seguimiento de Selberg y ha jugado un papel en la demostración de muchos casos de la conjetura de Artin y en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat. El lado izquierdo de la ecuación 1 se convierte en una suma sobre representaciones unitarias irreductibles de, y se llama "el lado espectral", mientras que el lado derecho se convierte en una suma sobre las clases de conjugación de , y se llama "el lado geométrico".
La fórmula de suma de Poisson es el arquetipo de vastos desarrollos en el análisis armónico y la teoría de números.
Ver también
- Análisis de Fourier § Resumen
- Fórmula de inversión de la publicación
- Fórmula de Voronoi
- Transformada de Fourier de tiempo discreto
- fórmulas explícitas para funciones L
Referencias
- ^ a b c d Pinsky, M. (2002), Introducción al análisis de Fourier y Wavelets. , Brooks Cole, ISBN 978-0-534-37660-4
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- ^ Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
Las muestras de la transformada de Fourier de una secuencia aperiódica x [n] pueden considerarse como coeficientes DFS de una secuencia periódica obtenida mediante la suma de réplicas periódicas de x [n].
url = https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf - ^ Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried (2014), Principios del análisis armónico , Universitext (2 ed.), Doi : 10.1007 / 978-3-319-05792-7 , ISBN 978-3-319-05791-0
- ^ a b Grafakos, Loukas (2004), Análisis de Fourier clásico y moderno , Pearson Education, Inc., págs. 253–257, ISBN 0-13-035399-X
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- ^ Katznelson, Yitzhak (1976), Una introducción al análisis armónico (Segunda edición corregida), Nueva York: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
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Otras lecturas
- Benedetto, JJ; Zimmermann, G. (1997), "Multiplicadores muestrales y fórmula de suma de Poisson" , J. Fourier Ana. App. , 3 (5), archivado desde el original el 24 de mayo de 2011 , consultado el 19 de junio de 2008
- Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Análisis y aplicaciones de Fourier , Springer, págs. 344–352, ISBN 0-387-98485-2
- Higgins, JR (1985), "Cinco cuentos sobre la serie cardinal" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 12 (1): 45–89, doi : 10.1090 / S0273-0979-1985-15293-0